IJ

u)dz^.

f /(=,u)dz ^ J /i,,„)d=^...+ J Jiz

Celte formule est évidente, car, dans les intégrales du second membre, les côtés contigus des aires Ji , Sn, - - . , s™ sont parcourus chacun deux fois en sens contraires, et les portions correspondantes des intégrales se détruisent : il ne reste donc que les portions de ces intégrales relatives aux parties du contour primitif C qui ne figurent chacune qu'une fois dans la somme et dont l'ensemble constitue l'iuiégrale du premier membre. Mais, dans l'équation (i), chaque intégrale du second membre est prise sur le contour d'un domaine assez petit pour ne contenir qu'un poÎDt singulier ou un point de ramification au plus : chacune de ces intégrales est égale à an/ iiiutliplié par le résidu relatif au seul

point singulier qui peul ^tre situé dans l'aire correspoodai l'OD a bien la relation fondamentale

quelle que soil la forme de l'aire simplemenl conoese S,

Le même théorème serait encore vrai, si l'aire considérée S n'était pas simplement connexe et était limitée par une ou plusieurs courbes dont l'ensemble formerait le contour C. La démonstration est la même.

(iO. Voici iine importante conséquence de cette formule, ne

■'appliquant qu'au cas où S est simplement connexe. Supposons

dans l'aire 5, les résidus soient toux nuls; l'intégrale

-dessus est nulle. Considérons alors dans l'aire S deux points

inaljrtiqucsPoet Pde coordonnées (;„, Uo) et (::, «),et deux che-

{■ios PoMP, PoNP joignant ces deux points. Les valeurs de l'in-

•ale

)dz, prises le long de ces deu:

cbej

sont égales. En ellel, supposons d'abord que ces chemins ne se coupent pas; la courbe fermée PoMPNPo, formée par ces deux chemins placés bout à bout, est une courbe fermée tracée sur une surface simplement connexe S; elle détache donc de cette surface une portion Si, également simplement connexe. C'est ce qui résahe de ce que nous avons vu (n"* oO, 53) pour les surfaces

^^■mplcment connexes. Happclons-en rapidement la raison. La surface S peut, par déformation continue, être transformée en une surface formée d'un feuillet plan s à contour simple c; dans cette ^ déformation, les points Pu, P et les chemins P^MP, P„NP deiennent fjtg- 5j) pa, p, p^mp, Pa"P- Ces nouveaux chemins,

placés bout à bout , pof^pnpo, forment un contour simple ne se coupant pas, limitant une aire 5|, simplement connexe, située dans s : donc, sur la portion de surface de Riemann S, la courbe PoMPNPo limite une aire Si simplement connexe, située tout entière dans S.

Comme, par hypothèse, les résidus de f(Zj u) dans S sont tous nuls, cette fonction est uniforme dans Si et elle y a aussi tous ses résidus nuls : l'intégrale ff(^z^u)dz^ prise sur le contour PoMPNPo de Si, est donc nulle. Or la première partie de cette intégrale, le long de PoMP, est

/ f{z,u)dz, et la deuxième, le long de PNPo, est

la somme de ces deux intégrales étant nulle, on voit que la valeur de l'intégrale ff{Zy u)dz^ du point Po au point P, est indépendante de la courbe le long de laquelle on la prend, pourvu que cette courbe soit située sur S.

Nous avons supposé que les chemins PoMP et PqNP ne se coupent pas ; s'ils se rencontraient en un certain nombre de points analytiques, il n'y aurait qu'à les comparer à un chemin ayant les mêmes extrémités et ne rencontrant aucun d'eux; et la conclusion serait la même.

En résumé, l'intégrale

F(5, a) = f ' f{z,u)dz

a une valeur unique, quel que soit le chemin suivi sur S entre les deux points limites. Laissant le point Po(so,Wo) fi^e et faisant varier le point P(>z, m), on voit que cette intégrale définit une fonction du point analytique {z^ u), F(z, a), uniforme dans l'aire S. Comme /est supposé n'avoir dans S que des points singuliers isolés à résidus nuls, F (5, u) n'aura que des points singuliers isolés dans la même aire S.

CI. Le cas le plus iraporlanl cl en même Icmps le plus simple est le cas où l'aire S se compose de loute la surface de RiemaDn simptemenl connexe T', dont le contour G est formé par l'ensemble lies coupures a*, ft* et C/, précédemment tracées. La fonetion y"(5, u) est alors supposée uniforme sur toute ta surface T' et ne possède que des points siu^juliers isolf^s. Dans ces conditions, l'intégrale

prise sur le contour de la surface T' dans le sens positif, est égale au produit de itâ par la somme de tous les résidus de /. Dans cette intégration, les bords opposés d'une même coupure sont parcourus en sens contraire.

Exemple. — Si la fonction /{z, u). satisfaisant aux condiprécédentes, est uniforme, non seulement surin sitr/accT', rendue simplement connexe par les coupures a, b, c, mais sur la sur/ace primitive de fiiemann T non découpéCy bi Diine des résidus de cette fonction, sur loute la surface de 'Riemann (y compris l'infini), est nulle. Dire que/est uniforme sur la surface primitive T de Riemann, c'est admettre qu'elle m- I change pas de valeur quand on franchit une coupure ou qu'c//e ^^^rend les mêmes valeurs sur les bords opposés de chaque cou-

^^Vest évidemment nulle, car les deux bords d'une mi!me coupure

L ^tant parcourus en sens contraire et la fonction / prenant les

métnes valeurs sur les deux bords d'une coupure, les éléments de

l'inlégrale provenant des bords opposés de chaque coupure se

détruisent deux à deux. La somme des résidus est donc nulle.

i théorème s'applique en parliciilier à une fonction ration-

e de ; et u; nous l'avons démontré autrement dans le Cha-

■pitre 1.

. Supposons maintenant que l'aire simplement connexe S I embrasse loute la surface de Riemann f, et que, de plus, tous ,G. g

l36 CIIAI'ITHE III.

les résidus de J(z,u) soient nuls. Dans ces conditions, si l'on prend sur la surface deux points analytiques, Pg^Sg, Ut) ei P(;, h), l'intégrale

P(.-.")= f /(=. ")rf«,

prise de Po en P le long d'une ligne quelconque tracée sitr la sur/ace T', c'est-à-dire ne franchissant pas le contour de celle surface constitué par l'ensemble des coupures, a une valeur indépendante du chemin suivi (n° CO). La limite inférieure étant regardée comme fixe, celle inlégrale est donc une fonction uniforme de sa limite supérieure (z, w), V{z, ii), sur la surface de Riemann T'. Celle fonction F(z, «) n'a d'ailleurs pas d'autres points singuliers que les points singuliers de/(z, u), car, dans le voisinage de tout point où /(=, h) est régulière, il en est de même de F(5, «), sauf, peut êlre, pour le point à l'infini.

Si l'on suppose que /(:, ii) est nne/onction rationnelle de z et u ai-ec des résidus nuls, F{r, ii) est une intégrale abélïenne composée avec des intégrales quelconques de premicre et de detixième espèce. Donc une somme d'iniégrales de première et de deuxième espèce, avant même limite supérieure (2, u), est une fonction uniforme de (3, h) sur la surface de Riemann simplement connexe T',

63. Laissons décote le casoii/(;, ») serait une fonction transcendante, et supposons que /"{!, 11) est une fonction rationnelle de z el u avec des résidus tous nuls. L'intégrale

"■■(-■ «)=/"''"/(^-")rf=

est alors, comme nous venons de le voir, une somme d'intégrales abéliennes de première et de deuxième espèce : c'est une fonction uniforme de (s, h) sur la surface ï' ; la fonction rationnelle /(j, u) est une fonction uniforme, même sur la surface primitive T sans coupures, de sorte que /(s, m) prend les mêmes valeurs sur les deux bords opposés d'une même coupure, car l'épaisseur d'une coupure est toujours supposée infiniment petite.

COHKEXtON DES SURFACES A DEI[\ FEUILLETS. l3l

Voyons quelles rclalions il existe enlre les deux valeurs de

F{:,u) aux deux bords opposés d'une coupure. Prenons, pour

I fixer les idées, la coupure a, : soient ). un poiuE du Lord positif, p

[ i^/i s- 52) le point situé en face de ). sur le bord négatif, a et j3 les

deux points où le bord négatif de la coupure 0, rencontre les Itords de a,. La valeur de l'intégrale F(;, 11) en un point analytique étant indépendante du chemin d'intégration, pour avoir la Valeur de F(:;, «) au point X, nous pouvons aller de I'd en ot, puis de z en t. le long du bord positif de Ea coupure ; alors

dernière intégrale étant prise sur le bord positif de la coupure Si de z à À. De même, pour avoir la valeur de F( s, u) en p, allons l'o en p, puis de ^ en p le long du bord négatif

F(p)=F(p}+ /■ nz.u)dz.

Dans la figure, le point P^ est supposé si Il l'on a tracé un chemin allant de Pg en 0

•lefeuillel supérieur, 1 franchir de cou-

tre. Mais les deux intégrales / /(ï, u)rfs et / /(z, u')dz sont

{gales, car a diffère infiniment peu de p, X de p, et les themins d'intégration de a A î. et de fl à p dilTèrcni infiniment peu ; enlîu,

l32 CUAPITRt: III.

la fonction rationnelle prend les mêmes valeurs aux deux bords de la coupure. Les intégrales sont donc composées identiquement des mêmes éléments, et Ton a

Gomme X et p sont deux points quelconques en face Tun de Tautre sur la coupure ai, la différence FÇk) — F(p) est constante tout le long de a^j depuis a, p jusqu'en v, S. Cette différence constante, que nous appellerons A, , est le module de périodicité de l'intégrale F(z^u) le long de la coupure a|. Pour calculer effectivement cette constante A|, remarquons que F(a) étant la valeur de l'intégrale en a le long du chemin figuré Po», pour avoir F( j3), il suffit de prendre l'intégrale de P© en a sur le chemin précédent, puis de a en p le long du bord interne de la coupure b^. Donc la différence* F (a) — F(P) est la valeur de l'intégrale

/(^, u) dz prise de P en a le long du bord interne de b^ ; le

module de périodicité Ai est donc la valeur de l'intégrale prise sur une petite courbe fermée tracée dans le feuillet inférieur de la surface et entourant les deux points de ramification e^ et e^ {fig* 53); cette petite courbe fermée peut être supposée placée

Fig. 53.

en (7 infiniment près de la ligne de passage Cy e^, car les valeurs de rintégrale le long de deux courbes fermées quelconques C et G', entourant les deux points et et ^2 sur le feuillet inférieur de la surface primitive T, et pouvant se réduire l'une à l'autre par continuité sans franchir aucun point de ramification, sont égales entre elles. Cela résulte de ce que, dans l'aire comprise entre les courbes C et C, la fonction /(;5,w) est uniforme et a ses résidus tous nuls.

De même, si Ton appelle X et p deux points en face l'un de iPaulre sur les deux bords d'une coupnre quelconque «s, X sur rd positif, p sur le bord négatif, la différence F{X) — F(p) a, ig de cette coupure, une valeur constante A^ égale à rinlé- //(s, m) ds, prise dans le sens positif le long d'une courbe lée entourant les deux points de ramification eij,t, en, sur le iUel inférieur.

Une coupure telle que ù, est partagée en deux parties par le lint d'insertion ye de la coupure Cj et le point d'insertion a^Y° Oi {/îg- 5^). Nous appellerons provisoirement ces deux parties eti,. En vertu du raisonnement précédent, sur la portion b\, la dilTérence F().} — F(p) est une constante B', et sur la partie b\ ane constante B'j ; enfin sur c-j celte même différence est une constante Cl- Nous allons démontrer que

En efTet, le point de croisement des coupures ((| et b, donne

S points a et ^, yet^ sont en face l'un de l'autre sur les bords ! a„ K et Y sii* le bord positif, ^ et S sur le bord négatif. De lérae Y et x, étant en face sur les bords de b], on a

luis ^ et ^ sur les bords de b\, on a

lietranchant ces deui dernières équations memlire à membre,

jualion dont le premier membre est nul en vertu des rclaons (3), Donc B, = R\ ; nous appellerons alors B, lavaleurcomlune de ces deux quantités, c'est-à-dire la différence constante '(),) — F(p) tout le long de b, ; B, est le module de périodicité e l'intégrale le long de b,. Pour calculer effectivement B,, on

remarque que B, ouF(y) — F(a) est égal à l'inlégrale j/{z,ti\ dz prise sur le bord extérieur de la coupure n, de a à y, c'est-ù-dirc dans le sens indiqué par la flèche. Donc B, est la valeur de l'inlégrale prise, dans le sens négatif, sur une courbe fermée enlourant les deux points de ramification €,, Cj^+t et tracée sur les mêmes feuillets que la coupure (7,.

Enlin le module de périodicité C^ le long de c, est nul. On peut le voir d'une première fa^on en prenant le point de croisement EyT| des coupures b, et Cj qui donne

Retranchant les deux premières équations membre à mcmlirr, on trouve immédiatement que Cj est nul. C'est ce qu'on peut aussi voir directement, car Cj ou F('^) — F(£) est égal à l'intégrale i f{^, ti)dz prise de £ en y le long du contour suivant {Jig. 52): efi', S {bord extérieur de b,), ôp3 (bord intérieur de «,). pT|Ot {bord intérieur de ù,), aXy (bord extérieur de «,), enfin ffi^y^bord extérieur de b,). Cette intégrale est nulle, car, dans le chemin d'intégration que nous venons d'indiquer, les bords opposés des deux coupures ^i et bi sont parcourus en sens contraire, et comme /(;, u) prend les mêmes valeurs aux points correspondants des deux bords des coupures, les l'iéments de l'intégrale sont deux à deux égaux et de signes contraires. D'après cela, il n'^' a pas de module de périodicité le long de c-i ; l'intégrale abélienne F(s, u) de première ou de seconde espèce prend les mêmes valeurs aux deux bords opposés de Cj, de sorte que, même si l'on supprimait cette portion de coupure appelée c», Tinlégrale F{3, h) resterait uniforme sur la surface T' ainsi modifiée.

Le même raisonnement montre que, sur cbacune des coupures 6a{A'^i, 3, ...,jd), l'intégrale admet un module de périodicité Ba, et que sur chacune des portions de coupures c/,{/i ^^ a, , . .. />) le module de périodicité est nul; B* est égal ù linlégrale / y(-, ti)ds prise dans le sens négatif sur une courbe fermée entourant les points c,, e^, e,. . . . . Ca*i, ^ap+i.

l.'inlégrale F(z, u), qui est Finti^grale la plus générale, coiiv

posêed'iniégrafes de première el tic s dules de périodicité

inde espèce, a donc 'ip mo-

relatifs respeclivemcDl a

1 portions de coupures

6,, A,, ... , ftp.

Cette intégrale est uniforme sur la surface de Riemann T' rendue simplcmenl connexe par les coupures a*, bi, et ci,. Elle cesserait de l'être si Ton supprimait les coupures, ou, i:e qui revient au même, si l'on permettait au point analytique (^,'() de francbir les coupures. Si nous continuons à appeler F(s, u) la valeur unique que prend l'intégrale en un point (:;, u) quand la variable {z, u) ne franchit i^ucune coupure, la valeur la plus générale que puisse prendre l'intégrale en ce point, quand le point (j, a) peut franchir arbitrairement toutes les coupures, est

ipAj,-^«,B

positifs, négatifs ou nuls. En effet, chaqu franchit une coupure, la difTéreuce entre

es entiers quelconques ; fois que le point {z, u) es valeurs de l'intégrale

f{z,u)dz Cl F{--,tt}

augmente ou diminue du module de périodicité correspondant. Ainsi, par exemple, considérons(y(^. 5o)le chemin Papî.p'X'(3, u) qui franchit les deux coupures «3,^3, enX, p et),',p', avant d'arriver au point {z, u).

L'intégrale prise de V^ en p estF(p) puisque la limite inférieure est au point ?„ par hypothèse. Prise de p à X elle est nulle, car l'épaisseur de la coupure est infiniment petite. Prise de X à p' l'Ile est F(p') — F().), de p' à ),' elle est nulle ; enfin de ),' <-n {z, u) elle csl F(s, u) — F(X')- La valeur de l'intégrale de l'o en [z, u)

le long du chemin consid«fTé est donc, intégrales partielles ci-dessus,

i l'oit fait la âomrae des

c'est-à-dire car, sur a-i, on et, sur o,,

F(p)-HF(p')-F().)-^F(i,u F(=, „)-A,-A„ F(^)-F{p) = A, F(l') — F(p') = A„

Remarque sur le calcul des modules de périodicité. — Nous avons vu qu'un module de périodicité tel que A, est égal à Tînlégrale //(=, ii)dz prise, dans le sens positif, sur une courbe fermée C quelconque parlant d'un point du feuillet inférieur et entourant une fois les deux points de ramification c, el e^ {fig- 53). On peut, en particulier, donner à cette courbe la forme suivante. Partant du point O du feuillet inférieur, on suit d'abord un chemin rectiligne 0/ jusqu'en un point / infiniment voisin de e,, puis tin décrit un cercle infiniment petit t, 'autour de e, , on revient lie l en O, on décrit un second chemin rectiligne O m, allant de O (feuillet supérieur) en un point m infiniment voisin de ^j, un cercle infiniment petit 17^ autour de «2 d l'on revient de m en O (feuillet inférieur). Chacun des chemins 0^o-| ^O, Omo-a/nO s'appelle un lacet. La période A, est donc la somme des valeurs de l'intégrale prise sur les deux lacets relatifs aux points <?, et ej de la manière indiquée. Chaque période A( s'exprime, de la même façon, par la somme des valeurs de l'intégrale sur les lacets relatifs aux deux points de ramification entourés parla coupure b/,. Quant aux périodes It(, B^, ..., B^, elles s'expriment, la première B| parla somme des valeurs de l'intégrale prise dans le sens négatif sur les lacets relatifs aux poîuls (.■, , C^p^i , la deuxième Bg par la somme des valeurs de l'intégrale prise dans le sens négatif sur les lacets relatifs aux points e\, e^, fij, ea^+i, .- -- On a représenté dans la Jîg. 53 les lacets relatifs aux points e^ , e^, e^, ^sp+i ; pour avoir Bj, il faut faire décrire au point (;, u) la succession de ces lacets en commençant, par exemple, par le lacet ej^^., qitidoît âtre parcouru dans le sens négatif (sens de la flèche) en partant du point O du feuillet inférieur; après le lacet Cap+i viendra c„

puis Ci, puis e, ; cela rësulie de ccq^u'une courbe fermi':c entourant les points P), Cj, fi, Cap^t, comme le bord de la coupure dj, peut, par déformation continue, Ctre amenée à l'ensemble de ces Llacets successifs. Celte manière de calculer les modules de pério- ■dicilé permet de comparer les résultats delà mélhodc de Riemann n ceux que donnent les méthodes de Cauchj {voir Bbiot, Fonc- Wtions abéliennes, Chapitre VI i.

6-i. Dans tout ce qui suil, nous étudierons l'iulégrale F(s, u) surface de Riemann simplement connexe T' : F(s, u) est [alors une fonction uniforme de (s, h) avec ip modules de pério- Bidicité. En particulier, toute intégrale abéliennc de première Kou de seconde espèce admet ainsi a/> modules de périodicité. [Nous allons étudier séparément ces deux sortes d'intégrales; mais auparavant nous traiterons un exemple, en appliquant ce qui précède aux intégrales elliptiques de première et de seconde .espèce.

Considérons la relation algébrique

loù k est une quantité Imaginaire quelconque. Nous avons actuellement quatre points de ramification +1, —1, H-t> — t fig. 54)- Nous conviendrons que, dans le feuillet supérieur, on ail K»ur 3^0, (( = I , et que les deux feuillets se raccordent le long les Uguesde passage suivantes : la ligne droite Ljoignanl les points I, Cl la ligne courbe IV joignant les points -f- ,1 —j' I coupure b entoure entièrement les deux points + 1 et — 1 let supérieur; la coupure a part du point v^ du bord Citerne de b, traverse L', tourne dans le feuillet inférieur autour i points 4- T et -i- i , traverse la lîgne de passage L et revient kboutir an point «p en face de -^3. Nous supposerons le point O, R(o, ■) placé sur le bord positif de cette coupure b. Ici/^^i [T(figure analogue aa^Jig. /Jo et 4i)' Il J a deux modules de pério- P dicité pour chaque intégrale de première ou de seconde espèce f correspondant à la relation algébrique considérée, c'est-à-dire

l38 CHAPITRE III.

pour chaque intégrale elliptique de première ou de seconde espèce F{z^ w)= f f{2j u) é/^, /étant rationnel. Soient A et B ces deux

Fig. 54.

modules de périodicité le long des coupures a et 6, dont les bords positifs sont marqués des signes +. On a

A est donc l'intégrale elliptique considérée, prise de 8 en y le long du bord externe de 6, ou plus généralement prise dans le sens négatif sur une courbe fermée quelconque entourant les deux points -h I et — i dans le feuillet supérieur. On peut, en particulier, réduire cette courbe à une ligne C infiniment peu différente de la droite — i 4- i, ou à cette droite elle-même parcourue de — I en -+- 1 dans le feuillet supérieur, puis de 4- i à — i dans le feuillet inférieur.

La période B étant égale à F(P) — F(y) est égale à l'intégrale prise de Y en p le long du bord externe de la coupure «, et, par conséquent, à l'intégrale prise dans le sens négatif sur une courbe

fermée quelconque entourant les deux points -+- i et -H ^ > et, en particulier, le long d'une courbe fermée infiniment voisine du segment de droite -H ' + t parcouru de i à t dans le feuillet supérieur, de t à i. dans le feuillet inférieur.

CONNEXION DES SLHFACE3 A DKUX KEUli.t.l^TS. I

Prenons, pnr exemple, l'inlégralc de première espèce Appelons, avec Jacobi, )v et iK' les deux inlégrales

irises dans l<- fciiillcL supérieur, la première sutvanl le segment Tcctiligne de oâ i , la deuxième suivant le segment ■ à t • L'intégrale

I —, prise de — i à + i dans le feuillet supérieur, est égale à aK; si on la prenait de — i à -H i dans le feuillet inférieur, elle serait — 2 K, car les valeurs de u seraient égales et de signes con- Iraires aux précédentes ; donc la même intégrale prise de + 1 à I dans le feuillet inférieur est aK et la période A le long de a est iK.. De même, la période B le long de 6 est 3iK', car l'intégrale de T ù I, dans le feuillet inférieur, égale l'intégrale de 1 à t

^ans le feuillet supérieur.

Prenons encore l'intégrale appelée par Legendre intégrale de seconde espèce,

|tii est partout finie à distance finie. E'our des valeurs très grandes le 3, on a, dans l'un des feuillets,

Dans le domaine du point x dans Tun des feuillets, Z(-, m) esl loue de la forme

Dan« le domaine du point ce, dans l'autre feuillet, on aurait un léveloppement de même forme, obtenu en changeant la valeur de

l4o CHAPITRE III.

la conslante et le signe de tous les coefficients. L^intégrale Z(z^ u) est donc bien de seconde espèce d'après nos dénominations; elle a pour pôles simples les deux points à l'infini dans les deux feuillets. Si l'on pose avec Legendre

les intégrales étant rectilignes dans le feuillet supérieur, on voit, comme plus haut, que les modules de périodicité de l'intégrale Z, le long des coupures a et 6, sont

A'=4J, B' = 2iT.

Remarque. — La courbe C est composée d'une suite de deux lacets; la courbe G entourant les points i et t peut être remplacée aussi par deux lacets partant de O et entourant successivement les points i et t :» comme on l'a montré dans la Jig. 53 pour la courbe C entourant les points ei et 62 de cette figure.

65. Si F{zj u) et F'{zy u) désignent deux intégrales abéliennes composées comme les précédentes à l'aide d'intégrales de première et de seconde espèce, la valeur de l'intégrale

\^ fF{z,u)d¥'{z,u),

prise dans le sens positif sur le contour de la surface T' de Riemann, a une forme remarquable. Le contour de la surface T' est formé par l'ensemble des bords des coupures. Appelons Aa, B^ les modules de périodicité de l'intégrale F, A'^^ et B\ ceux de F' le long des coupures a^ ci b^] nous allons démontrer que l'intégrale I a pour valeur

I = AiB'i - B, A'i H- AjB'j - BjA; -h. . .-i- ApB;,- Bp A'^.

En effet, évaluons, dans l'intégrale I, les éléments provenant des deux bords des différentes coupures. Prenons d'abord la coupure ai, X un point du bord positif, p le point situé en face sur le

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l4ï

bord négatit. Dans la somme d'éléments I, la partie provenant du bord positif de la coupure a^ est (Jig. 62)

f F(X)rfF'(X),

F(X) et F'()w) désignant les valeurs de F et F' au point )», car le point X se déplace de a à y; la partie provenant du bord négatif est de même

car, lorsque z parcourt le système des coupures, sur le bord négatif il se déplace de 0 en (3 dans le sens indiqué par la flèche. La somme de ces deux intégral es es t, en intervertissant les limites de la seconde,

f FiDdra)- f F{p)dF'{p).

Jet t/a

Maintenant, comme la coupure a une largeur infiniment petite, pour faire varier X de a à y, il suffît de faire varier p qui est en face de ^ à S ; on a de plus

F'(X) = F(p)-+-A;, F(X):-F(p)-f-An ./F'(X)-rfF'(p);

donc la somme ci-dessus devient

rV(P)-+-Ai]^F'(P)- r F(p)e/F(p).

c'est-à-dire, en réduisant,

Aiy''rfF(p) = A,[F'(o)-F'(P)].

Mais cette dernière différence F'(ô) — F'(p) est la différence des valeurs de F' aux bords positif et négatif de b^ ; c'est donc B',, et la somme des deux intégrales est Ai B'^ .

Cherchons de même, dans la somme des éléments I, ceux qui proviennent des deux bords de la coupure b^ : nous allons trou-

l42 CHAPITRE III.

ver — BiA'^. Ed effet, appelons encore A et p les deux points opposés sur les deux bords de 6|, nous aurons, comme précédemment ^ les intégrales

f\a)dF'(\)- f F(p)rfF(p),

sur les deux bordsde b\ . Or

F(X) = F(p)-hB,.

et pour faire varier X de y à 8 il suffit de faire varier p, qui est en face, de a à ^. La somme des deux intégrales est doue

Ç [F(p) + B,]rfF'(p)-/* F(p)rfF'(p),

c'est-à-dire

B. / dF'(p) = B,[F'(P)-F'(a)].

La différence F'(a) — F'(P) est égale à A'^, car a est sur le bord positif, p sur le bord négatif de a\\ donc, l'expression cidessus est

en résumé, la partie de l'intégrale I, provenant des bords des deux

coupures a^ et 6|, est

A,Bi — B,A'i.

De même, la partie provenant des bords des coupures a%^ h^ est

A,Bi-B,A;, et ainsi de suite.

La partie provenant des bords d'une portion de coupure Ch est nulle; car, sur les deux bords de ca, les fonctions F et F' prennent les mêmes valeurs et les deux bords sont parcourus en sens opposés. Donc, enfin, I est égal à

A,B'i - BiA'i +. . .4- ApB'^ — BpA;,.

Le théorème est démontré.