AC) •'(G

c'est la formule que nous voulions établir.

Vlll INTRODUCTION.

6. Soit/(5) une fonction uniforme dans une aire A, située tout entière à distance finie ou s^étendant à l'infini, mais limitée par une seule courbe C, qui est située tout entière à distance finie. Supposons que f{z) n'admette dans A qu'un nombre fini de points singuliers, et soient R|, Rt, . . ., Ri les différents résidus de cette fonction dans A, y compris le résidu relatif au point à l'infini, si l'aire A est illimitée. Considérons l'intégrale

Y(z)^jy{z)dz,

prise suivant un chemin situé tout entier dans l'aire A et joignant deux points Zq^ >5 de A; laissant fixe la limite inférieure Zq de l'intégrale et faisant varier la limite supérieure 5, F(.c) devient une fonction analytique de z qui dépend aussi, dans une certaine mesure, du chemin d'intégration. Si tous les résidus de /(5) dans l'aire A sont nuls, il résulte immédiatement du théorème de Cauchy que deux chemins quelconques, situés tout entiers dans A et allant du point ^^o ^^ même point :;, donnent la même valeur pour l'intégrale; F(z) est donc aussi une fonction uniforme dans Caire K,

Il n'en est plus de même si tous les résidus Aq f{z) dans l'aire A ne sont pas nuls; quand on tourne autour d'un point singulier où le résidu est égal à R, l'intégrale F(5) augmente de 2'j:/R. Cette intégrale admet donc, en chaque point de l'aire A, une infinité de valeurs qui sont comprises dans une formule telle que

Y{z) = [¥{z)] -h iTzi I miR, -i-. . .-^ m/R/j,

[F(5) jetant une de ces valeurs et /W|,m2, .^.^mi des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs (*). Les quantités

aTTtRi, • • -, 27: tR/ sont appelées périodes de l'intégrale f f{z) dz. L'étude des inté-

(•) Hermite, Cours d'Analyse^ 4' édition, p. 198-305.