VI INTRODUCTION

rithniique proviennent exclusivement des pôles et des zéros de t^; nous avons remarqué d'ailleurs qu'un zéro d'ordre m de c donne un résidu égal à -f- m pourtr, et qu'un pôle d'ordre /i de v donne un résidu égal à — n pour (v. Le théorème IV conduit donc à la proposition élémentaire suivante :

V. Le nombre des zéros d' une fonction rationnelle de z est égal au nombre des pôles, chacun de ces zéros et de ces pôles étant compté avec son degré de multiplicité.

Nous savons aussi qu'on peut former une fonction rationnelle avec des pôles, et des parties principales correspondantes, données à l'avance d'une façon arbitraire : il suffit, pour obtenir cette fonction, de faire la somme des parties principales données relatives à tous les pôles. On peut de même former une fonction rationnelle avec des zéros cl des infinis donnés à l'avance, pourvu quïls soient en nombre égal.

5. La notion d'intégrale définie a été étendue aux. fonctions d'une variable complexe par Cauchv, qui a démontré le théorème fondamental suivant :

Etant donnée une fonction uniforme f{z) régulière en tous les points à ^intérieur dUtne aire A, limitée par une ou

plusieurs courbes distinctes, l'intégrale 1 f{z)dz, prise le

long du contour total de A dans le sens direct (en laissant à gauche Vaire enveloppée)^ est nulle.

Plus généralement, si la fonction f{^z) est uniforme et régu-

ière en tous les points d'une aire telle que la précédente, sauf

rn un nombre fini de points qu'elle admet pour pôles ou pour

points singuliers essentiels, l'intégrale f f{z)dz^ prise le long du

contour total de A dans le sens direct, est égale au produit de AT.i par la somme des résidus de/(^) relatifs à ces points singuliers ( ').

(•) E. Picard, Traité d'Analyse, l. II, p. ii8. — Hermite, Cours d'Analyse^ Y édit., p. io(j.