TABLEAU DES PERIODES

it

•2 Tt l/- - I

avec la condition a^^t = oL/f/i.

7i. Voici une dernière propriété des modules de périodicité relatifs aux coupures b»

Le déterminant

^11 » «lîî • • • « ^ip

^11 1 3tîî ,

^/»l» -^/iS»

est le discriminant de la forme quadratique

2aij/Wim2--.

Séparons, dans les modules de périodicité, la partie réelle et le coefficient de y/ — i

et posons

^hk=-- ^hk-^^U\/ '

CONNEXION DKS SURFACES A DEUX FEUILLETS. l53

nous avons

îp(mi, . . ., ûip) et ^(/«i, . . ., nip) élant des formes quadratiques à coeflîcients réels. Attribuons aux indéterminées mi, /Wj, ..., m^, des valeurs réelles et appliquons la formule de Riemann (n" 70)

àTinlégrale de première espèce

On a ici, en mettant en évidence les parties réelles et imaginaires (les modules de périodicité de W,

«v = o , oLy =-= 1 niy ir ,

et la formule de Riemann devient

La forme quadratique cp(mi, .... nip) est donc négative pour toutes les valeurs réelles des indéterminées mi, rrio, . . . , nip. C'est une forme définie et négative.

Celte propriété, qui est la généralisation évidente de la propriété rappelée plus haut pour le rapport des périodes de l'intégrale elliptique de première espèce, est fondamentale pour Finversion. Pour le moment, nous en déduirons seulement la remarque suivante. Il peut se faire que les ip périodes de quelques-unes ^^s intégrales de première espèce se ramènent à un moindre nombre; mais cela ne peut avoir lieu en même temps pour les %p systèmes de périodes simultanées des p intégrales de première espèce. En d'autres termes, il est impossible d'avoir, entre les

l34 CHAPITUE m.

Àp périodes A|, A2, . . . , A^, B|, . . . , B^, de chaque intégrale de première espèce, une relation de la forme

mi Al -h ... -h nipXp -h /Il Bi -4- ... -4- Hphp = o,

m<, .,.^mp, ni,,,,^np étant des nombres entiers, la relation devant être la même avec les mêmes entiers pour toutes les intégrales de première espèce. En effet, s'il existait une pareille relation, on aurait en particulier pour l'intégrale normale iv^*^(5, u)

ou, en prenant la partie réelle.

do 2/iia/,| -4-2/ija/4j -4- . . . -t-a/ipa/jp = -~- = o.

àn/t

On aurait pareillement

dn^ à/ip

et par suite ©(/i| , . . . , np) = o, ce qui est impossible.

73. Intégrales normales de deuxième espèce. — Soit 2J(;;, u ; a, b) une intégrale élémentaire de deuxième espèce avec le seul pôle simple (a, 6) de résidu i . Soient A| , A2 , . . . , A^ ; B| , B2, . . ., Bp ses modules de périodicité. L'intégrale

Z = Ç(z, m; a, 6) -t- vi«'(i'-4- vjwf»^ . . ,-^-^pW^P^

est encore de deuxième espèce, quels que soient les coefficients constants V|, V2, . .., v^,. Nous déterminerons ces coefficients en écrivant que les modules de périodicité de Z le long des coupures a sont tous nuls. Nous aurons ainsi

Ai-4- 2Vi7ri = o, Aj-4- aVîTTt = o, ...,

car le long de a^ le module de périodicité de Z est A| -f- 2V|7ri, celui de w^^^ étant 27r« et ceux de w^^\ ..., iv^P"^ étant nuls. L'intégrale Z , ainsi formée , a le long des coupures b^ , />2, •••1 bp des modules de périodicité B^, Bg, ..., B' , les modules A',, ..., A' étant tous nuls : c'est l'intégrale normale de

deuxième espèce. Les modules de ptriodicilé B',, intégrale ont des valeurs remarquables que l'oi il suit.

Assoeions celte inti?grale / à Pintrgrale ttpèce

... B' (je celle Irouvc comme

appliquons il ces deux intégrales ta relation du n°(>S, établie »ur une intégrale quelconque de première espèce et une în- Sgralc élémentaire quelconque de deuxième espèce. Cette relawa est

iT:/(a,b),

f(rt, b) étant U valeur que prend la dérivée de l'intégrale de premii^re espèce considérée au pâle {ft,b) del'inlégrale de deuxième espèce, valeur qui, dans la notation acluelle , est o*{a, b). \a relation (^) se simplifie beaucoup, car : i° les modules de

périodicité A',, A!,, A' de Z sont tous nuls; a" les modules de

périodicité A,, A-, . . . , Ap de rintégralo normale u''*' sont tous nais, excepté A* ou a^, qui est égal à -f-t^i. 11 ne reste donc qu'un terme AjtB'jt dans le premier membre de (7), et Ton a

r J'où, comme Aa ^= ait:,

-ça(«, 61.

\in3i, pour l'intégrale non

I Jules de pérîodicilé relatifs a

Haiifs aux coupures b sont n

lale de deuxième espèce, les mo- IX coupures a sont nuis, et ceux îpectîvemcnt

?,(a,ii,

-Op{«,i,.

Nous avons supposé que (a, A) n'est pas un poist de ra liiin, ni un pointa l'infini. S'il en était autrement, il faudr:

liCca- I dans

le ivcond membre de la formule (7) remplacer vii,{a,b) par le

l56 CHAPITRE 111.

résidu du produit

dZ{z,u)

iv^/^^z, u)

az

au point (a, b).

Il est intéressant de remarquer que les modules de périodicité de rintégrale normale Z de deuxième espèce sont des fonctions rationnelles de (a, b) : cela résulte de l'expression même que nous venons de trouver pour ces modules de périodicité. On peut s'en rendre compte a priori en se rappelant que l'intégrale élémentaire de deuxième espèce, ^ étant une fonction rationnelle de (a, b)j comme nous l'avons vérifié (n° 46), ses modules de périodicité, qui sont les difierences des valeurs de l'intégrale aux deux bords d'une coupure, sont des fonctions rationnelles de (a, 6). Les coefficients V|, V2, ..., v^:,, définis plus haut, sont donc aussi rationnels en (a, b) et, par suite, l'intégrale normale Z est une fonction rationnelle de (a, b) et a pour modules de périodicité des fonctions rationnelles de (a, b),

76. Les considérations précédentes ne s'appliqueraient pas sous la même forme aux intégrales hjperelliptiques de troisième espèce, car ces intégrales, à cause de la présence des points singuliers logarithmiques, ne sont pas des fonctions uniformes de leur limite supérieure sur la surface découpée T' de Riemann. Mais elles deviennent des fonctions uniformes de leur limite supérieure si l'on modifie la surface T' de façon à exclure les points critiques logarithmiques. C'est ce que nous allons démontrer en détail pour l'intégrale élémentaire de troisième espèce (n** 33)

f f{z,u)dz.

Cette intégrale est régulière en tous les points de la surface |)rimitivc T de lliemann, excepté aux deux points (a, b) et (a', 6'). Dans le domaine du point («, 6), elle est de la forme

T3(<5, u) — — Iog(^ — a)-^ fonction régulière;

dans le domaine du point (a', fr'), de la forme

w{z,u) = log(5 — a') -4- fonction régulière.

CONNEXION DES SUIIFACES A DEUX FELILLETS.