CONNEXION DBS SURFACES A DEUX FEUILLETS. IO

dans une surface simplement connexe la découpe en deux morceaux distincts. En effet, apr^s la réduction de la surface à un feuillet plan à contour simple (fig- 38), toute coupure deviendra une coupure telle qae pmg partant d'un point du bord pour re-

venir en un point du bord ou pour se couper elle-même; dans les deux cas, cette coupure sépare évidemment la surface en deux morceaux. Nous ne tracerons pas de coupures sur les surfaces simplement connexes. Les coupures que nous employons plus loin ont pour but de transformer des surfaces qui ne sont pas simplement connexes en des surfaces simplement connexes.

Enfin une dernière propriété des surfaces simplement connexes est la suivante : Toute ligne fermée tracée sur une sur/ace simplement connexe peut, par déformation continue sur la surface, être réduite à un point. Cela se voit immédiatement sur le feuillet plan à contour simple dans lequel on peut, par déformation continue, transformer la surface. Ainsi la ligue M^CMn peut être réduite au point M,, {fig- ag)-

ai. Voici maintenant des exemples de surfaces non simplement connexes ou surfaces à connexion multiple : nous allons voir que ces surfaces, parmi lesquelles se trouvent les surfaces de Ilicmann à deux feuillets et ù plus de deux points <lc ramification,

io8

peuvent toujours, à l'aide de coupures convenablement tracées, être rendues simplement connexes.

i" Considérons d'abord un feuillet plan circulaire percé d'un trou {fig- 19, p. 100). Celte surface n'est pas simplement connexe; on ne peut pas, par déformation continue, sans déchirer la couronne comprise entre le trou et la circonférence, la réduire à un feuillet plan à contour simple. Actuellement le contour se compose de deux courbes distinctes : ce seul fait permet d'affirmer que la surface n'est pas simplement connexe. Il existe des lignes fermées MqMNMo {Jig- 19? p- 100) tracées sur la surface, qui ne peuvent pas, par déformation continue sur la surface, être réduites à un point : ce seul fait permettrait aussi d'affirmer que la connexion n'est pas simple. Mais, dans cet exemple, à Taide à' une seule coupure, nous obtenons une surface simplement connexe. En efiet, traçons la coupure AE allant d'un point de la circonférence à un point du bord du trou et ajant pour bords a^ et Sy {fig' 3o) : nous obtenons une surface simplement connexe

Fig. 3o.

dont le contour parcouru dans le sens positif, à partir de P, est PajâQRSy STP : le sens de ce parcours estindiqué par des flèches ; on remarquera que les deux bords de la coupure AE sont parcourus en sens contraire. Ou ramène immédiatement à ce cas la surface formée par une sphère percée de deux trous : il suffit de tracer une coupure réunissant les deux trous.

2** Prenons maintenant un feuillet circulaire avec des trous, trois par exemple. 11 faudra tracer trois coupures pour rendre cette surface simplement connexe, conime le montre la /?^. 3i. Après le tracé de ces coupures, la surface est limitée par un con-

lour simple; si un mobile purcourl ce contour dans le sens positif, I indique par les Oèchcs, les deux bords des coupures sonl parcourus

is contraires. On ramène immédialenienl ù ce cas nnc snr- [ face connexe, cominp une sphère avec quatre trous, en traçant [ Irois coupures réunissant un Irou aux trois autres.

35. Les deux exemples précédents nous montrent des surfaces •ton simplement connexes, avec des bords formés de plusieurs

' ligDes distinctes. Il ne faudrait pas croire que ce fuit se présente

1 oécessairemenl pour toute surface qui n'est pas simplement connexe. Dans les exempl<rs fjue nous allons donner maintenant, et

I qui comprennent les surfaces de Ricmann, les bords de la surface

I tont formés d'une seule ligne continue.

' Prenons deux sphères extérieures reliées par deux tubes cy-

t lindriques L, et Lj, Vendrait ou côté positif de la surface étant l'extérieur {fig- 3a). La surface est fermée; nous l'ouvrirons en

Fig. 3i.

y pratiquant une petite ouverture / dont les bords formeront les l bords de la surface. Au point de vue de la connexion, cette sur- I face est identique à un tore percé d'un petit trou ; car on peut

CHAPITnE III.

évidemment, par déformation continue, en faire un tore. Cette surface n'est pas simplement connexe, car il existe sur elle des contours fermés, tels que Imnlj qu'on ne peut, par déformation continue sur la surface, réduire à un point. On la rend simplement connexe à l'aide des deux coupures suivantes.

Partons du bord du trou f et traçons une première coupure b entourant la base du cylindre L| , sur la sphère de gauche, de façon à détacher ce cylindre de celte sphère, comme le montre la figure supérieure 33, où les deux bords de la coupure b sont appelés y et y. La surface est encore connexe sans l'être simplement : elle est, au point de vue de la connexion, identique à un tube ouvert aux deux bouls, ou à une sphère percée de deux trous, ou à un feuillel circulaire plan percé d'un trou ; cela revient au même, comme le montre la comparaison des Jig, 33 et 34, carie tube, ouvert aux deux bouts, peut se déformer en un cylindre droit ouvert aux deux bouts, et cette dernière surface en une sphère percée de deux trous, ou en un feuillet plan circulaire percé d'un trou.

Comme nous l'avons déjà dit, la surface obtenue parle tracé de la coupure b (première surface de lajig. 33) n'est pas simple-

Fi g. 33.

^~^)nL,

ment connexe, caria ligne fermée Imnl ne peut pas encore être réduite à un point par déformation continue. Traçons alors une nouvelle coupure a allant d'un des bords b' de la première cou-

CONNBKION tlES etIFIFA<:E5 A DliVX FEUILLETS, III

^rc à l'autre Lurd b" eo suivant le cjliodre L^. Cette nouvelle pupurc est figurée sur la deuxième surface de la Jîg. 33 ; elle est igurée ^gafcmeul sur les différentes surfaces qu'on peut dt^duire

é celle surface par continuité, tube ouvert, cylindre, sphère avec ^ns (roHS, feuillet plan aveciin trou i,ftg- 34)- [Après le tracé des deux coupures a et 6 la surface est devenue

tnptement connexe. On peut, en effet, par déformation connue, appliquer cette surface T' (/(^. 33) ou une des surfaces

Spivées(yî^. 34) sur une aire plane à contour simple. C'est ce î est réalisé sur le feuillet plan de \-iJig- ^^; on pourrait aussi

Svelopper le cylindre de \aj!g. 34 pour transformer celle sur-

KCCD un feuillet rectangulaire dans lequel les câtés opposés prc ' viennent des bords opposés des dei

loupures,

Au mobil

e qui

{urcDurt le contour de ce rectangle dans le sens positif (le côté |m«iiif du rectangle provenant de l'extérieur du cylindre) corres- ]>and sur le cylindre et, par suite, en remontant, sur la surface dé- Mupée T' de \ijif;. 33, un mobile parcourant le contour de cette surface constitué par les bords des deux coupures dans le sens |wsiiif. Ce sens est indiqué par les flt^clies; on voit que les deux liords d£ chaque coupure sont parcourus en sens contraire.

î° Le cas de deux sphères, dont l'une est intérieure â l'autre, félines par deux lubes cylindriques L, cl Lj, est identique au pré-

ayent o

iquel

I on le ramène d'ailleurs immédiatement. Nous pre-

nons pour côlé positif de la surface l'extérieur de la sphère estéfifure. Supposonsune petite ouverture/dans la sphère intérieure el Iraçons, en partant de f, une coupure b qui entoure la base du lUindre L, sur la sphère intérieure, de façon à détacher lu sphère ■lu cylindre L, {fig. 35 a). Nous retirerons alors le cylindre L, vcfs l'extérieur en le retournant comme un doigt de gant et il ■•restera à l'intérieur une sphère avec un trou b" que nous relourleronâ aussi, à travers le cylindre L^, comme un ganl. Nous aurons

ainsi ramené la surface à l'état de la surface précédente après le tracé de la première coupure {Jig- 35 P). Pour la rendre simplement connexe, il faudra tracer la coupure a {fig» 36 a) qui permet

Fig. 35.

de développer la surface sur un rectangle, comme on l'a vu dans l'exemple précédent. 11 est important de figurer ces coupures en place sur la surface primitive : c'est ce qui est réalisé ci-dessous {fiS' ^^ P) » ^" ^ ^" outre marqué par des flèches le sens du mou-

Fig. 36.

Ca>

vement d'un mobile parcourant, dans le sens positif, le contour de la surface finale rendue simplement connexe.

3"* Surfaces de Riemann ci deux feuillets et à quatre points de ramification, — Nous prenons, pour embrasser tous les cas, la surface sphérique à deux feuillets avec quatre points de ramification. Nous choisissons comme endroit ou côté positif de la surface l'extérieur des feuillets sphériques. Cette surface est formée de deux sphères, l'une intérieure à l'autre, se raccordant suivant deux lignes de passage e^ e^ et ^3^1 : elle oO're la plus grande analogie avec les surfaces précédentes; la seule différence est que

COMS'EXION DES SIRFÏCES A DRL\ FBIILLETS. Il3

les cylindres de raccord des exemples précédents sont remplacé» lar des rubans de raccord se croisani le long des lignes de pas-

On suppose une petite fente faile dans la sphère intérieure en/" pour donner des bords à la surface. On trace, comme précédemnent, une première coupure b (Jîg- 3- a) eolourant la ligne de

passage e, e-j, de façon à détacher ta sphère intérieure de la sphère extérieure le long de celte ligne : on peut alors retirer vers l'extérieur les bouts de ruban qui se croisent eu e, d et qui rattachaient les deux sphères; opération analogue à celle delà pageioS. Les deus bords de la coupure i sont alors l>' à l'extérieur el 1/ à l'intérieur, i" formant le contour d'un trou dans la sphère interne {fig- 37 ^). Les deux sphères soal maintenant rattachées Kiilcmenl par les rubans qui se croisent sur ejCt comme dans fexemple 6, page io4- On pourra, par déformation continue, faire sortir la sphère intérieure à travers la ligne de passage Cje, : il

[■■îg. 3S.

suffira d'opérer comme on l'a indique dans l'exemple 6, page 1 o5.

On a enfin la surface représentée dans l^Jlg. 38, qui peut se ra-

I nener à une surface convexe avec deux trous 6' et A", ou à une

tl4 CIIAPITHE Ut.

surface circulaire plaac avec tin Iroii (exemple de la page m). Uoe dernière coupure a rend la surface simplement conneie en réunissant les deux trous. Il est important de figurer ces coupures en place sur la surface primitive de Riemann ; c'est ce qui est fait dans hjlff- Sg. La première coupure 6 est tracée tout entière sur la sphère intérieure, elle entoure la ligne de passage e, ej ; elle est marquée en traits poncLués, le trait plein étant réservé pour les lignes tracées sur le feuillet supérieur. La seconde coupure a part d'un point a^ du bord de la coupure b, traverse la ligue de passage e^e, à partir de laquelle elle passe sur le feuillet supérieur, sur lequel elle continue son cours jusqu'à la ligne de passage ei^g

qu'elle traverse en passant de nouveau dans le feuillet inférieur; elle vient enfin se terminer sur le bord de la coupure a opposé an point de départ a|3. Les deux coupures n'ont aucun point commun dans le voisinage du point P de la figure, car elles sonl tracées dans des feuillets différents; a passe au-dessus deé au voisinage de P. Si nous figurons ces mêmes coupures sur la surface plane de Riemann, elles prendront Indisposition de ^Bjjg. 4o,oùle point et peut d'ailleurs être à l'infini. Nous appellerons ordinairement T' la surface de Riemann ainsi découpée, en réservant la lettre T pour la même surface sans coupures. On a indiqué par des Qèclies le sens du mouvement d'un mobile parcourant le contour de la surface finale simplement connexe T', dans le sens positif.

Il est important de distinguer le bord positif el le bord négatif des deux coupures a et b. La coupure a affecte la forme d'une courbe fermée entourant les deu\ points e^ et e^ : nous appelle-

CONNEXION DES BDRF4CE3 A DEUX FEUILLETS. Il5

ms bord positif àe cette coupure le bord extérieur \ marqué de \aesi + sur la Jtg. ^o, et marqué en traits plus gros sur la

^g. 4ï i le bord négatif de a sera le bord intérieur p. Ensuite, >our la coupure b, nous choisissons comme bord positif le bord •.de cette coupure que doit suivre un mobile pour aller du bord po- I ûtif S de n au bord négatif -j- de a, en ayant à sa gaucbe la surface l.deRiemann (l'extérieur de la coupure); ce sens de circulation du I mobile est indiqué par tes flèches. Le bord positif de b est mar- Iqué de la lellre \ et des signes -1- dans \^Jîg- t\o; il est marqué I en Irait plus fort dans layî^. 4i- Le bord opposé p est le bord

I négatif de b. Quand un mobile parcourt les bords des coupures s le sens positif (indiqué par les flèches), il décrit les bords ipposés en sens contraires.

Il est liicn entendu que la disposition seule des coupures est ' importante. On peut faire varier leur forme d'une manière con- ' linue comme on veul, ainsi que la forme des lignes de passage e,Cj et ejff,. On peut aussi inlerverlir le rôle des deus feuillets : supposer par exemple la coupure b tout entière sur le feuillet supérieur, la coupure a dans le voisinage du point apf^ *"'" '^ f^euîllet supérieur et dans le reste de son parcours entre les deus lignes de passage dans le feuillet inférieur. Pour avoir la figure correspondant à celte disposition des coupures, il suffirait de tracer en traits pleins ce qui est poin LÎIlé, et inversement.

56, On traitera de même le cas général d'une surface de Riemaon à deus feuillets, avec un nombre quelconque de lignes de passage. Les surfaces sphériques correspondantes sont analogues au système de deux surfaces sphériques reliées par autant de tubes cylindriques qu'il y a de lignes de passage. Prenons, par exemple, pour traiter encore en détail le cas de six points de ramification, deus sphères extérieures, reliées par trois tubes cylindriques L,, Lj, L3. On fait d'abord une p«tite ouverture /dans la sphère S ; puis on trace, en partant de cette ouverture et en y revenant, une première coupure b, entourant la base du cylindre L) sur la sphère S,

Fig. 4î.

de façon à détacher ce cylindre {Jig. 4a a); il faut Imaginer que celte coupure i, tourne sur la sphère S derrière la buse du cylindre L,. Parlant ensuite d'un point e Je cette coupure b, on trace une seconde coupure ec^iT.fc, A^e venantse terminer sur elle-même en $, de façon à entourer la base du cylindre L, et à détacher ce cylindre de la sphère; cette seconde coupure, que nous désignerons