III. — Étude de quelques cas particuliers

17. Indiquons quelques exemples de multiplicités fermées. Revenons d’abord à une surface fermée à un trou dans l’espace ordinaire ; soit, dans le plan (x, y), le rectangle R construit sur Ox et O y avec les côtés w et w’. Posons

f, ©, Ÿ étant trois fonctions réelles et continues de xet y, et admettant respectivement pour x et y les périodes w et w’. Il est évident alors qu’au rectangle R correspond dans l’espace (X, Y, Z) une certaine surface fermée ; on peut choisir les fonctions f, ©, 4, de manière que la surface ne se coupe pas elle-même, etil arrivera, en général, que la surface ne se recouvrira pas elle-même. Au rec-

tangle R correspondra alors une surface qui sera à un trou comme un tore.

Au lieu de faire correspondre à un tore un rectangle, on peut lui faire correspondre un ensemble de deux circonférences

2 DRE 12 CAES Ti + Li = 1, Li + Ty =].

L'ensemble de ces deux courbes forme une variété fermée à deux dimensions, pour laquelle on a évidemment p, = 35. Toutes les courbes fermées tracées sur cette variété se ramèneront à la courbe obtenue en associant le premier cercle à un point du second, et le second à un point du premier.

Ceci nous conduit à considérer l’ensemble d’une surface sphérique el d’une circonférence

L? + ti + TÈ =], VERRE

On obtient ainsi une variété fermée à trois dimensions, pour laquelle p, et p, se calculent facilement. On peut avoir une courbe fermée en prenant un point fixe sur la sphère et en lui associant la circonférence ; quel que soit le point pris sur la sphère, on aura des courbes équivalentes, car on a un continuum à deux dimensions formé par le cercle et une ligne joignant ces deux points, dont la frontière complète est formée par les deux courbes considérées. Je dis que cette courbe est la seule qui donne une période différente de zéro ; il est aisé de voir d’abord qu’elle donne une période différente de zéro ; il suffit de prendre l’inté-

grale 1 d,

où 6 est l’angle polaire sur le cercle, c'est-à-dire l'intégrale

dont la valeur est égale à 27 sur la circonférence ; on aura donc une période différente de zéro. Je dis qu'elle est la seule. Concevons une ligne fermée quelconque sur le continuum ; si elle est distincte de celle que nous venons de considérer, nous aurons pour une valeur de +; un ou plusieurs points de la courbe situés

SUR LA GÉOMÉTRIE DE SITUATION. 39 sur les cercles Ti HDi =1—7?,

Li PTS el.

Or, le premier de ces cercles peut, sur la sphère S, se réduire à un point, et notre courbe se trouve donc ramenée à une courbe à laquelle correspond un point déterminé de la sphère et le second cercle tout entier, ou seulement un point de ce second cercle. On aura donc seulement une période et, par suite,

Pie

On calcule de même p, ; on peut avoir une variété à deux dimensions donnant une période, en associant à un point fixe sur le cercle la sphère tout entière, et l’on démontre, de même que plus haut, que cette période est unique. On a

18. Prenons maintenant un parallélélipède P dans l’espace Pr =), darêles &,w!, w!, et soient /(2,y,2), o(&, y, a), (x, y, z), 4(x,7, z) trois fonctions périodiques par rapport à x avec la période w, par rapport à y avec la période w’, et par rapport à z avec la période w”. En posant

X = f(x, y,2), Y=(xr, ÿ,3) Z=Y(x,7,s), Ter rm):

on aura ainsi, en général, dans l’espace (X, Ÿ, Z, T) une certaine multiplicité M fermée à trois dimensions correspondant, d’une manière uniforme, à P. Ilest facile de trouver les nombres p, el p, correspondant à cette variété. Si l’on joint un point d’une face de P au point homologue de la face opposée, on aura un segment de droite auquel correspond une courbe fermée dans la multiplicité M ; on peut donc, dans celle-ci, tracer trois courbes fermées C auxquelles correspondront des intégrales distinctes. Pour toute autre courbe fermée, la valeur d’une intégrale de différentielle totale sera égale à la somme de multiples des intégrales

prises suivant les courbes C; on le voit de suite en revenant au parallélépipède. Une courbe fermée de M sera représentée, par

exemple, par deux courbes MN et M'N/, les points M et M' étant deux points homologues des faces ABCD et A'B'CDP ere points N et N' deux points homologues des faces AA'CC, BB'DD/. L'intégrale prise suivant la courbe considérée sera égale à la somme des intégrales suivant MM! et N'N. Nous aurons donc, par conséquent,

pi—i=$ ou Pi= 4.

Cherchons la valeur de p,; si l’on mène trois plans parallèles aux faces du parallélépipède, aux trois parallélogrammes ainsi obtenus correspondront dans M des multiplicités fermées à deux dimensions. Ces trois multiplicités ne limiteront aucune portion

de M, comme on le voit de suite et, d’autre part. toute autre variélé fermée à deux dimensions se ramènera, par une déformation continue, à une somme de multiples des trois variétés précédentes. Il suffira de considérer la variété à deux dimensions correspondant à la figure ci-dessus, correspondant aux deux portions mnpq et m'n'p'q'; on aura, comme valeur de l'intégrale, la somme des

intégrales correspondant aux faces AA'DD/ et ABCD. Par suite, on à P2 = 4.

19. Donnons maintenant des exemples relatifs à des variétés fermées à quatre dimensions. Considérons la variété fermée à quatre dimensions E, définie par les deux équations

(S) Ti + mi + 2? —1,