IJ

Si l'un des points, (a, b) par exemple, coïncide avec un point de ramification e/, il faut remplacer dans la première expression

z — a par ^z — e,; si (a, b) est un point simple à Tinfini, il faut remplacer z — a par -; enfin, si {a, b) est un point de ramification à Tinfini, :; — a par --- Dans tous les cas, d'après les défini-

lions posées précédemment, la fonction rationnelle /(.g, w), dont m (5, u) est l'intégrale, a, sur la surface de Riemann, tous ses résidus nuls, excepté les résidus relatifs aux points (a, b) et (a', 6'), qui sont respectivement — 1 et -+- i • La valeur de l'intégrale

//(c, u)dz.

prise dans le sens positif sur la limite du domaine du point {a^ 6),

est égale à — 2'nf, et, sur la limite du domaine du point (a', fr'),

L'intégrale ts[z^ u) n'est pas une fonction uniforme de {z^ u)

sur la surface de Riemann T', rendue simplement connexe par les coupures a^, 6a, q. Pour obtenir une surface sur laquelle elle soit uniforme, il faut transformer la surface T' par le procédé suivant.

Marquons sur la surface de Riemann {Jig^ 55) les points (ct^b) el(a', 6') que nous supposons pour fixer les idées dans le feuillet supérieur en des points ordinaires. Partons d'un point (a, [3) du bord d'une des coupures de T', de Up par exemple, et faisons dans un

Fi g. 55.

feuillet de la surface de Riemann une fente / aboutissant au point (a, fr), sans franchir aucune coupure, puis une nouvelle fente w de (a, fr) à (a', 6'), sans franchir aucune coupure. Dans la fig, 55, nous avons élargi cette fente dans le voisinage des

ij8 chapitre III.

points (a, b) et (a' y 6'), de façon que ses bords prennent la forme de deux petites circonférences o- et cr' de centres (<2, b) et (a', b'); mais il est supposé que la largeur de la fente et les rayons de o* et y sont infiniment petits. Comme nous Tavons fait précédemmeni. pour les coupures, nous distinguerons le bord positif et le bord négatif de cette fente l-\- m. Soient 0 et x les points où les bords du petit cercle o-' rencontrent les bords de la fente m : nous choisirons les bords positifs et négatifs de m de telle manière qu'un mobile parcourant la circonférence o-' dans le sens positif autour de (a', t') (sens contraire de la flèche) conduise du bord négatif de m au bord positif. Le bord négatif est donc celui qui aboutit en X, le bord positif celui qui aboutit en 0. Le bord négatif de la fente m + / se prolonge ensuite, par continuité, de x jusqu'en p, et le bord positif de 0 en a. On a marqué du signe H- et de la lettre "k le bord positif, la lettre p étant mise en face de A sur le bord négatif.

Désignons par T" la nouvelle surface de Riemann déduite de la surface T', en ajoutant au système de coupures a^, 6a, ^à la fente /-f- m, qui n'est qu'un prolongement du bord positif de la coupure Up. Le contour de celte surface simplement connexe T'' est formé parles bords des coupures afc, 6a, Ch et de la fente /-t- m. Si un mobile décrit le contour de cette surface T'' dans le sens positif (aire enveloppée à gauche), il parcourt les bords des coupures ^a, 6a, ca, comme dans la Jig, 5o, avec cette seule différence que, lorsqu'il arrive en a sur le bord positif de la coupure ctp (/Ig' 55), au lieu d'aller directement en p et de continuer, il va de a en o, e, 6, le long de la fente / -+- m, puis revient par Œ, y,, T|, Y jusqu'en [i, d'où il continue son mouvement comme auparavant.

Revenons maintenant à l'intégrale

r:,V'(-.'0= f^^"\f(z,u)dz.

Sur la surface simplement connexe T", la fonction rationnelle /(^, u) est uniforme et n'a que des résidus tous nuls, car la fente l -f- m a précisément supprimé les seuls points (a, b) et (a', b')j où les résidus n'étaient pas nuls. L'intégrale tj3(Zj u) est donc une fonction uniforme du point analytique (z, u) sur la

CONNEXION DES SLIIFACES A DELX. FEUILLETS. I j()

surface T'' de Riemann. Si Ton compare les valeurs qu'elle prend aux points correspondanls des deux bords d'une coupure, on trouve, en répétant identiquement ce qui a été dit au n° 63 pour les intégrales de première et de deuxième espèce, les résultais suivants. La différence rsO,) — tjs(q) a une valeur constante le long de chacune des coupures a^, b^^ c^ et des fentes / et m.

On a

Le long de a^, ^(À) — tff(p) — rX>k )

Le long de bk, ts{X) — xnîp) — llij^ )

Le long de c/i, t3(X ) — i5j(p) — o;

Le long de /, w{l) — Tïj(p) — ^;

Le long de /7i, TiT(X) — TJT(p) = On.

Les constantes dlo^, iH>a sont les modules de périodicité de Tiiilégrale de troisième espèce w sur les coupures a^ et b^. Nous allons déterminer les valeurs des constantes ^ et OR, et montrer que

^= o, Ole = iT.i.

En effet, commençons par OÏL; cette constante est la valeur de la différence w(a) — ^(p) 'e long de la fente m : on a donc en particulier

ce qui montre que OTl est la valeur de l'intégrale 1 /{z. ff)ciz,

prise de X en 6 le long d'un contour quelconque ne franchissant aucune fente ni coupure, par exemple le long du cercle c/ dans le sens positif autour de (a', b') (sens contraire de la flèche sur la fig.io). Or cette intégrale est égale à 27ui multiplié parle résidu de/(:;, u) au point (a', b'), qui est i. Donc OPo est bien ^galà 2t:/. On a ensuite

^rr T!t(0) — to(v);

■(Lesidonc la valeur de l'intégrale / /{z, u)dzy prise dey en o sur

^^ contour quelconque C, ne franchissant aucune coupure ni *CDle, par exemple sur le contour yTYixtf'Oeo'o : le contour doit être regardé comme fermé, car o est infiniment voisin de y. D'après le théorème de Cauchy, cette intégrale est égale à ir.i

l6o CHAPITRE 111.

multiplié par la somme des résidus de f{z^ u) relatifs aux pôles situés dans le contour d'intégration que nous venons d'indi- (jucr : les deux seuls pôles situés dans ce contour sont les pôles (rt, b)^ {a\ b') avec les résidus — i et 4- i dont la somme est nulle. Donc S^ est bien nul.

On peut donc dire que l'intégrale élémentaire de troisième espèce admet ip -i- i modules de périodicité,

tl)i, clos "^p sur les coupures a/c\

iTzi sur la fente m.

Si Ton supprimait le système des coupures et des fentes, l'intéi^rale to(3, u) ne serait plus une fonction uniforme de {z^ u) sur la surface ï de lliemann. Elle prendrait en chaque point (:?, u) une infinité de valeurs qui se déduisent toutes de Tune d'elles par l'addition et la soustraction des ?./>-hi modules de périodicité. Ainsi, Tune des valeurs étant ra, (:;, //), la valeur la plus générale de l'intégrale sera

+ /Il 1)^1 -+- n^'\S\)i-T- .,.-{- /ip lil);, H- 2/17:1,

//ii, ni^t . • .? t^ip^ ^1, /i2, • • -î f^pi f^ étant des entiers quelconques positifs, négatifs ou nuls. C'est ce qu'on voit, comme précédemment, pour les intégrales de première et de deuxième espèce (u"63).

Nous avons fait la figure en supposant que les points (a, t), {a\ b') sont des points ordinaires à distance finie. D'après les définitions données du domaine d'un point quelconque de la surface de Hiemann (n"*16-17), on sait comment il faut modifier les cercles T et tf' formant les domaines des points (a, 6), (a', 6'), quand l'un ou l'autre devient un point de ramification ou s'éloigne indéfiniment. Nous avons figuré dans l'angle de la Jig, 55 la nouvelle forme t'^ que devrait prendre a' si le point (a\ b') était un point de ramification ei.

11, Intégrales normales de troisième espèce. — Posons

<:o^NE'(ioN DES sum'ACEs \ oevx kelii.lkts. iGi

, ^, -, ., Xp élanl desconslntites et tv'*', tv'*', . .., n-'P> les iotégrales normales de première espèce. Cette intégrale II est, comme nne intégrale de troisième espèce. Pour olitenir l'intégrale normale de troisième espèce, on détermine les X de telle façon que les modules de périodicité de II le long des coupures o, , 0^. .... ttp •nt nii/s. Le module de périodicité de H le long de rt^ est

celui de ra est A*, elles modules de périodicité de «'", iv'^', .... (t"' sont tons nuls sur at, escepté celui de iv'*', qui est a-r/. On déterminera donc les A par les cuDcIllions

L'intégrale D ainsi obtenue est Vinlégralt^ normale île tioitième espèce avec les deux points singuliers logarillimiques (rt, b) c\.{a'.b').

Cette intégrale admet encore les modules de périodicité suivants :

Sur b^, le module de périodicitii lRi',(, Sur m, le module de périodicité i-i^i,

car, sur les deux bords de m, les intégrales iv'", ir'-', . . . , «''/"' prennetit les mêmes valeurs.

78. Les modules de périodicité ilii'^ ont des expressions remar- 'iiiables. Pour les obtenir, considérons Tintégrale

où tv est une intégrale quelconque de première espèce, i"inlégrale H étant prise dans le sens poslril' sur le contour di- la surface T", contour formé par les bords des coupures a/,, /'/,, Cf, et des lentes / et m. La fonction

est uniforme sur la surface T" el a Lous i les deux facteui's sont uniformes. Le p

résidus nais. En effet, ier est partout fini; le

l62 CHAPITRE III.

deuxième a tous ses résidus nuls, car Tintégrale II ne devient infinie qu'aux deux poinls (a, b) et (a', 6'), qui sont exclus de la

surface T''. Le produit \v -r; a donc bien tous ses résidus nuls,

et l'intégrale H est nulle. Nous allons évaluer directement cette intégrale.

Le contour de T" est formé du contour de T' (bords des coupures akt bhf Ch)^ des bords de la fente /, des bords de la fente m <*t des bords des circonférences a et ^' (Jig- 55). L'intégrale H peut donc être divisée en cinq parties, Tune relative au contour de T', l'autre aux bords de /, la troisième aux bords de //i, les <leux dernières aux circonférences rj et t', et l'on a, en désignant par les indices ï', /, m^ o-, o*' ces cinq parties,

La deuxième de ces intégrales est nulle : en effet, sur les bords de la coupure /, les deux fonctions (v et --p prennent les mêmes valeurs et ces deux bords sont décrits en sens contraire : la somme des éléments relatifs aux deux bords de /, c'est-à-dire la deuxième intégrale, est donc nulle. On voit de même que la troisième de ces intégrales, celle qui est relative aux bords de /?2, est nulle. L'intégrale relative à la circonférence infiniment petite ^ décrite dans le sens positif par rapport à son extérieur T" (sens de la flècbe) est égale à — itù multiplié par le résidu de la fonction intégrée

Kv -ji au point {a\ b') : en effet, cette circonférence V entoure le

domaine du point («', //) et dans ce domaine <v(x;, u) est fini,

-7- admet le seul i)ôle z ^^ a' . Evaluons le résidu de w -r- au dz ^ dz

point (a', b') : on a dans le domaine de ce point

aj, 7.^, . . . étant des constantes, dn I

dz z — a

^o> p\y '" étant des constantes. Dans le produit w -r; > lecoeflî-

CONNEXION DES SURFACES A DEUX FEUILLETS. l63

cîent de -;;— — , ou le résidu est donc \v{a' ^ b'). On vérifiera diaprés

les définitions données que en résultat est général et a encore lieu quand (a\ b') est un point de ramification ou un point à distance infinie. L'intégrale

r an ,

/ w -y- az

Jr.' "^

est donc égale à — 'ÀiTAv{a\ b'). De même l'intégrale afieclée de

l'indice Test égale à 2i7rtr(fl?, 6), car le résidu de -r: au point (a, h)

est — I . L'équation (8) nous donne donc

(9) / "'-7- dz — iiT^\w{a\b' ) — cr(rï, ^)]=o

où il ne reste plus qu'à évaluer la première intégrale. Mais le calcul de celte intégrale est identique à celui qui a été fait (n** 65) pour le calcul de l'intégrale appelée I, sauf le changement des intégrales F et F' en w et II. Appelons A^^, B^t les modules de périodicité de fv, cl.)^, Hîi]^ ceux de II le long des coupures au et bk : l'in-

légralo / KV -r dz a pour valeur, en vertu du calcul du 11® 6S,

A, uu; — B, cl/, -f- A j uî/j — B2 cVi, -\-...^.~ Xj, iiî>;, — b,, a.>;, ;

mais, comme H est l'intégrale normale de Iroisième espèce, les modules de périodicité «l/, , ^A.!,, . . ., ^K' sont nuls (n" 77) et la relation (9) s'écrit

( 10) Aflti)', -h A|\ll>2H-. . .-f- A,,!)]»^, — ïi-[ir(a', b' )— a'(a, f^)]=^ o.

Jusqu'à présent nous avons supposé que iv est une intégrale abélienne quelconque de première espèce. Supposons en particulier que ce soit une intégrale normale (v^*^ Alors tous les modules de périodicité A|, A2, ..., A^, de cette intégrale relatifs aux coupures a sont nuls, excepté Aa qui est égal à 27:1', La relation (10) devient donc, en remplaçant iv par af*>,

l6î CHAPITRE III.— CONNEXION DES SURFACES, ETC.

formule qui donne enfin la valeur do iil>];.,

1)14 = (v(A)(a', b')-^ ii-^^Ka, 6).

En résumé, les modules de périodicité de Tinlé^rale normale de troisième espèce II^J;/'' sont

Le long de ai, o,

Le long de Oi, i«'^*'(n', i/ ) — «''*'(«, />),

Le long de w utti.

Nous ne poursuivrons pas plus loin, pour le moment, félude particulière des intégrales lijperellipliques. Nous avons voulu seulement développer, sur un exemple simple, la conception de Riemann, avant d'aborder la théorie générale des (onctions algébriques.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES O'UNE VARIABLE. l65

LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'UNE VARIABLE ET LES SURFACES DE RIEMANN CORRESPONDANTES (»)

Continuité des racines d'une équation algébrique. — Points singuliers. — Méthode de Puiscux. — Surfaces à m feuillets. — Point analytique. — Propriétés générales des fonctions uniformes sur une surface de Riemann.

79. Nous supposons connues les propriétés élémentaires d'un polynôme entier par rapport à une variable w, et en particulier le théorème fondamenlal de la théorie des équations.

Tout polynôme de degré m en Uj à coefficients quelconques,

P(U) = AoM'W-f- AiM'"-' -f-...-f- A,n

est décomposable en un produit de m facteurs linéaires

V{u) = Ao(w — Ux){u — 11%). ,,(11 — Uni)'

Il résulte immédiatement de cette décomposition que la variation de V argument du polynôme P(w), lorsque u décrit le contour d\ine aire dans le sens positif, est égale au produit de ^.tz par le nombre des racines du polynôme comprises dans cette aire, chaque racine étant comptée autant de fois qu'il y a d'unités dans son degré de multiplicité. Car l'argument d'un facteur // — /// revient à sa valeur initiale si le point Ui est à l'extérieur (le l'aire considérée et augmente de 27: si ce point est à l'intérieur de Taire. On suppose cette aire limitée par ime seule courbe.

(*) Auteurs à* consulter : Puiseux, Mémoire sur la théorie des /onctions algébriques {Journal de Liouville, t. XV). — Bhiot et Bouquet, Théorie des fonctions doublement périodiques , Liv. I. — Simart, Thèse de Doctorat. — E. Picard, Traité d'Analyse, t. II.

l66 CHAPITRE IV.

Soit F(Cj li) un polynôme entier- à deux variables z cl it, de degré m en u, qui, ordonné par rapport à u, s'écrit

les coefficients Çi(^) étant des polynômes entiers en :;. A une valeur de z, Téquation

fait correspondre m valeurs pour u, à moins que le polynôme cp,;, (^) ne soit nul pour cette valeur particulière de z. Ces m valeurs de u varient en général avec:; d'une manière continue. C'esl ce qui résulte du théorème suivant :

SI pour zr=z a Inéquation (2) a n racines égales à fr, pour une valeur de z voisine de «, elle a n racines voisines de b.

En remplaçant :; par a -\- Zj et u par b -j- //, on est ramené au cas où, pour :; = o, l'équation a n racines nulles. Les polynômes Oo{z)y cp, (::), .... Ofi-\ (:î) sont tous nuls pour c = o, mais 'f«(o) n'est pas nul. L'équation (a) peut s'écrire

en posant

Du point :; = o comme centre, décrivons une circonférence de rayon p laissant à Texlérieur toutes les racines du polynôme o„{z). Soit A une limite inférieure du module de Ç/i(^) et B une limite supérieure du module des polynômes cp„^,(G), . . ., ?/«(:?) lorsque z reste à l'intérieur de ce cercle, de telle sorte que l'on n, lorsque j^l << p,

Si l'on prend pour :; un poijit à l'intérieur de ce cercle et pour u une valeur dont le module /• est inférieur à l'unité, on a

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'UNE VARIABLE. 1G7

Ce module | P| sera inférieur à ^ si Ton a

B /' ^ I A I — /• ^2 c'est-à-dire

Choisissons pour /• un nombre aussi pelit que nous le voudrons, satisfaisant à celle inégalité (4). On peut toujours Iroiivcr un autre nombre p' <C p tel que, pour toute valeur de 5 de module inférieur à p', l'équation (2) ait n racines, et n seulement, de module inférieur à r. En effet, soit C une limite supérieure du module des polvnomes '^o> ?i ? • • • 7 'fw-i '^ l'intérieur d'un cercle de rayon p'. On a

IQi<5

tous les polynômes Oq? ?m • • •? ?w-i étant nuls pour ^ = o, on peut trouver un nombre p' assez pelit pour que la limite supérieure C soit un nombre aussi petit qu'on le voudra. Prenons o'' assez petit pour que l'on ait

Les nombres r et p' étant choisis de cette façon, donnons à :; une valeur fixe, de module inférieur à p', et faisons décrire à la variable iij dans le sens direct, le cercle de rayon r ayant pour centre le point // =: o. L'argument de «" augmente de 2/j7r. Quant à l'argument de 1 -h P -h Q, il revient à sa valeur initiale. En effet, d'après la façon dont p' a été choisi, on a, pour toutes ce» valeurs de u,

\P[<h IQKi.

et, par suite, |P-hQ|<i. Figurons par un point M la valeur de i? = I -I- P-f- Q; ce point M décrit une courbe fermée qui est comprise tout entière à l'intérieur d'un cercle de rayon égal à

l68 CHAPITRE IV.

I^unité décrit du point r r= i comme centre. Cette courbe ne peut donc contenir Torigine à son intérieur, cl l'argument de ç revient à sa valeur initiale. Par suite, l'argument de F(5, u) augmente de 9smz; l'équation F(;;, u) = o a donc bien n racines de module inférieur à r lorsque le module de z est inférieur à p'.

80. Si, en particulier, l'équation {'2.) a une seule racine égale à b pour z = a, elle admet une seule racine voisine de 6, pour une valeur de z voisine de a.

On peut alors, des points z = a cl u =^ h comme centres, décrire deux cercles C, C| de rayons p' et /• respectivement, tels que pour toute valeur de z comprise à Tintérieur de C l'équation (i) ait une racine et une seule à l'intérieur de Cf Cette racine u est donc une fonction uniforme et continue de z tant que cette variable reste comprise à l'intérieur du cercle C. Pour démontrer que c'est une fonction analytique de z dans ce domaine, il suffit de prouver qu'elle admet une dérivée. Attribuons à z un accroissement \z et soit Aw raccroissement correspondant de //, on a

F (;;-+- A^, u -\- lu ) — F(c, a) — o,

ce qui peut s écrire

fr^F 1 \dF ,1

Tj et r/ tendant vers zéro en même temps que Au et Ac. On en

déduit

Nous venons de voir que, lorsque A;: tend vers zéro, il en est de

même de A//, et, par suite, de r, et de r/; le rapport -— a donc une

limite

du ôz

7h "" ~" 'ùV

XCTIONï ALUKBniQLrËS I> IVSK V4HikDLK. iCh)

ialîlé, celle dciivée jidniPl, tomme », m valeurs pour liaque valeur de z; maïs on obtient sans ambiguïté la valeur a'il Tau L prendre, en remplaçant dan s le second membre u par lu icine dont on clierche la dérivée. Tant que la variable s reste ;"i intérieur de C, le dénominaletir — ne pent ^Ire nul, puisque la icîne considérée est racine simple de l'équalron (a). La dérivée !Bt donc elle-même une fonction continue de = dans ce domaine, suit de là qu'à Tinlérieur de C la racine H est dcveloppable par formule de Tavlor

it le ra^on de convergence de celte série esl au moins égal à p', nis peut lui élre supérieur.

De même, si, poiir = = a, l'équation (2) u m racines simples I, 6], , . ., b,„, on peut trouver un cercle C de centre a et de lyon assez petit pour qu'à l'intérieur de ce cercle les m racines >ient des fonctions uniformes et régulières. Les m racines sont lor* représentées par /» développements distincts : on a, par lemplc, pour la racine u,- qui se réduit â b/ au point r =: cr.

ïïH-:-")'-

Ijnqiic.

!â rayons de convergence de ces diirérciites séries soni irai, inégaux.

Nous avoDS ainsi délini un i-li'nienl de fonclrtin ali; mr déGnir celte fonction lorsque la variable z décrit un clic ■elconqiie, un étendra la dérinition de proche en proche. Suptâons que le polvnome F(j, a) soit indécomposable, c'estdire ne soil pas le produit de deux autres polynômes entiers z et H. Alors l'équation V{z, u) =^0 n'aura de racines mul- >)c5 que pour des valeurs de z en nombre fini. On obtiendra s valeurs de z en éliminant a entre les deux équations

irquons dans le plan des z ces valeurs de :;, ainsi que les racines IVquation =>(n{-) = o. On appelle ces points les points singir •is. Cela posé, prenons deux points non singutiers ;„, Z, et nu

chemin L joignant ces deux points et ne passant par aucun poin singulier. Soient f/|, w^, ..., Um les m racines simples de l'équation F(<5o, «) = o ; si Ton part de z^ avec une de ces racines, //| par exemple, la valeur de cette racine sera fixée tout le long du chemin L par la condition de continuité. En un pointai voisin de Zq, l'équation F(\3|, u)=^o admet une seule racine u\ voisine de Ui ; en un point z^ voisin de z^^ l'équation admet une seule racine u\ voisine de u\j et ainsi de suite. On arrive au point Z avec une valeur de u déterminée sans ambiguïté.

Nous devons maintenant étudier l'influence du chemin suivi par la variable. La proposition suivante est fondamentale :

Soit A une aire plane limitée par un seul contour, ne renfermant aucun des points singuliers; si Con va d* un point z^à un autre point Tj par deux chemins contenus tout entiers dans raire A, en prenant la même valeur initiale pour u, on arrive au point Z avec la même valeur finale.

Soient z^mX^ z^nL {Jig» 56) les deux chemins allant de Zq à Z. Joignons les deux points m et /i ; nous formons ainsi deux contours fermés z^mnzo^ nmTjU, Si les deux chemins ZoniX^ ZqhZ ne conduisent pas à la même valeur finale pour w, il y aura au moins un des contours fermés ZoUin Zq^ nniLn qui, décrit tout entier en prenant au point de départ une des racines de l'équation (2), ne ramènera pas celte racine. En effet, on peut remplacer le chemin z^niL |)ar le chemin z^mn -\- nm'L, Supposons qu'en allant du point z^ au point n par les deux chemins z^mn^ z^n on obtienne la même racine //', puis que, parlant du point n avec la racine w', on aille au point Z par les deux chemins /iZ, nmTj^ et qu'on arrive dans les deux cas avec la même valeur pour // ; alors les deux chemins z^mï* et z^nTj sont équivalents. Si donc ces deux chemins n'étaient pas équivalents, il y aurait au moins deux des chemins {z^mn^z^n) el

( n7j, nnil.), qui ne >eruir[iL4]:is non [iliis étjuivalcnls. Supposons,

|iat- exemple, que les deiiv cheiniiis z„mn et =„» ne conduisent

pas h la même valeiii- de » au poinL n. Alors le contour fermé

=o»'"3fl, décrit avec ia valeur initiule ii\ pour «, ne ramrnera pas

t-eltc racine. En décomposant de même le contour :„nni=B en

deuv contours |ilus petits, un de ces contours au moins devra

changer une des racines de Téqualion (5) quand il sera décrîl

tout entier. En continuant ainsi, on a une suite d'nires, tontes

viCâiii prises les unes dans les autres, et, si l'on cboisit convenable-

^klMnt les lignes de division, ces iiires décroissent indélinimenl

^Qans toutes leurs dimensions. Elles ont donc pour limite un

point M, intérieur à A. Par conséquent, si l'on considère un

cercle de rayon aussi petit qu'on le veut, avant son centre en .M,

il devrait toujours exister à l'inlérieui- de ce cercle un contour c.

! ramenant pas à sa valeur initiale une des racines de l'étjita-

LÎon (a). Le point M serait donc nécessairement un pnînt *ini;o-

ier, ce qui est contraire à l'hypotliése.

81. II nous reste à examinerce qui se passe lorsqne la variable tndépendante = tourne anlour d'un de ces points singuliers que lotis avons mis de rolé.

Soil 5 == ti nn point pour lequel l'i'i] nation F(;, ») = o admet me racine (/ = h d'ordre «. En nn point lu, Noisin de u, l'équation iiura n racines voisines de li

\\ la variable z part de z^ et décrit une petite courbe fermée C Btour du point ((, ta fonction ayant la valeur initiale h,, cette foncion reprend -a valeur initiale, ou, comme sa variation ne peut [Ire que très petite, sa valeur finale est une des autres valeurs de [ qui, pour z = Za, sont voisines de h. Dans le premier cas, la Bcine u, est une fonction uniforme de - dans le voisinage de

3, développable eu une série procédant suivant les puissances ntîèrcset positives de z — a. Dans le second cas, soil m, la valeur ioale ; si Ton décrit de nouveau la courbe C dans le même sens

la valeur initiale »i, il est impossible que l'on retrouve la raine m, car le chemin inverse doit ramener //,. On obliendri loue u, ou une autre dci racines non encore obteiino. Si l'on re-

lyi CHAPITRE IV.

trouve //,, on voit que les deux racines //|, /// se permutent quand on tourne autour du point a. Dans le second cas, soît um la valeur finale. Un nouveau tour autour du point a ne pourra donner ni «/ ni i/f^; on trouvera donc soit W|, soit une racine non encore obtenue. En continuant de la sorte, on finira par retomber après p tours sur la racine W|. Les/? racines ainsi obtenues se permutent circulairement lorsque z décrit un petit cercle autour du point a\ on dit qu'elles forment un système circulaire de p racines. Si p = /i, les n racines qui deviennent égales à b forment un seul système circulaire; sip <C n^ on répétera le même raisonnement en partant d'une des racines non encore employées, et ainsi de suite. Donc :

Lorsqu au point z = a r équation (2) a une racine b d'ordre /i, les n racines voisines de h pour une valeur de z voisine de a forment un ou plusieurs systèmes circulaires (*).

Nous verrons plus loin (n°' 87-90) comment on peut, pour une équation donnée, faire les calculs numériques permettant de partajjer cflectivement les racines en svstèmes circulaires et d'obtenir des développements en série représentant, dans un certain domaine du point z= a^ les p racines d'un même système circulaire qui deviennent égales à b pour z = a. Mais, afin de ne pas interrompre la suite des idées, contentons-nous actuellement d'établir a priori la forme analytique de ces développements en série.

Soit Ui U2 . ^ . Up un système circulaire de p racines devenant égales à b pour z ==. a ci se permutant circulairement dans Tordre des indices, quand:; décrit dans le sens positif une petite courbe fermée tournant une fois autour du point a : après que z a parcouru cette courbe, //j devient W2» ^2 devient W3, ..., Wy, devient W|. Faisons le changement de variable indépendante

les/? racines ^/,, u^, .. ., Up étant des fonctions analytiques de :; sont des fonctions analytiques de z' devenant égales entre elles pour z' = o. Dans un domaine suffisamment petit du point z^ =. o,

(') BiuoTct lîouQUET, Fonctions eUiptiques, p. 37.

sont (les fonclions nni/onnes de- :'. En effcl, si =' ilécrit une petite courbe fernu^e ne lotirnant pas aiilùiir du point z'^ i>, :; décril une peritc coiirlie feiinéo ne tourntitiL pas autour clu point a el chuquc racine reprend sa valeur initiale. Si z' décrit une petite courbe fermée tournant unr fois auluiir du point 3*^ o, 3 décrit une petite courbe l'ermée tournant p fois autour du point a, comme il résulte de la substitution : eha({ue racine reprend donc encore sa valeur initiale d'après la façon dont ces racines s'échangent. D'après cela, (/,, par exemple, est une Ibnc- \\on analytique de s', devenant égale à b pour :'^o, uniforme, linie el continue pour les valeurs de z' appartenant îi un domaine .fufGsaniment petit du point z'=^o. Cette racine f/| est donc développable, par la formule de Ta^lor, en unt série procédant suivant les puissances entières et positives de z' ,

Si l'on rc%ient à l'ancie •'crile plus liaul, qui doun<

iable z, lice à =' par l'équation

) le développement siiiinnl pour u,

procédant suivant les puissances entières et positives de(: — //)''. On obtiendra des développements de même l'orme pour (/a. Wj, ..., itp. On peut d'ailleurs tes déduire de celui de ii\ en s'appuvant sur la loi même de permutation des racines. Posons

Prenons I posons que point : ;= ij

(5 — «)'' devient io(:

tanlde 2t:, celui de (::

a racine it\ définie par la série précédente et supl'on fasse décrire à z un petit cercle autour di , dans le sens positif. La racine u, devient ii-^ et

. l'argument de : ^ n augmerilenle de — ^ ■ On a dune le dé^e-

174 ClIAPITRK IV.

loppement suivant pour w^,

Ui = b •+- bitû{z — «/' -h biU}^\,z — a)'* -h. . .-f-6vW^(:ï — a)^ -f-

Un nouveau tour de z autour du point a donnera n^ en changean t (z — a)>^ eu io(z — ^/) '' ,

H^ = b -¥■ biOi^(z — n)f* -4- bfUiUz — a)'' -u. . . -+- byUi^'^{z — a)^ -h,. .

et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait oblenu toutes les racines f/|, if.j^ ..., ?^^. On voit donc que les/? racines appartenant à un même système circulaire sont représentées par une même série procé-

dant suivant les puissances entières et positives de (z — «)''?

H =z h-\- bi( z — a)f' -hbi(z—ay' - ...^

les différentes racines f^,, if2, ..., tfp étant obtenues en rempla-

rant successivement dans ce dévelopj)ement (z — r/)'' par ses/> déterminalions.

82. Nous venons d'étudier les racines qui deviennent égales à une valeur finie b quand :; tend vers une valeur finie a. L'élude des racines devenant infinies pour z = a nous conduira a la notion des pôles d'une fonction algébrique. Ordonnons Téquation F(:;, f^) = o par rapport aux puissances décroissantes de ^^,

F(5, II) = cp,„ ( -G )M'«-i-'f.;;4,(^ )//.'«-» -4-.. .-^ ox{z)u-\-^q{z) = o.

Soit z^=^ <i une racine de l'équation 'f ^ (r) =^ o ; lorsque z tend vers «, une ou plusieurs racines deviennent infinies. Pour étudier ces racines, posons

l'équation (a) se change en une nouvelle équation

PONCTIONS ALGI^BRIQUES D'uNE VARIABLE. 17J

qui aura un cerlaîn nombre de racines nulles en même temps que z — a. Dans le cas général, ces racines se partageront en un certain nombre de systèmes circulaires, les racines d'un même syslcnie clant représentées par un développement de la forme

procédant suivant les puissances de (:; — a)i* et contenant en

fadeur une certaine puissance de (z — ^/)'', car w' est nul pour

w = flr. La série ç qui multiplie (:; — f/)P est une fonction régu-

lière de (:; — rt)''qui n*est pas nulle pour z = a. On en déduit

- sera aussi une fonction régulière de (z — (^i)^ , de sorte que les

/> valeurs de m seront représentées par un développement de la forme

u ={ z —a) '' [ao -t- «1 ( c — rt ) '' — a, ( j — ^ )'' -4- . . . J .

Cest un développement de même forme que les précédents, sauf qu'il présente à gaucbe un certain nombre de termes à exposants négatifs. Si p = i, le point z = a est un pùle pour la racine considérée, au sens élémentaire du mot; si /; est plus grand que i, c'est en même temps un point de ramification.

83. Pour étudier les racines de l'équation en u lorsque :; devient infini, on pose

^l l'on est ramené à étudier les racines de l'équation transformée

Vi(z\ //) = 0,

pour les valeurs de :;' voisines de zéro. Plusieurs cas peuvent se présenter suivant que ces racines ont des valeurs distinctes at unies, des valeurs égales ou des valeurs infinies. Dans tous les cas

possibles, les m valeurs de u sont représentées dans le voisinage de v' = o par un ou plusieurs développements de l'une des formes

suivantes

Par conséquent, les m valeurs de w, pour des valeurs de :; de module supérieur à une certaine limite, seront données par un ou plusieurs développements tels que

On peut résumer comme il suit tous les résultats obtenus :

Dans le domaine de tout point z^= a, les m racines de r équation (2) sont représentées par un certain nombre de développements en série de la forme

w = (s — a) '' [ao-h ai(5 — a/'-haî(^ — a)''-T-. ..J, en convenant de remplacer z —co par -•

U est essentiel de remarquer qu'il n'y a jamais qu'un nombre fini de termes à exposants négatifs.

84. Nous voyons qu'une fonction algébrique n'admet que deux catégories de points singuliers : i" des pôles, c'est-à-dire des points où une ou plusieurs branches de la fonction deviennent infinies, de façon que les inverses restent des fonctions régulières dans le voisinage ; 2" des points critiques algébriques, c'està-dire des points autour desquels un certain nombre de valeurs de u se permutent circulairement, les valeurs d'un même système circulaire étant représentées par un même développement en