Donnons un exemple de cette formule. Soil

(;, 7|) étant un point fixe, à distance finie, distinct d'un point de ramification. Cette fonction r n'a que des pôles du premier ordre qui sont :

i^ Les points de ramification à distance finie, car u s'annule en ces points;

2° Le point (Ç, r,).

Dans le domaine d'un point de ramification et, on a, en adoptant les notations antérieures,

w = (5 - eiY Ui = (z- e,y l Ei,'-' -f- EV'( 5 - e,)-- . . . j,

Ej" étant différent de zéro. D'après cela, dans le domaine du point e/, la fonction v est de la forme

r -+- fonction régulière,

îEi'' e/-ï

ou le coefficient de est la constante -..-- — ^•

Dans le domaine du point (ç, r^), on a

par suite

V = r -h fonction régulière.

La formule de décomposition en éléments simples est donc

iszn

où il ne reste plus à déterminer que les coefficients des intégrales de première espèce X|, A2, ..., )vy,. Nous allons montrer que ces coefficients sont nuls et vérifier en même temps la formule. En effet, en remplaçant les intégrales Ç par leurs expressions et X| , A2, . . . , Xy, par zéro, on a à vérifier la formule

Or celte formule résulte immédiatement de ce que la dérivée du premier membre, par rapport à ;:, est nulle. En effet, cette dérivée est, après des réductions évidentes.

[1 dr^

I \ du fi d\ ' V^

Z — \ U dz -3 — { 1 JkHi

({ — ei)(- — e

expression identiquement nulle, comme on le voit en décomposant en fractions simples la fraction rationnelle en z

I I du

z — \ u dz

c'est-à-dire

z^i-i\z — ei z — Ci '" ' z — Cn)

Et remarquant que le résidu de cette fraction rationnelle au pôle * = Ç est

^ii^-

Comme toutes les intégrales s'annulent quand (=, u) coïncide •vcc la limite inférieure (so, "0)1 la constante C, qui ligure dans ,ta i'ormule (A), a pour valeur

En écrivant la formule ainsi obtenue sous la forme

D arrive à cette conséquence remarquable que l'intégrale élémentaire de deuxième espèce est une /onction raltonne/le du paramètre (Ç, v,).

17. Voici une deuxième application de celte in^me formule de iléco m position eu éléments simples.

Quand nous avons défini le genre de la relation entre u et ;, lous avons, entre autres, établi le résultat suivant. Pour une rellion de genre p, il exisie une fonction v rationnelle en z et u, adletUnl pour pâtes simples (p+i) points analytiques arliirat>«(a,,?.)-(*3. ?ï)' ■■■■(='/'+-. fi,.+ i ); soient

parties principales de v relatives â ces dilférent.s points. La ibrmule de décomposition en éléments simples donne

+ A,i+iC(.=. «; "pïi. P^i-i)-t- ^itV| -t- Xiiv, -»-,.. -f-lpWp-t- consi-

Celte formule montre que l'inlégrale élémentaire !^(s, m; k,, ^,), I iTec un pAle arbitraire [a.,, p,), peut toujours s'exprimer linéaire- ;nt à l'aide d'une fonction rationnelle c, d'intégrales de première

espèce et de p intégrales de deuxième espèce, ayant pour pôles des points donnés arbitrairement (aj, P2), ..., (a^^.,, ^;,+i). Le même raisonnement s'applique d'ailleurs à une intégrale quelconque !^^^^ de seconde espèce.

48. La décomposition d'une intégrale hyperelUptique en intégrales des trois espèces fournit aussi Vexpression d^ une fonction rationnelle v de z et u à laide d'' intégrales de première et de troisième espèce.

Appelons i'o la valeur de v au point (go, Wo), on a

log — = / ~ -r- dz

i'o .',, „, V dz

L'intégrale figurant dans cette formule est une intégrale abélienne : on peut donc lui appliquer ce que nous avons dit de l'expression générale d'une intégrale abélienne par une somme d'intégrales de première, deuxième et* troisième espèce. Actuellement celte expression ne contiendra pas d'intégrales de deuxième espèce. On reconnaît facilement que tous les points où l'intégrale devient infinie sont des points singuliers logarithmiques : aucun d'eux n'est un pâle. L'intégrale considérée est donc une somme d'intégrales de première et de troisième espèce. Formons cette somme : supposons d'abord que la fonction (? n'ait que des zéros et des pôles simples ; soient

(ai,^i), (a2j(h), •••1 (a^, ^ly) les zéros, (a,, p,), (0L2y Pî), .... (a,p py) les infinis,

qui sont en même nombre que les zéros. Dans le domaine du point (a< , b^ ), on a

t; = (^ — a, ) [ Ao -+- A, (-3 — a, ) 4- Aï(^ — a, )« -+- . . . ] ,

où Ao est différent de zéro, z — «< devant être remplacé par ^z — Ci si (ai , 6|) est un point de ramification e/, par - si ce point

est un point ordinaire à l'infini, et par ( - ) si c'est un point de ramification à l'infini. Par conséquent, l'expression de l'intégrale,

INTÉGRALES HYPERELLIPTIQUES. 97

dans le domaine de ce point, est donnée par la relation

log— =log(s — ai) -h fonction régulière.

Dans le domaine du point (ai, ^i), qui est un infini simple, on a de même

w= ;—!-- [Bo-4-Bi(3 — ai)-+-...],

Z Oti

log — = — log( 3 — «1 ) -t- fonction régulière.

La conclusion s^applique à tous les autres points, zéros ou infinis. La différence

est donc partout régulière et, comme c'est une intégrale abélienne, c*est une intégrale de première espèce

X i tvi -H Xj tvj H- . . . -h Xp Wp -h const . On a enfin

log— = ^ GJ^^;p'^-+-X,»',-f-X2iV2-+-...4-Xpiv,,-+-consl.,

A' désignant un facteur constant.

La fonction i^ est ainsi exprimée, à l'aide d'intégrales de première et de troisième espèce, par une formule mettant en évidence les zéros et les infinis de la fonction rationnelle r.

Elle est analogue à la formule qui donne une fonction rationnelle de z sous la forme du quotient de deux polynômes décomposés en /acteurs du premier degré. Elle se réduit d'ailleurs exactement à cette formule élémentaire, quand on suppose que la

relation

u- — k{z — ei)(-3 — ej) . . . (^ — e„)

se réduit à

ce qu'on peut réaliser en supposant que /i = i , que A tende vers A. ET G. 7

gS CHAPITRE II. — INTÉGRALES H ITPERELLIPTIQUES.

zéro et que Cj augmente indéfiniment, de telle façon que A^i tende vers — I .

En effet, en supposant w = i, l'intégrale de troisième espèce

devient

Z — <l\ Zn — a»

m^' û = f I ja5 = iOK >

z — Il Zo— ai

car M = 6, = ^1= I. Il n'existe pas, dans ce cas, d'intégrales de première espèce, car il n'y a pas d'intégrale de fonction rationnelle de z qui puisse rester partout finie; on a donc

ç = fonction rationnelle de ^ = kvo — ^-(~ ILlli i. ,

{z — Oii){Z — OLf),,.{Z — OLq)

ce qui est bien la formule élémentaire.

Nous avons supposé, pour établir la formule générale, que tous les zéros et les infinis étaient simples. Si le zéro (««, &0 était d'ordre /w, il suffirait dans la formule de supposer (a^, 62)) •••> («m? bm) identiques à (rt|,6<); si le pôle (a,, p,) était d'ordre jx, il suffirait également de supposer (aj, ^2)7 •••? (^ji, Pjx) identiques à (ai, Pi).

La formule (5) est donc générale, pourvu qu'on répète dans cette formule chaque zéro et chaque infini autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité.

^'CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. PÉRIODICITÉ DES INTÉGRALES HYPERELLIPTIQUES (H.

■ÏOBOciioo dei surfaces de IlieniBnn i deux feuillets. — G>u pures. — Théorème de I CiBcb; »ur une surface de Riemann. — Modules de périodicité des InUgral» by- 1 ferelUpUquca- — Relations entre ces modules. — Intégrales Dormules de première, I deaxièrac et troisième espèce. — Modules de périodicilé des inlègrules normale».

Dans ce qui stiit, nous considi^rons les surfaces comme

[ des feuillets sans éjtaisseur, de sort« qu'un jioinl ou une ligne

^ tracée sur la surface seront visibles pour un observateur placé

d'un cAté ou de Tautre. Les surfaces seioiil en outre regardées

comme parfaitemenl élastiques et indéchirables.

Une surface est dite connexe lorsque, a^ani pris sur cette sur-

.. Iice deux points quelconques, on peut les joindre par un trait

^:çont)nti situ<^- tout entier sur la surface. Nous ne considérerons

e des surfaces connexes.

surface est fermée quand elle n'a pas de bords : tels sont

■e, le tore, un plan indélioi, une des surfaces de Uiemann

récédcmmeiil étiidiées, plane ou sphérique. Une surface est

■ ouverte quand elle a des bords : par exemple, un cercle, une calotte

Ltohérique, une sphère avec des trous, etc. Les bords d'une surface

niverte peuvent être constitués pariine seule ligne continue ou

■ plusieurs lignes continues distinctes. Aiusi le bord d'une

■lolte sphérique est formé d'une circonférence unique, c'est-

^-dtre d'une ligne continue ; les bords d'une sphère percée de

■lOsTTages h consulter : RiiH.inN, Théorie der Abeltehen Functionen . — Nku- I, Vorlttangvn ûber BUmann'i Théorie der Aùelschen Intégrale. — Sibabt, \t de Doctorat. iSai.

trois Irous ne se louchant pas sont formés de trois courbes fermées distinctes. Si, dans un feuillet circulaire, on fait un trou ne touchant pas la circonférence, on obtient une surface connexe {fie- '9) *ionl les bords sont constitués par deux lignes fermées, la circonférence du cercle et le contour du trou.

Nous nenvisaffcrons que des sur/aces avec des bords : si l'on a une sur/ace fermée, on commencera par lui donner un bord en y faisant une petite ouverture, par exemple une fente avec des ciseaux; les deux bords de cette fente formeront une ligne continue constituant la limite ou le bord de la surface.

50. On nomme coupure une section faite avec des ciseaux dans la surface, partant d'un point d'un bord et venant aboutir en un point d'un bord. Celte coupure a deux bords. Ainsi l'on part d'un point A du bord CD {fig. 20), on coupe dans la surface

avec des ciseaux suivnnl AB juscjii'cn un point B de l'intérieur; on a ainsi, non une coupure, mais un commencement de coupure avec deux bords infiniment voisins qui peuvent se séparer jusqu'en B. A ce moment l'ancien bord de la surface qui était continu de C en D se trouve remplacé par la nouvelle ligne continue

i CaB^D. Continuons à couper avec les ciseaux plus loin que B; la L coupure sera termince tjiiand nous serons airivés en un point d'un f bord, que ce soit un point des bords primilifs ou un point des [ liords nouveaux délermîni^s par le passage des ciseaux.

Ainsi, en prenant un feuillel circulaire percé d'un trou (Jig: 19), '-on a une surface avec des bords formés de deux courbes distinctes P et P'. Partons d'un point A ou A' du bord P, nous pourî (JÎS- 21) tracer une coupure ACB ou une coupure ADË

aboutissant en un autre point d'un bord; nous pourrons aussi tracer une coupure telle que A'FGH ou A'K.LM venant se terminer sur elle-nnîme, c'est-à-dire su r un bord créé par le passage I des ciseaux.

Voici les effets produits par ces coupures : les coupures ACB, [ A'FGH, A'KLM découpent cbacune le feuilielcn deux morceaux I distincts : de sorte que, une de ces coupures étant effectuée, le f feuillet n'est plus connciie. L'effet de la coupure ADE est tout dif- ' férenl. La surface est encore connexe après cette coupure, mais sa [ limite, qui ^tait formée de deux courbes distinctes P et P', est main- [ tenant formée d'une seule courbe continue qu'on peut parcourir l complètement d'un seul trait. Dans ce parcours, que nous suppo- I ions effectué dans le sens positif, les deux bords de la coupure I lont parcourus en sens contraire, comme le montrent les fljrcbes I indiquant le sens du parcours. Pour suivre ce parcours, il faut I imaginer que la coupure ADE existe seule et que la coupure , A'KLM n'est pas tracée {voir fig. 3û).

Nous verrons plus loin un grand nombre d'exemples de coupures : on remarquera que nous n'aurons jamais à tracer de cou-

pures décomposant la surface en morceaux séparés, c'esl-à-dire détruisant la connexion.

51. La connexion d'une surface peut être plus ou moins compliquée : on dit que la surface est à connexion simple ou encore est simplement connexe quand on peut, en déformant cette surface, supposée parfaitement élastique et indéchirable, la réduire à un feuillet plan limité par un contour simple ne se coupant pas lui-même, par exemple à un feuillet rectangulaire, circulaire ou elliptique. La nature de la courbe limitant le feuillet plan final n'a aucune importance : Tcssentiel est que cette courbe soit continue et ne se coupe pas elle-même.

D'après cette définition, les bords d'une surface quelconque simplement connexe se composent nécessairement d'une seule ligne continue ne se coupant pas, puisque, après la déformation, les bords de la surface deviennent le contour simple du feuillet plan. Citons d'abord quelques exemples de surfaces simplement connexes.

I** Une calotte sphériqiie. Cette surface peut évidemment être déformée de façon à devenir un feuillet circulaire, la circonférence de base de la calotte devenant la circonférence du feuillet circulaire.

2° Un ruban rectangulaire allongé se traversant lui-même autant de fois qu^on le veut y à la manière des deux feuillets d*une surface de Riemann {fig- 22). On suppose, bien entendu,

Fig. 22.

comme pour les deux feuillets d'une surface de Riemann se croisant en une ligne de passage, que les difierenles parties du ruban se traversent librement et que le long d'une ligne de passage, telle que CxC^t les deux nappes qui se croisent, et par conséquent les bords du ruban, n'ont aucun point commun. Le ruban peut alors

CONNEXION DES StrtIFACES t DUVI Feci L1:ET$. lo3

s'ëtaler sur ud plan et dooner ua rectangle : il coDstilue une surface simplement connexe.

S" Donuiine d'un point de ramification de la surface de Riemann à deux feuillets. Ce domaine a élé représenli5 précédemment {Jtg- 17) : on peut vérifier aisément qu'on peut, par déformation continue et sans déchirure, l'appliquer sur une portion de plan k contour simple. Il suffit de relever les bords du plan P, en pliant ce plan suivant une droite OA partant de O pour placer ces bords relevés dans le prolongement des surfaces

de raccord des deux feuillets : oa obtient vente a3n; ensuite, on opère de même pour le pla ce qui donne \^Jig- '^"^ l'-

(ig„re su;nférieur Pj,

On a ainsi comme les deux pages d'un livre se traversant suivant la ligne L. Comme, par convention, ces deux pages n'ont aucun point commun sur L, on pcul les ouvrir sans les décbircr; les deux feuillets se traversent librement et l'on a lînalemeDt la figure plane ^3 c, limitée par un contour simple ne se coupant pas. 4° Sotenl deux sphères extérieures i' une à l'autre, reliées par un cylindre (haltère). La surface de ce solide est fermée : si l'on I j pratique une fente/", on a une surface ouverte dont le bord est formé par le contour de la fente (Jtg- »4 a). Cette surface est

simplement connexe. On ^ réduire à un ellipsoïde ave

peut, par déformation continue, h : un trou (Jig. ï\ b)\ puis, en écartant

les bords du trou, à une sorte de calotte sphérique, et finalement à une aire plane à contour simple.

5° Si l'on prend deux sphères dont Vune est intérieure à Vautre, réunies par un cylindre, on a une surface fermée, qui, après le tracé d'une fente y, devient simplement connexe (yî^. 25 a). La fente étant supposée tracée dans la sphère inté-

Fig. 25

^jfÇ)

fb.

rieure, on peut, par déformation continue, retourner cette sphère à travers le canal cylindrique /?gr comme on retourne un doigt de gant {Jig. 25 b) : on est alors ramené au cas précédent.

6° Surfaces de Riemann à deux feuillets avec deux points de ramification , Cet exemple est presque identique au précédent. Prenons les surfaces de Riemann sphériques à deux points de ramification considérées au début du Chapitre I. Elles sont formées par deux feuillets sphériques intérieurs l'un à l'autre réunis le long d'une ligne ei^a, comme il a été expliqué {fig* 26 a):

Fig. 26.

ic>)

on a figuré des chemins conduisant de la sphère extérieure à l'autre, à travers celte ligne C\ e^ *. le long de cette ligne la surface de la sphère extérieure se prolonge par celle de la sphère intérieure, comme les deux nappes d'un ruban qui se croise lui-

COKSESION DES SCIIFACEB A DEUX FEUILLETS. lo5

même {Jîg- aa). Parloul ailleurs que sur la ligne e, Pj les sphères sont indépendantes. On voit l'analogie avec l'exemple précédent : le mode seul de réunion des deux sphères est changif ; le raccord Bpar un cylindre se trouve remplacé par le raccord à travers la ligne l^e passage ete^. Faisons une fente infiniment étroite dans la Vlphère intérieure pour donner des bords â la surface, Cetlc fente l^a une longueur arbitraire : pour simplifier, traçons-la suivant une T'Ugne voisine du grand cercle allant de e\ l'i e^. Les deux bords l'de cette fente que nous écartons dans la fig. nGb sont Ct^Cj

La portion de sphère intérieure S| , située à gauche de la fente, I peut, par déformation continue, être retirée vers la droite à tra- I vers la ligne de passage comme un ruban et être amenée en S', ; lia portion de sphère S] peut de même être retirée vers la gauche à rtravers la ligne de passage et être amenée en S,. Celte opération ^«erait analogue à celle qui consisterai t à retirer dans la Jîg. za les |.deus portions de ruban S, et S- à travers la ligne de passage ^««fi. Après cette opération, l'ensemble des deux sphères sera 1 teansformé en la surface de la^^. a6 c, oii l'on a un peu écarté les E lieux parties S', etS'^. C'est une surface simplement connexe. On Lpeut. par déformation continue, l'amener à la forme d'une sphère ■ avec un trou, puis l'appliquer sur un feuillet simple. Ainsi la sur- I lace de Riemann à deux feuillets et deux points de ramification,

[ iJcrcée d'une fente, est simplement connexe.

Nous avons dans ce qui précède, pour être plus clair, supposé

l 1b sphère intérieure fendue du point e, au point pj. Mais cela

i--ie. n

I n est pas nécessaire. Si [ rieurc une petite ouverl

iment diins hi sphÈre inté- - a), on |>cul imaginer que

l'on fasse passer celte sphère à travers la ligne de passage, car les deux feuillets qui se croisent suivant ei ^2 sont supposés n'avoir aucun point commun : il n'y a donc aucun obstacle à la sortie de la sphère intérieure; après cette opération on aura \dijig, 276, constituée par deux sphères extérieures reliées par un tube. Il faut remarquer que la partie S\ de la sphère intérieure qui était primitivement à gauche est venue à droite en S', après la sortie de la sphère, et inversement la partie droite Sa est venue à gauche en Sj. D'ailleurs l'extérieur de la sphère interne S|Sa est resté à l'extérieur de la sphère externe S'^ S'^.

52. Pour définir le sens positif du contour d'une surface simplement connexe, il faut distinguer l'une de l'autre les deux faces de la surface. La surface est un feuillet analogue à une pièce d'étoffe avec un endroit et un envers. Faisons choix d'une face qui sera appelée Y endroit ou le côté positif de la surface, puis déformons la surface et appliquons-la sur un plan horizontal, Yendroit étant au-dessus : alors le sens positif du contour du feuillet plan ainsi obtenu est le sens dans lequel se meut un observateur debout sur le plan et décrivant le contour en ayant l'aire à sa gauche.

A ce sens correspond, sur le contour de la surface primitive simplement connexe, un sens déterminé qu'on appelle aussi sens positif Ae ce contour. Ce sens est marqué par des flèches dans les exemples précédents, où l'on a choisi comme endroit les faces suivantes : pour le ruban de l'exemple 2° la face supérieure du bord S| ; pourle domaine d'un point de ramification de l'exemple 3, la partie supérieure des plans P| et P2; pour les sphères de l'exemple 4°) l'extérieur de ces sphères ; pour les sphères de l'exemple 5° l'extérieur de la sphère extérieure et, par suite, l'intérieur de la sphère intérieure; enfin pour les surfaces sphériques de Riemann de l'exemple 6° l'extérieur de ces surfaces.

Pour toutes les surfaces de [Riemann dont nous nous occuperons par la suite, Y endroit ou côté positif de la surface sera la face extérieure des feuillets sphériques ou la face supérieure des feuillets plans supposés étalés sur un plan horizontal.

d3. Il est essentiel de romurquer que toute coupure faite