WO

Il convient de remarquer la formule

r^"" dz

iV-Hl

On a une formule analogue quand on calcule la somme des valeurs

que prend une même intégrale de deuxième espèce aux deux points superposés (3, W|) et (3, 112)»

En effet, il vient, en tenant compte de la relation Ut 4- w.j = o,

dS (v-f-i) dz ~ i^ — iy^'^'

b — j- — r -h const.

41. Voyons comment il faut modifier les formules précédentes quand le pâle est un point de ramification à distance finie.

Soit Ci un point de ramification à distance finie; on peut écrire

U = {z — CiYUi,

où

Ui = v/a ^{z — ei),.,(z — ei^i)(z — Ci^i). . ,{z — e«);

Ui est une fonction régulière de z dans le domaine du point 6/, et Ton a, dans ce domaine,

Ui = E!/"J -4- (iî — c/)E'/) 4- ... -h (3 - e/)vEV'^-+- . . .,

Ei,'\ . . . , E" ^ désignant des constantes.

Lorsque, dans l'intégrale ^{z^u; i, t)), le point (S, "n) devient un point critique (e/,o), cette intégrale devient infinie. Nous la remplacerons par la suivante :

r""' Ef'' dz ;, M;e,)=— / — f

intégrale finie partout, excepté au point e/. Dans le domaine de ce point, on a

JL M = (;j — e/)« Ui,

et Ton peut écrire l'élément différentiel

-xuiiz — ei)^

ou, en ajoutant et retranchant Ui au numérateur,

2(z — Ciy 2Ui(z— eiy d'où enfin, dans le domaine de e/,

ti(z,u;ei)= ^'__ + G+ / ^-^ ^T^^"

Comme, dans ce domaine, Ui — EJ' contient -s — Ci en facteur, d'après le développement écrit pour w/, cette dernière intégrale est

INTÉGRALES HTPERBLLIPTIQU ES. 77

régulière au point Ci, et Ton a, dans le domaine considéré,

Ç( 5, u\ Ci) = j H- fonction régulière.

On a donc ainsi une intégrale élémentaire de deuxième espèce finie partout, excepté au point ei qu'elle admet comme pôle

d'ordre i , avec la partie principale ^ •

Pour obtenir une intégrale qui devient infinie au seul point Ci qu'elle admet comme pôle d'ordre 2 avec la partie principale

.i- , on; prend simplement

Z — Ci

Appelons d'une manière générale

une intégrale devenant infinie au seul point e/, avec la partie

principale

Si V est impair, v = 2 [x — i , il suffit de prendre

Si V est pair

dz

on prend

(5,mJ p(0

PJJ' désignant le polynôme en ^ — e^ de degré [x, obtenu en prenant les {\t^-+- 1) premiers termes du développement de w/, sui vant les puissances de -3 — e/,

Pi/' = Ei'^ -+-{5 - Ci) E</) -+-. . .-4- (^ - e/)l* E[i

L'intégrale ainsi formée est finie partout, excepté au point e,. Dans le domaine de ce point, on a

et Ton peut écrire Télément différentiel, en ajoutant et retranchant m au numérateur,

2jJl -l-I W^-('^— Piil') ^{^-+-1 » ^ (2tJL-4-l)(M/— P{/'') ^

Comme, dans le domaine du point e/, la différence £/,■ — Pj/* contient (3 — e/)!*"*'' en facteur, le dernier terme devient au

point Ci infini de Tordre de ^» et son intégrale reste finie.

On a donc en intégrant, dans le domaine du point e/,

X^^^P {z, u\ e,) ""jjïZ'i"^ fonction régulière.

Si Ton calcule actuellement la somme

aux deux points superposés (z, Ui) et (w, Wa), on a évidemment, quand v est impair,

v = 2jA— I, Sî|x-i -- (;-:i^ji -i-const.,

el, quand v est pair,

V == '1 jx, dSin = o, S211 — const.

4-2. Nous avons, dans ce qui précède, supposé le pôle à distance finie : qu'arrive-t-il si le pôle est à V infini?

Si n est pair, et égal à 2/? -j- 2, il y a deux points à Tinfini oC| el 002, qui se distinguent analyliqucmcnl en ce que, au point ooi , le

rapport —— tend vers une limite y/A el au point oo^ vers la limite — y/A.

Formons, par exemple, Tinlcgrale de deuxième espèce finie partout excepté au point oci qu'elle admet comme pôle avec la partie

INTÉGRALKS H YPERELLl PTIQUES. 79

principale -s^' ; on obtient l'intégrale élémentaire devenant infinie au seul point oO| , avec la partie principale s, en faisant v = o. Dans le domaine du point 0C| , on a

Al A,

la fonction ç étant régulière au pointoO|. Dansle domaine du point

QC2, on a de même

u — — zP-^^v.

Appelons Qv+i le polynôme en - de degré v -f- 1 obtenu en

prenant les v 4- 2 premiers termes du développement ci-dessus de i',

Qv+i = yfk

Ai As k

L'intégrale demandée est

où le terme 5^^*Qv+i est un polynôme en z de degré (v -\-p -h i ). Cette intégrale est finie en tous les points à distance finie. Au point QC2 elle est encore régulière. En effet, dans le domaine de

ce point, on a

u~ — zP^^ V ;

l'élément différentiel est donc

Mais le développement de i' — Qv+i commence par le terme en — t: l'élément différentiel est donc au point ooo infiniment

petit comme ^ et l'intégrale est régulière en ce point. Dans le domaine du point oO| , on a

// = zP-^^v

8o CHAPITRE II.

et l'élémenl différentiel devient

qu'on peut écrire

zv

t' -+- Qv+1

Q..-hi

Le développement de t^ — Qv^i commençant par le terme en -^^:^f

la seconde partie de cette expression est à Tinfini de Tordre de -^

et son intégrale est régulière au point oO|. On a donc, dans le domaine de ce point, en multipliant par (v + i)^^^ et intégrant,

Ç^^^ (5 , w ; «1 ) = z^^^ -4- fonction régulière. En particulier, pourv = o, on a l'intégrale élémentaire

As.u)

?(-,";«!)=/ — ^,^ ' dz

qui devient infinie au seul point oO| , la partie principale en ce point étant z.

L^intégrale devenant infinie au seul point 002, avec la partie principale 5^*, est

^(S.W) ||-V ;jV+p-4 1Q -

Ç(v)(;;,a;x,) = (v-^i)/ ""-- \ "^"^'dz.

Donc

On trouve de même

Ç(v)(^,tt, ;ooi)-i-ÇW(^,w,;oo,)= ^v-i-i^. const.

Si n est impair et égal à 2/? + 1 , le point 00 est un point de ramification. Nous appellerons encore

une intégrale devenant infinie au seul point 00 et ayant pour partie

principale en ce point z * .

INTÉGRALES H Y PERELL I PT IQU ES. 8l

Quand v est impair et égal à 2jjl — i, on a immédiatement une intégrale remplissant ces conditions en prenant

Si V est pair et égal à 2[ii., on procède comme il suit. On a, dans le domaine du point oo,

où i' est développable en une série de la forme

i' =V Ah 1 -h...-f- -' — -r-

z z* JV+-I

Appelons encore <^|x le poljnome en et posons

Ç(»{^)(;;,m; x) = -^ / -ir dz.

Cette intégrale est partout finie, excepté au point oc. Dans le domaine de ce point, on peut écrire

et l'élément différentiel devient

Comme le développement de r — Qjj, suivant les puissances croissantes de - commence par f - j , le développement de

commence parle terme en l-\ et l'intégrale de la secoade partie esi régulière au point oo. On a donc, dans le domaine du point oo,

ttA-»-l

Çtîji) (z. M ; oc) — 5 * -\- fo:iction régulière.

8a CHAPITRE 11.

L'intégrale élémentaire s'obtient en posant |x = o,

expression qui, dans le domaine du point oo, est de la forme

s* -♦- fonction régulière.

La somme Sy des valeurs de l'intégrale Jî<^^(5, tt;oo) aux denx points superposés (5, U\) et (^,^2) est iz^ quand v = ajx — i et elle est nulle quand v = aiji.

43. Les intégrales de deuxième espèce peuvent être déduites de •celles de troisième espèce et de l'i ntégrale élémentaire de deuxième espèce. Considérons l'intégrale de troisième espèce, dans le cas où les deux points singuliers logarithmiques sont à distance Gnie,

Lorsque les deux limites (^o» ^^u) ^t {z, u) sont fixées, ainsi que le chemin d'intégration, Tinlégrale est une fonction des deux points analytiques (a', b') et {a,b). Sil'on regarde le point (a', 6') comme fixe, elle est une fonction du point (a, 6), régulière pour toutes les positions de ce point à disidincc finie non situées sur le chemin d^ intégration, car l'élément différentiel est une fonction de {a^b) régulière en tous les points à distance finie, excepté au point a = z, b =^ u qui est un point du chemin d'intégration.

Soit (Ç, r[) un point ordinaire de la surface de Riemann ; traçons le chemin d'intégration de façon qu'il ne passe pas par ce point. Alors la fonction ïïj^;^ du point (a, 6), étant régulière au point (Ç,T,), est, dans un certain domaine 8 de ce point, développable suivant les puissances positives croissantes de (a — Ç) par la formule de Taylor. Ce développement a la forme suivante

INTÉGRALES HYPERELLIPTIQUES. 83

les coefficients ^(s, u\ Ç, ti),.. .,Çf^^(z,w; Ç, y;) étant les intégrales de deuxième espèce précédemment formées. C'est ce qu'il est fa-

cile de vérifier en calculant le coefficient de dans le déve-

loppement ci-dessus. On a

Or, dans le domaine du point (i, ^), I I I a — Ç (« — 0^

développement obtenu en appliquant à 6 la formule de Tajlor. Dans le produit > le coefficient de (a — i)^' est donc

Il // -+- 7

d\ râ c^ i.2...(v>f-i) <i^v-»-' I

c'est-à-dire (p. 74)

î fi H- Pv-fi

Le coefficient de ^"~ dans le développement de nij;/ ^st

par suite

ce qui est bien JJ^^^ ( s, m ; Ç, t; ).

D'après le développement (i), les intégrales Ç(:î,«/; Ç,7|), ?(3, w; 5,7;),... sont les dérivées successives de ni|;^' par rapport au paramètre (5, to)> à des facteurs numériques près :

;(*.tt;5,r.) = |<*' ç.v,(,,„;5,,,)= J„ |^^,^^;>

d'où il résulte aussi

Par conséquent, si l'on donne à ç un accroissement infiniment petit A, et si l'on appelle k Taccroisseinent correspondant de r,. on a

Supposons maintenant que dans l'intégrale nij'/' le point (rt, b) soit dans le domaine d'un point de ramification e,-. La fonction ^fl.A ) de {a^b)^ étant régulière au pointe/, est, dans le domaine de ce point, développable par la formule

(3) <f = <•''' -^{a - ei)h{^.u;ei) + .. .

procédant suivant les puissances croissantes de (a — e/)*. Dans ce

développement, le coefficient de ^ — — est encore Tintégrale

appelée ^^^^(s,//; 6^/).

En effet, dans le domaine du point e/, on a

a — e, (a — ei)

z — a z — Ci — {a — Ci) z — a {z — ei)^ * * (« — e/ )'"-»-* '*'' /,=(« — e/)î [Ei'J + E/^ ( a — a) -+- E'/' (a — e^)^^.. . ].

Dans le produit ou — — , calcu-

Ions le coefficient de ^^ — ~^ — > en remarquant que le développement de ; ne contient que des puissances entières de

a — e/, et celui de seulement des puissances frac-

tionnaires. D'après cela, si v est impair et égal à 2[x — i, il n'y a qu'un terme en — et son coefficient est

INTEGRALES II YPERELLI PTIQUES. 85

dans le développement de l'intégrale ro"'^*', le coefficient de ^^^^^ est donc - a f^"'"- f?î-, c'est-à-dire î;«l^-'J(:;,«,e,).

«IX -n

Ensuite, si v est pair et égal à 2 [x, le coefficient de — ^ — — est

ou, d'après les notations antérieures (p. 77),

donc enfin, dans le développement de ny";^ , le coefficient de iJL^l^ est - ^^ r'" — -^,, c'est-à-dire

La formule (3), différenliée par rapport à a, donne

I ( (i , ^ • ^ '^ ;(3,M;a,6) = TÎ(^'";^')-*- ---^ 7^ î;(v)(.^a; e/)-H...;

on a donc, en faisant a =iei-\-h, b = /{, h étant suffisamment

petit,

formule à rapprocher de (2).

On obtient de même les intégrales ^^^^{z^ u ; 00), relatives aux points à rinfini, comme coefficients du développement de la fonction

du point {a, b), dans le domaine du point 00.

Si n est pair et égal à 2/? -H 2, la fonction ni de (^, b) est, dans le

domaine d'un des points à Tin fini, oC| par exemple, développable en une série procédant suivant les puissances entières décroissantes

de 6r, dans laquelle le coefficient de — ç est l'intégrale t^^^""*^(^,£/; oo,).

En effet, dans le domaine du pointooi , on a

Dans l'expression

iu{z — ûf) ~ 5t(-5 — a) ^u(z — a)'

le développement de r r est

^■^ iu{z — a)

c'est-à-dire, en posant comme plus haut

^ /— Al A» Ay

Dans le développement de l'intégrale nj^'^' nous aurons donc un premier groupe de termes

gp r Qg dz + g.- C'^dz+...+a ["■-' Q^- d., J lu J iu J 1U

contenant les puissances positives de a et dont les coefficients sont des intégrales de première espèce, car z Qj , 5^Q 2, • • . , 5P~^Qp i sont des polynômes de degrés i,2,...,(^ — i)en5; puis vient le terme indépendant de a

qui est une înlégralc de troisième espèce avec les deux points singuliers logarithmiques (a', b') et CO) ; puis viennent enfin les