INTÉGRALES HY PERELLIPTIQU ES

termes contenant les puissances négatives de a dans lesquels le coefficient'de — -est r ^

c'est-à-dire Ç^^"*^(-s, u\ oC|).

On a donc le développement

-Ç(a, a;ooi)H r'(z, a; xj) -4-. . . .

4- i Ç(2, a; ooj ) -+- -^, ?'(«, **î *i) -^ •••-+- r^ î^""*^ ^^» tt; «1) -f- . . . ,

W|, Wa, . . ., W|, désignant des intégrales de première espèce. En différentiant cette relation par rapport à a et remplaçant a, b par Ç, 7^, on trouve

développement valable dans le domaine du point oO| . Dans le domaine du point 0C2, on aura de même

— ?i ^(-5, ii;oo,)— r^Ç'C-î, a;»,)— ....

Si n est impair et égal à 2^ + i , l'intégrale

considérée comme fonction du point analytique {a^ b) est, dans le domaine du point oo, développable en une série de puissances

partir du terme en f - j , des intégrales de deuxième espèce qui

88 <:hapithe ii.

onl pour pôle unique Tinfini. En effet, dans le domaine du point

a r=: oc,

iu — a lia — z) -Àuiz ~ a)

iu\a a^ a^ j y a a^ /

La première partie de ce développemenl ne contient que des puissances entières négatives de <2, la seconde que des puissances fractionnaires de a, d'ailleurs positives ou négatives.

Dans la première partie, le coefficient de ^^ — ^ est v5^"' ; donc,

dans le développement de l'intégrale ro^/fr , l^ coefficient de

est

Quant au développement de la deuxième partie, on peut l'en visager comme le produit de ( - 1 par le développement de

xii \a a* / x*^ a a* /

qui est le développement rencontré dans le cas précédent. Cette deuxième partie donne donc dans le développement de ni2;6 ^^^ termes de la forme

,ny

la

comme on le vérifie immédiatement d'après les expressions trouvées plus haut pour les intégrales Ç-2^'( 3, w; oc).

On a enfin, en réunissant les deux parties que nous venons

INTÉGRALES H YPERELLl PTIQUES. 89

i\e trouver,

En dîfféren liant par rapport à « et remplaçant a, 6 par ç, r,, on obtient le développement

valable dans le domaine du point oo.

44. Étant donnée une intégrale hyperelHplique quelconque, on peut l'exprimer à l'aide d'intégrales de première, de deuxième et de troisième espèce.

I = / vdz

une intégrale abélienne, if désignant une fonction rationnelle de^cte^. Comme nous l'avons vu, cette intégrale est régulière en tous les points où elle reste finie. Les points où elle devient inGnie sont de deux sortes, des pôles ou des points singuliers logarithmiques.

Supposons qu'il y ait q points singuliers logarithmiques (i,, Pi), (aj, P2), •••, (a^, ^q)] dans le domaine du point (aA, ^a), on a

?*(^7 fi) désignant une fonction uniforme dans le domaine du point (aA, ,3a), pouvant admettre ce point comme pôle. D'après les conventions antérieurement faites, il faut remplacer z — aA

par (z — e/)^ quand le point (aA, ^a) est un point de ramification ^1, par - quand (aA, ^a) est un point ordinaire à l'infini et

par( ^] quand il est un point de ramification à l'infini. Le coefficient Ra est le résidu de v relatif au point (a*, p^^).

On sait que la somme de tous les résidus d'une fonction rationnelle s^ de z et u est nulle. Donc

R|-4- Rj 4-...H- R<7 = o.

Considérons alors l'intégrale

i =/'"'" " d^ - R. <;%('' «)- «."â;:?'/^' «)- • — b,-, «»::;rpf »- (». «*),

iZ9, fin)

obtenue en retranchant de 1 certaines intégrales de troisième espèce multipliées par R<, R2, . . . , Ry««.

Cette nouvelle intégrale abélienne J n'a plus de points singuliers logarithmiques. En effet, dans le domaine du point (ai, jS^), on a

/ prf-5 = Rj log(z — ai)-i-çi(z, w),

Tîj*"g' = log(5 — ai)H- fonction régulière;

ODC

I t? û?^ — Ri w^*'S' = ?i (-2» w) -+- fonction régulière ;

puisque les autres intégrales de troisième espèce retranchées sont régulières au point (a,, Pi), la différence est uniforme dans le domaine du point (ai, ^i) comme la fonction 9| (2, u) et peut admettre ce point pour pôle, la partie principale étant la même que celle de ^\{z^ u).

On voit de même que J n'a plus aucun des points singuliers logarithmiques (a2, ^2)? • • • ? (*^-i ? P^-0- Quant au dernier (a^, p^), il disparaît également, car, dans le domaine de ce point, on a

J = R^log(« — a^)-h?p^(2, u)

H-(Ri-l- Ri-t-..-l- R<y i)Iog(-5 — oLq)'\- fonction régulière,

et comme

Rl-H RiH-. . .-H Ry = o,

le terme logarithmique disparaît encore. La proposition est donc établie.

Uïnlégralc J, qui n'a plus de points aingulier^ logarillimiqucs, Il peut avoir encore des pôles. Nous allons faire disparaître ces pôles I en retranchant de J des înt<^{;rales de dt-uxième espèce. Suppol sons que dans le domaine d'un pôle {o, b) d'ordre v, on ait

réguliê

1 faut remplacer j — a par (z — e,)^ ou -i ou ( ; 1 t suivant a coïncide avec un poinl de raniilicalion, on point ordinaire ifinijOU un point de ramilîcallon à l'infini. Dans ces condi- {lions, Ja dilTérence

J-A,i;CJ.«;«,A)-A,:'(=,";(..fr)-...-Av;"'-"(J,";a,ft) ■- est rt^gulière au point (a, fi), car, dans le domaine de ce poinl, on a

h fonction régulière,

C"-iJ(,,,

h fonction régiiliiî.

D'ailleurs, comme les fonctions Z, i^', ... sont régulières partout, eïcepté ait point (a, h), la dîfl'érence ci-dessus a les mêmes pôles que J, moins le pôle (a, fi). On a donc estraît, pour ainsi dire, le pôle (a, fi).

En opérant de même pour tous les finies, et rc tranchant de J des sommes d'intégrales de deuxième espèce correspondant à tous kt paies de J, on obtiendra finalement une expression,

w-ïIA,t;(î,

hb)^

hAv;'"-"(--,":«,6)|

(où le signe S s'étend à tous les pôles), n'ayanl plus de pâle, c'esl-i-dlre partout régulière. Cette expression H est d'ailleurs ègraie abélienne, car c'est une somme d'intégrales abélicones : comme elle est partout régulière, c'est une intégrale de première espèce, c'est-à-dire une expression de la forme

Remplaçant H par celte valeur et J par son expression, on obtient enfin pour l'intégrale abélienne I l'expression

iZ,,0 ^='7-1

-HXiiV|-4-XjW2-»-...-f-Xptv^-+- const.

Toute intégrale abélienne peut donc être mise sous la forme d'une somme d'intégrales de première, deuxième et troisième espèce.

On remarquera que les coefficients R^et A/ sont connus immédiatement, si Ton connaît les points singuliers de l'intégrale et les parties principales. Il n'en est pas de même des coefficients

45. Une première application importante de cette formule est la représentation d^une fonction rationnelle v de z et u par une somme d'intégrales de première et de deuxième espèce; ou, en d'autres termes, la décomposition en éléments simples d'une fonction rationnelle de z et //.

Une fonction rationnelle ç^ de 5 et w est une intégrale abélienne

-J- étant une fonction rationnelle de>3 et u. az

Comme i» n'a pas de points singuliers logarithmiques, la formule générale ci-dessus appliquée k v na contient pas d'intégrales de troisième espèce et donne la formule

-h Xt wx-\- Xjirj -h. . .-h \pWp -i- consl.,

le signe S indiquant une sommation étendue à tous les pôles de r. Les coefficients A,, Aa, ..., Av sont les coefficients de la partie principale de \? dans le domaine du pôle (r/, 6),

Ai A « A »i - . , . • ,

i' — \ = \ . . .-\- h fonction régulière.

INTÉGRALES II Y PE RE LL I PTIQ U ES. qS

Celle formule est d'une haute importance; elle donne la fonction rationnelle r sous une forme mettant en évidence les pôles et les parties principales correspondantes de celle fonction. Elle est analogue à la formule de décomposition d'une fraction rationnelle de z en fractions simples, à laquelle elle se réduit d'ailleurs quand n ^r^ i ou 2, c'est-à-dire quand la courbe

Mî= A(^ — ei)(z — ej)...(5 — en)

est unicursa/e (p = o). On appelle cette formule formule de décomposition en éléments simples : les éléments simples sont les intégrales de deuxième espèce ^^^^(s, u ; «, b).