On après le théoi

saluer autrement celle iclégiale I. En eflet, e de Cauchy, elle esl égale à iv:i mulliplié par

e des résidus de la fonclion

KSar toute la surface de Riemann. En égalant ces deux valeurs de Tl'intégrale I, on a une relation de la plus hauic importance entre ■les périodes.

67. Celte relation, que nous n'écrirons pas ici pour le cas géfnérai, prend une forme particulièrement simple quand F et F' Ktoni deux intégrales abéliennes de première espèce. Alors tous ■^Et résidus de la/onction

uit nuis. Tout d'abord celte fonclion n'a que des points sïngu-

s isolés, car il en esl ainsi de chaque facteur F et j- • De plus,

' comme le premier facteur F est partout Jini puisque c'est une

inté^'rale de première espèce, les seules singularités sont celles

qai proviennent du second facteur. A l'infini, ce second facteur

- esl inûniment petit de l'ordre de 35 ou de (-1 ; il en esl de : du produit et le résidu est nul. Le facteur -t— devient lËQÎ aux points de ramilicalion : au point £,, il devient inlîni — J-. il en est donc de même du produit F -3—, et le

siduest encore nul. Donc tous les résidus sont nuls : l'inlégraie I [l'est aussi, et l'on a entre les modules de périodicité de deux <ntégrales de première espèce la relation

BjA; -

Pour traiter un second exemple où le calcul de l'intégrale I e fait directement, supposons que F(3, u) soil une intégralede « espèce^ et F'(s, u) une intégrale élémentaire de seconde espèce ayant pour seul pôle le point analytique {a, i), avec

l44 CHAPITRB 111.

un résidu égal à i. Nous supposerons (a, b) à distance finie et distinct d'un point de ramification. On a alors, dans le domaine de ce point,

F'(;5, u) = hao-hai(-5 — «) -H. ..,

Z — Cl

où les termes suivant le premier forment une série entière en z — a. Donc, dans le domaine du même point,

clz (v — a)*

D'autre part, l'intégrale de première espèce F est régulière partout : on a dans le domaine du point (a, 6), par la formule de

Taylor,

oii/{Zj u) désigne la dérivée de F(z, u) par rapport à z, de sorte que

F(z, u)= j f{z, u)dz\

/{z^ u) est donc la fonction rationnelle de z et u dont l'intégration fournit l'intégrale de première espèce considérée. Le déve-

loppement de F(z, u) ~t- au voisinage de (a, 6) est, par conséquent,

Fr^, h) f(rr,h) -; — ' h une série entière;

ce qui montre que le résidu est — /(«, b).

Tous les autres résidus du produit F(5, u) ~>- sont nuls, car,

aux points de ramification et aux points à l'infini, F' se comporte

comme une intégrale de première espèce, de sorte qu'à l'infini

^F' . ^ . . Il . , .«

-^ est infiniment petit comme — ou — et, en un point de ramifi-

cation c/ à distance finie, infini comme . La fonction F —

^z — Ci as

n'ajant qu'un résidu non nul, ^ f{a^ 6), l'intégrale I est égale à — 2Tzif{a, b) et l'on a, entre les modules de périodicité des deux intégrales F(^, u) de première espèce etY'{z^ u) de seconde es-

■:o»MixioN DKS stnfACEB a keix PRiiLLErâ. 145

Ifïèce avec le pôle simple (h, h 1, la relation

Al B; ~ B,A', -t- A,B', - UiA; 4 . . .-t- ApB), — B,,A;, = — aKi/(a, 6).

Nous n'examinerons pas comment il faut inoctîGer le second I membre quand le pôle Ifi, b) de l'intégrale de seconde espèce se ] trouve en un point dr ramilicatioa ou à l'infioi : on doit alors

calculer le résidu II du produit ^ {s, u) ' niL'tIre dans le second membre, au lieu d

<Iuit2T!/U.

dF'ii

— en ce point cl

:i f{a, b), le pro-

69. De même que le ibéorème de Cauclij , lu formule de Kii- I mannrelalive à l'intégrait' / X(/Y peut ûtret! tendue aune suiface [ i deux feuillets.

Soit ♦(;. h) ^= X -H iV une fonction uniforme du point anal^- I tique (;, II), réguli<':re en tous les points d'une portion simple- I jnent connexe S de la surface de Rjemann, limitée par un con- ■ tour C L'intégrale j XiiY, prise le lon/f du contour Intal V. wdans le sens direct, a une valeur positive.

L'aire S peut s'étendre à l'infini et contenir des puinis de laffiiificatton. S'il en est ainsi, imaginons qu'on délacbo les points ; ramification en entourant cLacun d'eux d'un petit cercle el Kenlevant la portion de ï^urface intérieure à ce petit cercle, el qu'on mléve de même les portions de cette surface extérieure à un ou |dcuK cercles de ra^fons très grands. On déduit ainsi de S une louvelle surface S' située tout entière à distance finie el ne rennermant plus de |)oiat9 de ramification. Cette surface S' peut être pécumposée pardes lignes ausilïaires, en morceaux n'appartenant a seul feuillel, à chacun desquels on peut appliquer la formule de Riemann. En faisant la somme des égalités obtenues, les tortions d'intégrales provenant des lignes auxiliaires se détruisent I l'on voit que riatcgrale / X(/V, prise le long du contour total ije S' dans le sens direct, est égale à l'intégrale double

ff\m^(M

Irtendue à l'aire totale S'. Le c A. ET G.

l46 CIIAIMTHL III.

contour primitif C et en outre des petites circonrérences qui entourent les points de ramiCcation et des grandes circonférences

que Ton a ajoutées pour limiter S'. Les intégrales / X^Y provenant de ces lignes sont infiniment petites. Par exemple, lorsque (3, li) vient en un point de ramification {ei^ o), le point X -f- A vient en un point A -h B/ à distance finie; au petit cercle décrit autour de ((?/, o) sur la surface de Riemann correspond, sur le plan où l'on représente X -+- /Y, un contour fermé infiniment

petit entourant le point de coordonnées A, B. L'intégrale / X d\

le long du petit cercle est égale à l'aire balayée par le rayon vecteur joignant le point (A, B) au point (X, Y). Donc, la valeur de

l'intégrale / X dY le long du petit contour entourant le point ci est

infiniment petite; on peut la supprimer sans altérer le signe de

l'intégrale totale / X<iY étendue au contour de S'. De même,

quand le point (-3, a) vient en un point à l'infini, le point X h- i\ vient en un point (A, B) à distance finie. Quand (:;, u) décrit sur la sphère un contour fermé infiniment rapproché du point O' ou dans le plan un contour formé d'un ou deux cercles de rayon très grand, le point (X, Y) décrit dans le plan représentatif de X 4- /Y une courbe fermée infiniment petite autour du point

(A, B). La valeur correspondante de l'intégrale / X cA^ est égale à l'aire de cette courbe fermée, elle est donc infiniment petite et sa valeur n'influe pas sur le signe de l'intégrale totale / X iPi étendue à

tout le contour de S'. L'intégrale / XrfY étendue au contour prlmitif ne diflerant de / X^Y, étendue au contour auxiliaire, que

par des intégrales infiniment petites, ces deux intégrales ont le même signe, et le théorème est démontré.

70. Faisons l'application de ce théorème aux intégrales abétiennes de première espèce. Soit F(5, u) une intégrale abélienne de première espèce ; c'est, sur la surface simplement connexe T' limitée par les bords du système de coupures «a, 6^5 c/t une

CONNEXION DES SURFACES A DEUX. FEUILLETS. l47

fonction partout régulière. Si donc on j30se

rintégrale

/XdY

étendue au contour de la surface de Riemann tout entière T', c'està-dire prise le long des bords des coupures, est positive. Soient

A A- = «Ar H- ta A-, ^k = Pat -+- i^'k

les modules de périodicité de F(^, u) sur les coupures «a? ^a, en mettant en évidence les parties réelles et imaginaires. Alors, sur les deux bords X et p d'une coupure a^, on a

F(X)-F(p) = Aa-, c'est-à-dire

en appelant X(X), Y( a), ... les valeurs de X et Y au point )., —

On a donc

de même sur les bords de 6a,

Sur les bords des portions de coupures q, ces différences sont nulles. D'après cela, l'intégrale

i = XdY

prise dans le sens positif le long des bords des coupures a pour valeur

J = ai p; - Pia'i -+- %i p; - pî»; -i-. . .+ a,,p'^ — p^a),;

c'est ce qu'on voit en répétant identiquement le raisonnement du n° 65 qui nous a donné la valeur de l'intégrale

avec les conditions

fF(z,u)dF'iz, u),

F(X) - F(p) = A)t, F'(X) - P(p) = Ai

l48 CHAPITRK III.

sur les coupures «^t, et

F(X)-F(p) = Ba., F'(X)-r(p) = Bi

sur les coupures bk, les mêmes différences étant nulles sur Ch-

Doue, pour une intégrale quelconque de première espèce, la quantité J est positive. Il est, en particulier, impossible que toules les quantités oLi, aj, ..., a^, a,. ..., a^ soient nulles en même temps, c'est-à-dire que A|, A2. .... A^ soient tous nuls. On peut faire la même remarque pour Bi, Bo, . . ., B^.

Par exemple, pour l'intégrale elliptique de première espèce que nous avons considérée au n® 64, les deux modules de périodicité correspondant aux deux coupures a et b (p =: i) sont

On a alors

K' ce qui démontre que, dans le rapport —, la partie réelle est positive; on a, en effet,

K "'' la — a' ~^ a^-r-a'^

71. Intégrales normales de première espèce,, — Nous avons trouvé qu'il existe p intégrales de première espèce linéairement indépendantes

Nous appellerons

Axrl, Aa2^ .-., ^^A/M ^kU ^kiy • • • » ^Ap

les modules de périodicité de iv^ le long des coupures ût, , a.., .... ap et bij b^j • • • , bp.

Posons, en désignant par k un des nombres 1, a, ,..,/> :

A,, Xo, . . . , X^ étant des constantes. La fonction sv^^^ est aussi une

inlégrale de première espèce : ses modules de périodicité, que nous appellerons

^kU «A2, •••. dkp,

sont donnés par les équations

^k\ = Al Ail -i- ^2^21 ~f • • • -r- ^^pXpiy ^kt = ^1 Au -+- A2AJJ - ... -h ApApij

Cljkp=^ Al AipH- Az^lp-^ • • •

• ApApp,

^xi ~ ^iBii -h XjBji

1 A,,Bpi,

6^2 — AiBjs •+• A2B12 -f- . . .

■ ' Ay,By,2,

^kp^^ Al Bip -h A2B2P4- ...-+- ApSpp.

Tout d'abord, le déterminant des modules de périodicité A^ a

An, A21, A12, A22,

Ain, A

2yj)

J^pl A/,2

App

est différent de zéro. En effet, s'il était nul, on pourrait déterminer les constantes Xi, X2, . . . , X^ de telle façon que les modules de périodicité a^i , 0^2? • • • ? «a/> donnés par (4) fussent tous nuls à la/ois. Car on aurait, pour déterminer les constantes X,p équations linéaires et homogènes à p inconnues, le déterminant des coefficients étant nul : on aurait au moins un système de valeurs des X non nulles toutes à la fois. Mais alors la fonction wp^*^ (^, u) serait une intégrale de première espèce pour laquelle tous les modules de périodicité relatifs aux coupures ai , «t, . , .^ap seraient nuls, ce qui est impossible, comme nous l'avons vu à la fin du numéro précédent.

Le déterminant A n'étant pas nul, nous déterminerons les X en écrivant que, dans l'intégrale wp^*^, tous les modules de périodicité relatifs aux coupures a sont nuls, excepté celui qui se rapporte à la coupure ak et que nous ferons égal à 2Tzi,

^kh = o,

akk = 2 ir t ,

IJO CHAPITRE III.

Nous aurons ainsi, pour déterminer î^^, As, . . . , X^,, un système de p équations linéaires à p inconnues, le déterminant des coefficients étant différent de zéro; nous trouverons pour les X un seul système de valeurs. L'intégrale (v^*^(-3,a), ainsi déterminée, est une intégrale normale de première espèce. Comme l'entier k a une quelconque des valeurs 1,2,...,/?, nous formerons de cette manière p intégrales normales de première espèce

pour lesquelles tous les modules de périodicité relatifs aux coupures a sont nuls, excepté :

Pour wtt) le module «n = 2iti,

Pour w^'^ » ai2 = airt\

Pour w^^^ » ctkk^= it^if

Pour w^/'' >• . app = 2it t.

Les intégrales w^^\ w^'^\ ..., w^p^ ainsi formées sont encore linéairement indépendantes, car s'il y avait entre elles une relation linéaire à coefficients constants [jl|, (Jia, . . . , [jl;, de la forme

[Il w^*^ H- fjijw»^*^ H- ... -H (JLptvty») = const.,

tous les modules de périodicité du premier membre seraient nuls. Or le module de périodicité du premier membre sur la coupure a^ est 2 [Al iif, car le module de (v^*^ est 2 Tzi et ceux de w^^^j . . . , iv^P^ sont nuls. On aurait donc [jl| = o. De même, en écrivant que les autres modules de périodicité sur les coupures a2, ••.,a^ sont nuls, on aurait

|ij = o, fis = o, . . . , fip = o.

Il n'y a donc pas de relation de la forme supposée et les ivf*> sont linéairement indépendantes.

72. Les intégrales normales ainsi formées admettent le long des coupures fe< , i^, . . . , 6^, des modules de périodicité, qui sont, pour l'intégrale (v^*^, 6^1, 6*2? • • • ? bkp- Ces modules de périodicité étant

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l5l

rangés en un tableau dans lequel les différentes lignes sont respectivement les modules de iv^^\ w^^K . . . , w^p^

^pli ^p2' • • ' 1 ^pp

forment un déterminant symétrique : c'est-à-dire que Ton a

àhk = àkh-

Pour démontrer cette importante propriété, appliquons aux deux intégrales w^^"^ et (v^*^ la relation générale établie au n° 67 entre les modules de périodicité de deux intégrales de première espèce F et F'

AjB; — BiA'i-f-A,B'i — BjA; -4- ... -h ApB;, — BpA;, = o.

Nous aurons, d'après les notations actuelles, (6) ah\bk\ — à/iiaki -+-a^2^A-2 —bh^aki -+-•-. -^cihpàkp — bhpakp = o;

mais tous les modules a sont nuls,, excepté ceux qui ont les deux mêmes indices akk et Uhht qui sont tous deux égaux à 2Tr/. Il ne subsiste donc dans la relation (6) que les deux termes suivants :

^hh^kh — hhkO'kk = O

et, comme

«A/i = (^kk = ar/, il reste

hhk = ^kh , ce qu'il fallait démontrer.

73. Comme résumé de ce qui précède, formons le tableau des modules de périodicité des intégrales normales de première espèce. En vue de la suite, il est plus commode de mettre en évidence dans les modules de périodicité bhk un facteur 2 en

posant

bhk = 2a/tA ;

la condition bhk=^f^kh entraîne alors évidemment çihk=-^kh'