CO:<NEXI0N DES SURFACES A DEUX FEPILLETB. II

t par C, •+■ ôa, se compose de deus parties, une portion de coupure I Cl de E en 71, puis une autre portion b, affectaol la forme d'une r courbe fermée comme b,. Après ces deux coupures, la surface I n'est pas encore simplement connexe ; en la déformant un peu on [ lai donne la forme représentée dans \afig. 4^ ^■ I Celle nouvelle surface est composée d'une sphère S avec un [ trou dont le bord i'(C!,6jCj est formé par les bords extérieurs de \ b, et 62 et les deux bords de Cj, puis d'une deuxième sphàre S' f reliée à la première par un cylindre L, et portant deux tubes cj-

lindriques L, et L^ ouverts par deux trous dont les bords &' et 1 h\ sont les bords intérieurs des coupures 6, et i^, Cette surface a ' donc trois trous distincts : elle peut, par déformation continue,

ilre ramenée à une surface sphérique avec trois trous ou à un I feuillet plan circulaire avec deux trous {Jig. 4'^ bis).

Fig. 1,1 bi,.

Pour rendre la surface simplement connexe, on se trouve ramené à un problème traité antérieurement: il faut réunir un de ces trois trous aux deux autres par deux coupures n, et a^ de façon à n'en faire qu'un seul trou. Nous joindrons par des coupures le

Fig. 41.

I Iroa de S aux deux irous l)\ et b~.^ de S'. La coupure at joindra I an point de 6', à un point de &', ; de même la coupure a^ joindra un

point de b\ à un point de b\ (/ig. 4^ a). La surface est alors simplement connexe. Il importe de figurer ces coupures en place sur la surface primitive ; c'est ce qui est fait dans la deuxième Jîg. 43 p. Si l'on trace les mêmes coupures sur la surface déformée comme dans \3.Jîg. 42 bis, on obtient les surfaces de \&Jlg. 43 bis.

Fi g. 43 bU.

iiù il est évident que le tracé des coupures rend la surface simplement connexe.

Dans ce qui précède, les sphères sont extérieures. Si l'on avait deux sphères intérieures, réunies par trois tubes, L,, L„ L^, on procéderait de la même façon . On commencerait par détacher de la sphère intérieure S les deux cylindres L, et La par deux coupures /j, et Ca -f- fts entourant les bases de ces deux cylindres; puis l'on retournerait la splièrc interne, à travers le tube L, , comme un gant; on retournerait de même vers l'extérieur les tubes L, et L3 et l'on serait ramené identiquement au cas précédent {fig. 42 p).

S7. Prenons maintenant le cas d'une surface de Riemann sphérique à deux feuillets el 'trois lignes de passage e, e^, CjPi, Cj^o- Ces surfaces sont analogues aux précédentes, et nous les découperons de la même façon. La sphère intérieure est rattachée à l'autre par trois couples de rubans qui se croisent suivant CiCj, ffjC^, CjeB, etqui remplacent les c)'lindres L.,, Lj, Lj. Traçons sur lu sphère intérieure, à partir d'une fente y, une première coupure b, entourant e,ej de façon à détacher celte sphère de la sphère extérieure au voisinage de Ci Ci ; puis retirons vers l'extérieur (comme dans l'exemple 6, p. io5) les deux bouts de ruban qui se croisent suivant e, ej, de façon à les amener en b',

Nous parlons ensuite du bord extérieur h\ de cette coupure 6, ,

CONNEXION DUS SUBFACES A DEUX FEUILLETS. I l>f

et nous traçons une coupure Cj-i- &2 qui vient se terminer sur elle-même après avoir contourné sur la sphère înlérieure la ligne le passage e^^i, en détachant ainsi la sphère intérieure de l'auLre au voisinage de ^j^j. Cette nouvelle coupure faite, nous pouvons retirer vers l'extérieur les rubans qui se croisent en e^e, de façon les amener en b"j [fig- 44 ?)■ On a ainsi ramené la surface

irimîtîve T à deux sphères ialèrienres réunies encore le long 'une seule ligne de passage 6460 et percées, la sphère intérieure un Irou b\ c^ b'.^ Cj, la sphère extérieure de deux trous b\ et b\. i l'on fail alors sortir la sphère intérieure comme précédemment à travers la ligne de passage e^e^, on a une surface représentée dans la fig. ^3^ qu'on peut, par déformation continue,

Kfcransformer en une surface conneset une sphère, par exemple, lavec trois irous, 1, 2, 3, et qui est identique à la surface de la \fig- A'i fi ou ^a bis. On la rendra simptemenl connexe par deux

coupures réunissanl ces trois trous en un seul ; une première coupure a, joindra le trou 1 au trou 3 en allant d'un point de b\ à un point de b] ; puis une deuxième coupure a^ joindra le trou i au trou 3 en allant (fig- 4^) d'un poiat de b'^ k un point de b\.

On a ainsi, comme dans l'exemple précédent, un système de quatre coupures, b, ,€%■+■ bj, a, et Og, rendant la surface simplement connexe.

11 est important de figurer (Jîg. 47) ces coupures en place sur la surface sphérique de Riemann à deux feuillets. La coupure b, en-

toure les deux points e, etcj sur le feuillet inférieur : elle est figurée en traits ponctués; puis d'un point de &< part une coupure Cl + ij se terminant sur elle-même après avoir entouré les deux points €) et et toujours sur le feuillet inférieur. Une première coupure a, part d'un point a^ du bord extérieur de b,, suit d'abord

RuHlet inférieur jusqu'à la ligne de passage e.ien, passe ensuite sur le feuillet supérieur jusqu'à la ligne e,e3, repasse sur le feuillet inférieur et se termine sur le bord de b, opposf! au point de départ a^. Une demième coupure «î part de même d'un point l'p' du bord extérieur de &a, suit le feuillet inférieur jusqu'en «s*». le supérieur jusqu'en CjC), de nouveau le feuillet inférieur et se termine sur le bord de &] oppose ù ti'^'. Les coupures élant

isi tracées, on s'assure aisément qu'un mobile peut parcourir la suite des bords des coupures d'un mouvement continu: le sens de ce parcours, supposé elFectué dans le sens positif par rapport à la surface exlérieure des sphères, est figuré par des (lèches. Aux points tels que P les coupures passent l'une au-dessus de l'autre, car elles sont, l'une dans le feuillet inférieur, l'autre dans le feuillet supérieur.

La même ligure, étant faile pour la surface plane de Riemann, prend la disposition suivante {Jîg. 4^}, où nous avons mis les

Fig. 48-

mimes lettres et où le point d peut être à l'infini. Les coupures «1 et «a affecleni la forme de courbes fermées : le bord positif -t- marqué d'un trait plus fort est le bord externe. Pour le* coupures b, et 6j, le bord positif est défini par la m^me convention que précédemment, page ii5. Le bord positif de l/, est

cuAPiTRB m.

celui que suivrait un mobile pour aller du bord positif de at bu bord tiégalif de a, en marchant, par rapport à la surface de Riemann, dans le sens positif (aire enveloppée à gauche, sens marqué

par les llèches). Ain

lant du r

ï (bord positif de a,)

et marchant sur le bord extérieur de bi dans le sens de la flèche, on revient, en ne tenant pas compte de la coupure Ci, au point ^ (bord négatif de a,). C'est donc, sur la figure, le bord extérieur de b, qui est le bord positif. Si l'on parcourait le bord opposé dans le sens positif marqué par la Qéche, on irait, au contraire, de Y sur le bord négatif de a, en 5surlebord/)OJ('((y". Pour la coupure b^, le bord positif est de même le bord qu'il faudrait suivre pour aller du bord positif de an au bord négatif de ai en marchant dans le sens positif. Ce bord positif est, dans \afig. 4S, le bord externe de Ôj, qui conduit, comme on le voit, dect' (bord positif de a^) en ^' (bord négatif de a,) dans le sens des flèches. Le bord positif de Ci est arbitrairement choisi.

58. Nous venons d'examiner en détail le cas de six points de ramiGcation avec trois lignes de passage, qui est au fond identique à celui de deux sphères esiciieures reliées par trois tubes. Si l'on prend la surface de Hiemann correspondant à la relation

dans laquelle ti ^^sp -h 'i, ou a/) + i, il y a sur la sphère ou sur le plan p ■+- 1 lignes de passage et ip + a points de ramiticatioo, dont un à l'infini quand n est impair. La surface sphérique de Riemann est, au point de vue de la connexion, identique à ud système de deux sphères eitérieures reliées par^ + i tubes cjrlindriques L,, Lj, . . ., l^p+t-

En opérant identiquement comme dans l'exemple précédent, on rendra la surface de Riemann simplement connexe à l'aide des vp coupures suivantes, aue nous traçons sur la surface de Riemann plane. Tout d'abord on mène les coupures b elc + b toutes dans un môme feuillet, le feuillet inférieur,' par exemple, comme il suit. On trace {^g- ^g) une coupure fermée b, entourant les deux seuls points de ramification e, , e^; puis, partant d'un point de b,, une coupure Cj + fca venant se couper elle-même, formée

CONNEXION DES SURFACES \ DEUX FEUILLETS, lli

d'uae branche c-; ei d'uue boucle enlouranl les points ea, e,;

tDsuite, partant de même d'un point de bi, on trace une coui + 0, venant se couper elle-même, formée d'une branche d

t d'une boucle 63 entourant les points e^, e,, ... ; enfin, partant m point de 6p i, on trace une coupure Cp-\- Advenant se couper E-méme, formée d'une brandie Cp et d'une bonde entourant les

mmU etp,-, e^p. Sur \ajig. 4y, on a figuré ces coupures en snp-

Xjji-

iosant les points e, , e,, . . . , e„ dans l'ordre dans lequel les ren- (ontre un rayon vecteur tournant autour de l'origine O dans le lens positif des rotations. Le point e^jj^a est figuré comme étant à distance finie dans la surface plane de Riemann; il est à l'infini qaand n est impair. Les lignes de passage sont tracées comme Incidemment L,i, Lj ,, . , ., h^p^.t ,-ip+i-

, Pour achever de rendre la surface simplement connexe, il faut hsuite tracer/» coupures a. La coupure a, part du bord de la pupure b, en a^ dans le feuillet inférieur {fig- 5o), traverse la ;ne de passage L,^ pour mouler sur le feuillet supérieur, Irai ensuite la ligne de passage La^^., , ^^+2 pour revenir dans le Miîllet inférieur et vient se terminer au point y^ sur le bord de 6, topost' au point de départ ap {.fig- ^o).

I Dans la fig. 5o, pour ne pas surcharger, on a désigné les ibinls de ramification par leurs indices seulement, en mettant 1 , i 3 au lieu de r?,, <■], C], .... De m-éme, la coupure i7] part du 1 interne a^ de 6j, traverse la ligne de passage L,,, joignant S points ej, ^4, tourne autour du point Pi.p+, en traversant la ligne

de passage Lap+i.sp+a el vieni se lermioer en fù sur le bord de ftj oppose au poinl de départ ap. Les coupures «j, . . ., Op sodI tracées de la même façon à l'égard des coupures b^, ..., bp. Toutes ces coupures a fraochisscnila ligne de passage X^np^t^-jp^t

et affectent la forme de courbes fermées entourant le point e^p^, associé à d'autres points de ramiflcatiou. Ainsi a, entoure f| et ^ï/i+ii (ïj entoure Ci, Cj, e-, et Ca^+i, . . ., a* entoure ei, ^i, «j, .... ej*i et ejp+|.

Comme dans les exemples précédents, nous nommerons bord positif des coupures O), Oi, ...,ap le bord externe de ces coupures marqué d'un signe -\- ou de la lellre \ ; le bord positif d'une coupure telle que 61 est le bord que doit suivre un mobile pour aller du bord positif de a, au bord négatif en marchant dans le sens positif {aire de la surface de Kiemann à gauche). D'après cette convention, c'est le bord externe de b| qui est le bord positif : ce boi-d conduit en effet de -v en 5 en lournant dans le sens positif. La même convention appliquée au\ autres coupures b montre qu'elles ont toutes pour bord positif l'extérieur. Quant aux coupures Cj, c^. . .., c^, le choix du bord positif n'a pas d'importanci'. Nous prendrons pour bord positif de la coupure c*, celui qu'il faut suivre pour aller de bh,\ à b), en marcliant dans le

tns positif. On a figuré par des flèches le sens dans lequel se meut un mobile parcourant dans le sens positif loul le contour de la surface de Rieniann ainsi découpée T', contour formé par les bords des coupures. Il va de soi qu'aux points tels que P ces coupures n'ont aucun point commun, car elles sont dans des feuillets difTércots.

Il faut remarquer aussi que la forme des coupures ne joue au- ■ù\e : il n'y a d'essentiel que leurs positions relatives. On ut remplacer le système de coupures considéré par tout autre tt'oa en déduirait par déformation continue. Par exemple, on ut déplacer d'une manière continue le point d'insertion ap^Ô une coupure n* sur une coupure h/,; on peut aussi déplacer 'une manière continue le point d'insertion d'une coupure ca sur !S coupures bi,, et b/,, ou même le faire passer d'une coupure b ir une coupure a. Ainsi, dans \a. Jig. 5o, on pourrait par contilailé amener c^ à occuper une position telle que t!, ou c\\ de éme pour c,, . ■•, Cp.

59. Théorème de Cauchysur une surface de Riemann. — Ce tbéorème résulte immédiatement des définitions posées dans le Chapitre I. Soit/(=, ii) une fonction du point analytique {=, m), poiforme dans le domaine d'un point (:,,»,) de la surface Riemann. Supposons que cette fonction soit régulière au loint (s,, (/,), on admette ce point pour point singulier isolé : io peut toujours prendre le domaine Z du point {2,,u,) assez petit pour que. dans ce domaine, il n'y ait pas de point singulier atacé autre part qu'en {s,,»,). Alors l'intégrale f/{z,u)d3, ise dans le sens positif sur le contour du domaine S, est égale i-/H., R| étant le résidu relatif au point (z,, u,); et cela est rrai que le point (s,, u, ) soit un point ordinaire de la surface à dislance finie ou infinie, ou un point de ramification à distance Il infinie.

Considérons maintenant sur la surface de Riemann une aire S l^oie ou infinie, simplement connexe, limitée par une courbe C Efortnée nécessairement d'un seul trait et représentée sur la sphère par une aire finie simplement connexe S, limitée par une courbe F. Soit /(a, II) une fonction du point analytique (z, u), uniforme Idaos l'aire S, finie sur le contour C, n'admettant dans l'aire S

ia6 CE1APITHI-: IL).

d'autres singularités que des points singuliers isolés, nécessairement en nombre fini. L'intégrale

prise sur le contour C dans le sens posiliT, est égale â

R,, B], ■ ■ . , Rf désignant les résidus relatifs à tous les points singuliers situés sur S et aux points à l'infini si l'aire S est infinie. Pour démontrer ce théorème, découpons par des courbes transversales, en nombre quelconque, l'aire spliérique S en parties o-, . ffj, . . ., ffm assez petites pour que dans cliacune d'elles il y ait au plus un point singulier ou un point de ramification. Comme à chaque point de la surface sphérique de Ricmann correspond un point de la surface plane de Riemann et réciproquement, à celle division de l'aire sphérique 2 correspondra une division de l'aire plane S en parties Si, s^, .-■ , s^ dont chacune contiendra au plus un point singulier ou un point de ramification. L'intégrale y/{s, u)dz, prise sur le contour total C de S, est égale à la somme des valeurs de cette intégrale prises dans le sens positif sur les contours C, Gj, . . ., Cm des aires i,, Sj, . . . , s™, et l'on a