INTRODUCTION. VII

Il est à remarquer que l'énoncé précédent s'applique encore au cas où l'aire A s'étend à l'infini, pourvu qu'on ajoute aux résidus relatifs aux points singuliers de f{z) à distance finie le résidu de f{z) relatif au point oo. Par exemple, supposons que Taire A soit l'aire illimitée extérieure aux deux courbes C, C; so\l f{z) une fonction régulière dans A, sauf en un nombre fini de points ai %2i •••-. 3t^, les résidus correspondants élant R|, R2, ..., R^^. 1a* point 00 peut être un point ordinaire pour f{z) ou un point singulier, mais, dans ce cas, c'est nécessairement un point singulier isolé. Soit R^ le résidu correspondant. Ajoutons aux contours C, C, un contour auxiliaire C renfermant les deux contours primi-

Fig. a.

lifs C, C, ainsi que tous les points singuliers ai, a^, ..., a^. A Taire finie A', limitée par les trois contours C, C, C", appliquons le théorème de Cauchy; il vient

Jf f{z)dz-^ f /(z)dz-h I /(5)âf5 = 27:t(Ri-hR,-4-...-h Rç),

les intégrales étant prises comme l'indiquent les flèches. Mais, d'après ce qu'on a vu plus haut sur le résidu au point oc, la dernière intégrale a pour valeur

il reste donc

f f(z)dz-^ f /(z)dz= 27:l(Rl-^-Rî^-•..-^-l^«);