S") TÉ+TR+TR—=T

Chaque point de cette variété peut être considéré comme obtenu en associant un point M de la sphère (S) à un point M’ de la sphère (S'). Proposons-nous de trouver les nombres p,, po, ps correspondant à cette variété.

Il est immédiat que l’on aura p; —1—o. Car une variété fermée à une dimension s'obtient, soit en associant un point de l’une des sphères à une courbe fermée tracée sur l’autre, soit en associant point par point deux courbes fermées tracées respectivement sur ces deux surfaces. Dans tous les cas cette variété peut être réduite à un point.

On voit aussi facilement que p;— 1. En effet, on peut d’abord obtenir une variété à trois dimensions en associant à chacun des points d’une courbe fermée tracée sur (S) la sphère (S/) tout entière, et celte variété peut être réduite à zéro. Plus généralement, à un point (M, x,,%», æ3) d’une variété à trois dimensions appartenant à (S) correspondra sur (S') une courbe fermée C, et quand le point M décrira une courbe fermée sur S, la courbe C après s'être déformée reviendra à son point de départ, en engendrant sur la sphère une portion de surface se recouvrant elle-même, et qui, par suite, est encore réductible à zéro.

La détermination de p, est un peu moins immédiate. Si l’on prend un point M' de S' et qu’on lui associe la sphère S, on aura un continuum fermé à deux dimensions, contenu dans E;; en prenant un point M de S et en lui associant la sphère S’, on aura un second continuum fermé. Je dis que par ces deux continuums on ne peut faire passer une variété à trois dimensions ayant ces continuums pour frontière complète; il suffit, pour s’en assurer, de montrer que pour certaines intégrales doubles dans E,, rem-

plissant les conditions d’intégrabilité, les valeurs sont linéairement indépendantes. Prenons à cet effet l'intégrale

di dr NUE do dre ; TRE Vi—ci—2?

où À est une constante arbitraire, pour laquelle la condition d’intégrabilité est vérifiée. Sa valeur prise sur S est égale à 47; prise sur S/, sa valeur est 4 Àx. Si l’on prend pour À un nombre incommensurable, on n’aura pas de relation linéaire et homogène à coefficients entiers entre ces deux valeurs, et par suite pi —1 sera au moins égal à deux.

On pourrait encore raisonner de la manière suivante : Considérons une courbe fermée appartenant à une variété E; contenant les deux variétés précédentes. Si elle les rencontre elle devra passer par le point (M, M’), et l’on peut toujours faire en sorte qu’elle n’ait avec ces deux variétés que ce point commun. Donc ces deux variétés ne forment pas frontière sur É;, et p, — 1 est au moins égal à deux.

Pour montrer que ps —1 a effectivement la valeur deux, il suffit de remarquer que toute variété fermée à deux dimensions contenue dans E; est déterminée soit par un point de S et une surface fermée appartenant à S’, qui ne peut être que S’ ou une portion de surface se recouvrant elle-même; soit par une courbe fermée contenue dans $S à chaque point de laquelle on associe une courbe fermée fixe ou variable tracée sur S’. Dans l’un ou l’autre cas cette variété, si elle ne se réduit pas à l’une des variétés considérées précédemment, se réduit à zéro. Nous n’avons donc que deux variétés distinctes à deux dimensions, et par suite

20. Un autre exemple très intéressant de variété fermée à quatre dimensions sera obtenu en considérant un parallélépipède dans l'espace (x,,æ2, 3. æ,). Soit done le parallélépipède construit sur les quatre axes Ox,, Oxs, Ox:, Ox, avec les longueurs w,, wo, W3, ©; à ce parallélépipède correspond une variété fermée à quatre dimensions dans l’espace à cinq dimensions. C’est un exemple analogue à ceux traités précédemment n° 17 et 18. On

voit immédiatement, par des raisonnements analogues à ceux qui ont été faits, que PAZ PIE 5,

la généralisation se faisant d’elle-même. Le calcul de p2 n'avait pas son analogue dans les exemples précédents. Je dis que nous pouvons trouver au moins six continuums fermés à deux dimensions donnant des périodes distinctes; considérons en effet dans l’espace (x, x, æ3, x) l'intégrale double

j Vaux dr ds.

les À étant des constantes : la condition d’intégrabilité sera vérifiée dans ces conditions. Or, considérons le continuum fermé correspondant à æ, et æ, constants et à x, etæ, variant respecLivement de o à w, et de o à w:. La période correspondante est

À 1901 Wo,

on aura donc de cette façon, pour l'intégrale ci-dessus, les six périodes Aix; (Gt, k=1,2,3,4)(t7 &).

Nous allons voir maintenant qu'il ne peut y avoir plus de six périodes. Si, en effet, nous considérons d’abord une variété fermée à deux dimensions pour laquelle +, soit constant, nous serons ramené au cas de trois dimensions et nous avons une période équivalente aux périodes dans lesquelles # et À sont égaux à un des nombres 2, 3, 4. Supposons que æ, ne soit pas constant; pour une valeur de æ,, nous aurons dans le continuum considéré à deux dimensions une certaine courbe fermée C que nous pouvons regarder comme tracée dans l’espace à trois dimensions (23,4%, da) dans le parallélépipède (w:, &3, w,). Cette courbe C peut être déformée et remplacée par une somme de courbes correspondant à des parallèles aux arêtes du parallélépipède (w2, w3, w,); on devra ensuite faire varier x, , et, si l’on a une période différente de zéro, il faudra nécessairement que x, varie entre o el w,, et l’on ne retrouve que les périodes précédentes. Par conséquent

Pre

h4 CHAPITRE Il.

91. Comme troisième exemple de variété fermée à Iquatse dimensions, considérons celle qui serait définie en associant un point d’une surface (S) à À trous dans l’espace (41, &>, æ3) à un point d’une surface (S') à p' trous dans l’espace CAC ne

Nous obtiendrons toutes les variétés à une dimension en associant d’abord à chaque point de (S)une courbe fermée de QUE Or il existe sur cette dernière 2p' courbes qui ne peuvent se réduire à zéro, et qui, prises ensemble, ne forment pas une one complète. En associant un point de (S/) à une courbe fermée de on trouve 2 p nouvelles courbes irréductibles ; donc p, Z2p +2p 5 1. D'ailleurs toute autre variété fermée qui ne se réduit pas à 2en0 est une somme des variétés précédentes affectées au besoin d’un coefficient À entier. Par suite p, = 2p + 2p'+1.

Relativement à p, on obtient de suite 4pp'+ 2 variétés ne formant pas de frontière séparément, à savoir d’abord les deux variétés obtenues en associant à un point de (S) la surface (S') tout entière et réciproquement. On peut ensuite associer à chacune des 2p courbes que l’on peut tracer sur S chacune des 2p' courbes que l’on peut tracer sur S/, ce qui donne 4pp' variétés, et l’on en conclut

P:—1=4pp +2 et par suite, on a

p2= 4pp' +3.