FONCTIONS ALGEBRIQUES D USE VARIABLE

série, ordonnée suivant les puissances croissantes de (s — «)'') et e contenant qu'un nomlire limit<^ de termes à exposants négatifs. On voil de plus que ces points singuliers sont toujoiti's rn nombre fini.

Réciproquement, toute fonction analytique qui, sur toute la 9pkère, n'admet que des pôles Oit des points critiques algébriques et qui n'a qu'un nombre fini m de déterminations en chaque point, est une fonction algébrique.

Soient »|, i/j, . . ., u„ les m branches de la fonction u; toute fonction symétrique de ces m quantités sera évidemment une fonction uniforme de z, puisqu'un contour fermé décrit par la variable peut seulement permuter ces m valeurs. Soit en particulier »(«(, «n ■■•, u„) une fonction symétrique entière de U|, . ., Um\ dans le voisinage d'un point de ramiGcalion a, les m valeurs de U seront données par un certain nombre de développements de la forme écrite plus haut. Si dans ip(«,, «a, . .., «„) un remplace «i, «a, . . ., «m par lelirs développements en série, il est clair que le* puissances fractionnaires de ( ; — a) doivent dis- [laraître, puisque œ est uniforme dans le voisinage du point z^a. On peut, du reste, le vérifier par le calcul des sommes des puissances semblables, telles que Sw", en s'appuyant sur ce que la somme des puissances o, i, 2, . . ., p — 1 d'une racine primitive p'"^' de l'unité est nulle. D'ailleurs, le développement de !p ne iiitiendra qu'un nombre fini de termes à exposants négatifs. Tout point à distance lînie z =: a sera donc un pôle ou un point

ordinaire pour la fonction (p(K , u„) et l'on verra aussi

qu'il en est de même pour j^oo. Par conséquent (Introduction), toute fonction symétrique entière de »■, u,, ..., u„ est une fonction rationnelle de z; ce qui prouve que les m branches de la fonction (( sont racines d'une équation de degré m en u, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de z.

85. Ce théorème va nous permettre de combler une lacune dans l'élude des fonctions algébriques. Soit F{z, u)=:q une équation algébrique entière irréductible, de degré m par rapport à « ; supposons que, pour ; = z^, elle admette m racines distinctes et finies

178 CHAFITKC IV.

La variable z décrivant un contour fermé parlant dii point ;„ et y revenant, sans passer par aucun point singulier, si l'on adopte pour valeur initiale de ti la racine «,, par exemple, el qu'on suive par continuité la variaLton de celte racine, on reviendra au point de départ avec une valeur finale qui sera comprise dans tes m racines «, , Hj, ..., tl„. On peut choisir le contour fermé décrit par ta variable de façon que la valeur finale soit une quelconque des m racines, désignée à l 'avance. Supposons, en effet, qu'il n'en soit pas ainsi. Les racines //,, Hi, . . . , Um pourront ^tre partagées en deux catégories : pour les unes, il est possible de trouver un contour fermé conduisant de la racine m, à l'une quelconque d'enlre elles ; cela est impossible pour les autres. Soient «,, , .., Up les p racines de la première catégorie. H est clair que ces p valeurs de ti ne peuvent que se permuter entre elles quand la variable décrit un contour fermé quelconque, et qu'elles n'admettent pour points singuliers que des pôles ou des points critiques algébriques. Par suite, Ut> "î, ..., Hp sont les racines d'une équation algébrique entière 0(3, «) ^ o, de degré p en ii, et le polynôme F(;, u) devrait être divisible par f{z, u), ce qui est contraire à l'hypothèse.

Corollaire. — Soit F(5, m) un polynôme entier à deux variables et soient (û^, »»), (:,, »i)dcux systèmes de solutions quelconques de l'équation

Supposons qu'on ait démontré qu'il existe un chemin allant du point z„ au point ;, et conduisant de la valeur initiale (/„ à la valeur H,. On peut en conclure que le polynôme F(;, w) est irréductible, ou est une puissance exacte d'un polynôme irréductible, Mais, dans au<;un cas, F(3, u) ne pourra être divisible par deux polynômes irréductibles différents,

86. Nous pouvons maintenant compléter la définition d'une fonction algébrique en introduisant ta notion des lacrls; F(z, u) étant un polynôme indécomposable de degré m en u, marquons dans le plan de la variable s les points a,, a-^, . .., m. <iù quelques-unes des racines de l'équation

Frs.io =0

BC permutent entre elles, et de chaque point a, tirons une ligne Lj s'étendatit jusqu'à l'iDiini, de manière qne ces lignes ne se croisent las entre elles. Soient z^ un point distinct des points singuliers, et .,, atj, ..., a„ les m racines simples de l'équation F(;o, //) ^ o. tiorsque la variable z décrit un chemin quelconque sans franchir les lignes L,-, les m racines de l'équatioii restent des fonctions-uniformes de s. Quelques-unes de ces racines peuvent devenir infinies en certains points isolés, mais elles restent uniformes dans le voisinage de ces points. Désignons par »,, «i, ,,,, ïs m racines qui se réduisent respectivement è a,, a^, ...,»„ pour .: =; Sq, et appelons chemin direct de s,, à s tout chemin Joignant ces deux points sans franchir aucune des lignes L,'.

Pour suivre la marche de la fonction u lorsque la variable décrit vn chemin quelconque, il suffit de savoir comment s'échangent les m fonctions »,, Mj, ..., u,h lorsque la variable franchit une des lignes L;, Soient a, un point critique, zi un point inliniment voisin; joignons le point s,- au point Zg par une ligne droite, et du point (1,'comtne centre décrivons un petit cercle passant par le point Si. Le chemin z„::imnz,-Zt s'appelle un lacet {fig. 07); il peut être décrit dans le sens direct ou dans le sens rétrograde, suivant qu'on laisse le point a-, à sa gauche ou à su dioite. On le

Fig. 57-

iprésenie par la notation (a,) ou (o,)(, suivant qu'il est décrit dans le sens direct ou dans le sens rétrograde. On dit que le lacet (a,) unit les deux racines ui,, u/, si, en parlant du point s^ tivec la racine k^, et décrivant le lacet, on revient au point de départ avec la racine a*; on dit qu'il est neutre par rapport à une racine, s'il reproduit cette racine.

Un chemin quelconque allant de z^ fn s peut être remplacé par

le suite de lacets suivie du chemin direct unissant ces deux

points. Par exemple, le chemin z„a.m'finypz {Jîg. 58) peut être

remplacé par Za^niz^-i- x^m'^nSa-i- Zarc^pzo-^ ^opz; z^i-tiiza

peut, à son tour, être remplacé par te lacet (i|), z^in^nza par le

l8o CHAPITRE IV.

lacet {a2)-^t z^n^pz^ par le lacet («3)^1, et z^pz est un chemin direct allant Aq z^k z,

Fig. 58.

Nous terminerons ces généralités par la remarque suivante. La racine w/, qui se réduit à a/ pour 5 = ^o? est développable par la formule de Taylor dans le voisinage de ce point; quel est le rayon de convergence de cette série? Ce rayon est égal à la distance du point 5o au point critique le plus voisin où la racine considérée devient infinie ou se permute avec une autre. Mais le cercle de convergence de cette série peut contenir des points où les racines, autres que w/, se permutent ou deviennent infinies.

87. Dans ce qui précède, nous avons établi a /?r/o/7 Texi s tence des systèmes circulaires et la forme des développements en séries des racines. 11 nous reste à montrer comment on peut obtenir ces systèmes circulaires. Les valeurs de Zj pour lesquelles Téqualion F(5, w) = o admet des racines multiples, s'obtiennent en élimi-

nanl M entre les deux équations F = o, j- = o. Soit 5 = a une

valeur de z pour laquelle Téquation F(<3, m) = o admet une racine

b d'ordre n. En général, t- ne sera pas nul pour z=^a, u^=b.

En langage géométrique, cela signifie que le point de coordonnées (a, b) de la courbe qui a pour équation F(z, w) = o est un point simple où la tangente est parallèle à Taxe des u. Mais, si l'on

a en même temps — = o, le point (a, b) est un point multiple de

cette courbe. En définitive, les points critiques de la Jonction algébrique u de z correspondent : i " aux points de la courbe où la tangente est parallèle à Vaxe des u; a** aux points mul-