BRIQUES

tiples. Nous laissons de cAté pour le

l les points à l'inHiii; à celle des points à dis-

eur ^-tude se ramène, comme on 1' tance G nie.

Supposons d'abord que, pour z ^= a, on ait une racine /

"ordre n, et que -r- ne soit pas nul pour z^a, u ^= b. En remj>IaçaDt 3 par 2 + n et « par ii -^ b, ce qui revient ù transporte: l'origine au point {«, 6), F(:, h) sera de la forme

F = As + B

- + U3^(z,»)+^iz,u)^

(3, w) ne contenant que des termes de degré supérieur à n par nppurt à H cl du second degré au moins par rapport à z; A et B •ont des constantes djfl'érentes de zéro. Pour z^n,ona n racines Huiles et n seulement, c'est-à-dire que l'axe des m rencontre la courbe en n points confondus à l'origine, qui sera un point ordiï = 2, et un point d'inflexion si n est supérieur k 1. Si l'on pose

t'équation (6), divisée par s'", devient

) A-(-Bc''-t-«'Il(j'.i') = o.

four z' = o, l'équation (7) admeL n racines simples fournies ftr l'équation binôme

ces n racines rangées par ordre d'arg-umenl croissant, l'argument de chacune de ces racines étant égal à celui de la précédente, lugmenté de — ■ Pour une valeur de s' voisine de zéro, l'équalion (7) admettra n racines qui seront d«'s fonctions régulières de -' dans le domaine de l'origine et se réduisant respectivement à t',,

.., !■■„ pour i'^o. Ces n racines pourront être représen-

par

''1+ «I. '■i-t-a». -■., t-'ïi-t-a™.

.3, ...,«„ étant (les fonctions régulières de z' , qui sont nulles

l82 CHAPITBB IV.

pour 5'= o. L'équation (6) admettra les n racines

l/, = ((;i-4-a,)z«, 1/2= («'îH-a,)z«, ..., Mn= («'n-4-a«)'5'»;

pour savoir comment se permutent ces racines dans le domaine de

l'origine, faisons décrire à la variable un petit cercle dans le sens

î. ait

direct autour de l'origine; l'argument de 5« augmente de ~; le

produit v^ z*^ devient doue i'2^'* ^^ l^i racine U\ se change en

a, étant infiniment petit avec -s, car c'est, au facteur e " près, ce que devient la quantité ai quand on augmente l'argument de z' de

— • Cette racine doit faire partie des n racines W|, 1/2? •••1 **«•

Elle ne peut être égale qiûà U2, car, si elle était égale à 1/3 par exemple, on aurait

i?j^« -+■ a\ s» = P3Z« -4- atj5» .

et, en divisant par 5",

Vi—vz^a^- a\,

de sorte que la quantité finie ^^2 — ^3 serait égale à une quantité infiniment petite. On verrait de même que, après que z a décrit un petit cercle dans le sens direct autour de l'origine, W2 se change en 2/3, {^3 en u^J ...,{//< en u^. Les n racines forment donc un seul système circulaire.

Ces n racines peuvent être représentées par un même développement en série. La racine de l'équation (7), qui se réduit kVi pour 5'=:o, est régulière dans le voisinage de ^'=0^ elle peut donc être représentée par la somme d'une série convergente telle que

la racine correspondante Ui de l'équation (6) sera égale à la somme de la série

Or, quand z toiu*ne autour de l'origine, cette série prend n va-

FONCTIOKS ALGEBRIQUES H UNE VARIABLE. l83

leurs distinctes que l'on obtient en donnant à z" ses n détermina- I tions; el, d'après ce que nous venons de voii", ces n valeurs rcpré- \ sentent les n racines de l'équation (ti), qui s'annulent avec z.

88. Supposons maintenant que le point {a, b) soît un point I multiple de la courbe F(3, m) ^ o; nous porterons encore l'origine en ce point. Avant d'aborder le cas général, nous étudierons deux cas particuliers très simples :

" L'origine est un point double â tangentes distinctes, el aue des tangentes ne coïncide avec l'axe des u. Si l'on ordonna I F(3, «) suivant les puissances cioissanies de u et de 2, on aura I l'équation

ip( j, ti) ne contenant que des termes de degré supérieur au second. I Pour zr=o, deux valeurs de u sont nulles; posons »^cz, l'équation (8) devient, en divisant par z-,

et la nouvelle équation admet, pour: = 0, deux racines simples Wi, C). Dans le domaine de l'origine, l'équation (9) admet par con- ^ènaent deu\ racines qui sont des fonctions régulières de s.

Les valeurs correspondantes de u i séries convergentes

ut représentées par de i

Chacune de ces racines est donc régulière dans le domaine du point; ^= o.

a" L'origine est un point de rebroussemenl, et la droite iir^o est la tangente de rebroussemenl. L'équation proposée est de la forme

nu"+ (-!(=; -f

l84 CHAPITRE IV.

o(z^ u) ne contenant que des termes d'un degré supérieur au troisième. Si l'on pose

et qu'on divise par 5'"*, Téquation devient

(u) v^-^ d-hz'^(z\v) = o.

Supposons que d n'est pas nul, ce qui aura lieu si Torigine est un point de rebroussement de première espèce. Pour z'=Oy

l'équation (11) admet deux racines simples diy/ — d; pour z! voisin de zéro , on aura deux valeurs de v régulières dans le domaine de

l'origine et se réduisant respectivement à ±^ — d pour ^'=0. On en conclura, comme plus haut, l'existence de deux valeurs de M, racines de l'équation (10),

se permutant quand on décrit un petit cercle autour du point .5 = 0. Ces deux racines sont encore représentées par un même développement en série

w =/— fl^5* -H a-5*-4- ^(5*) -+-..., dans lequel on donne à ;5^ ses deux déterminations.

89. Après ces cas particuliers, arrivons au cas général, où l'origine est un point multiple d'ordre quelconque. L'équation en u BysLiil n racines nulles pour ^ = o doit contenir un terme de la forme Aw'*, où A est une constante non nulle, suivi de termes parmi lesquels ceux qui ne renferment pas z contiennent u à des

puissances supérieures à n. Elle est donc de la forme

« (12) F(^, u) = Aa'»-f-2AapM«^^ = o,

les exposants cl et ^ étant des entiers positifs ou nuls assujettis à la condition que, si ^ est nul, a est supérieur à n. Alors, pour 5 = o, il y a bien n racines nulles. Nous emploierons, pour partager ces n racines en systèmes circulaires, la méthode donnée par Puiseux dans son célèbre Mémoire sur les fonctions algé-

NS ALGEBItJQCiIÏS D l

briques ('). Admellons que chacune des valeurs iDliniment pc~ lîles de II csl d'un degré inrinilésimal déterminé par rapport à 3. -" peut être mise sous lu forme

|t étant un nombre positif el v une fonction de z qui a une valeur finie et différente de zéro pour 5 ^= o. Remplaçons u par celte Itxpression dans l'équation (12), le degré infinitésimal du terme {éoéral est stti 4- P et celui du premier n u, expression qu'on peut faire rentrer dans a|j. -|- ^ en faisant pour le premier ternie x ^ n, o. Soit m te degré du terme qui a le plus petit degré, après cette substitution. Il y aura au moins deux termes de degré ni, êsr, s'il n'y en avait qu'un, en divisant par s™, on aurait une quantité iînîe qui serait égale à une quantité infiniment petite. Il faudra donc qu'il y ait au moins deux termes

parmi lesquels peut èlre le premier, tels que

lia -(- p = i^a -»- p', tl tels que, pour tout autre terme Aa«p"H^"-3", ou ait

Pour trouver les valeurs de \). qui remplissent cette condition, 1 se sert d'une représentation géométrique dont le principe est uù k Newton. Traçons dans uu plan deux, axes de coordonnées ^Ctangulaires Oa, Op el marquons les points qui ont pour coordonnées les exposants (%, |3) des différents termes de l'équal'on (la). Au terme indépendant de :ï correspondent les points de meOa; le premier, qui est fourni par le terme Ah", est d'ab- «isse n. De même, les termes de l'équation indépendants de u doQiienL des points sur l'axe O^ {J'g- ^o)- Ces différents points étant marqués dans le plan, pour avoir le

- la substitu-

itpé u

1 en 2 qu'acquiert un terme Angu^a^ pa

tîon K :=:*'3l*, il suffit de mener par le point de coordonnées (a, ^)

l86 CHAPITRE IV.

une droite A de coefiicient angulaire — u

et de prendre l'ordonnée à l'origine OS de celte droite : ccM ordonnée est en effet |jix + fS. Donc, si par tous les points m^m qnés dans le plan aO^, on mène des droites A parallèles aiy»- ' pour coefficient angulaire — [i, les ordonnées à l'origine de c ' droites donneront les degrés que prennent par la subslituticzi

Il ^ vz^ les divers termes de l'équaiion. Le terme de plus petit degré en z correspond au point (a, p) situé sur la droite D dont l'ordonnée à l'origine est la plus petite ; comme il doit y avoir au moins deux termes ayant le plus petit degré, il faut déterminer |t de façon qu'il y ait au moins deux des points (a, ^) sur celle des droites D de coefficient angulaire — \i. ayant la plus petite ordonnée à l'origine. Le nombre — jj, est donc le coefficient angulaire d'une droite joignant au moins deux des points (a, p), et laissant tous les autres au-dessus d'elle. Voici comment on détermine toutes les droites possédant cette propriété.

Concevons une droite mobile d'abord couchée surOa. Faisons-la tourner de gaucbe à droite autour du pointd'abscisse/i sur Oa, jusqu'à ce qu'elle vienne rencontrer un ou plusieurs autres points; faisons-la ensuite tourner, toujours dans le même sens, autour du dernier de ces points, jusqu'à ce qu'elle vienne à rencontrer de nouveaux sommets du réseau, et ainsi de suite, jusqu'àce qu'on obtienne une droite passant par le premier sommet du réseau / situé sur op. On a ainsi formé une ligne polygonale, allant du point n au point /, dont tous les sommets sont des points du réseau, et telle

PONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 187

c]|m:a.«, si Ton prolonge un quelconque de ses côtés, on laisse tous \^^ aulres sommets du réseau au-dessus de ce côté.

Xe coefficient angulaire de chaque côté de cette ligne polygoli&aàle, changé de signe, fournit une valeur convenable de [jl. Soient (ot^ ^)et(a', P') les coordonnées de deux sommets du réseau situés s^ix* un même côté, de coefficient angulaire — ul. La droite, à lac|uelle appartient ce côté, a pour équation

7 — p = -ix(a:--a),

et le point où elle rencontre 0^ a pour ordonnée ^ -f- ua. Il est c1a.ir que Ton aura

tandis que, pour un sommet du réseau (a", P") situé au-dessus du côté considéré, on a

Cela posé, considérons un côté G/ de la ligne polygonale allant du sommet (a/, P/) au sommet (a/^,, Pz+i), et soit (a, P) un point quelconque du réseau situé sur G/, et (a', P') un point quelconque

du réseau situé au-dessus de G/. L'équation proposée pourra

s'écrire

(i3) F(^, u) = A«,p,tt«/;5P' -h^ Aap^a^P

Soit |x le coefficient angulaire changé de signe du côté G/; on aura

«iK -4- p/ = «fx -h ? = a/+i [X -h P/4.t, a> -f- p' > a/|ji -H P/;

on tire de là

jx = ^-P^ = P^-^i - ?i ^ 1

di a OLi «/+! p

La fraction - étant supposée irréductible, on a

l88 CHAPITRE IV.

k el ki étant des nombres entiers. Posons, dans l'équation (i elle devient

mais on tire des relations écrites plus haut

q^i -^P^i = q(X-hp^ = ^a/+i -t-pp/^.1,

et, en divisant par z'^^i'^fPi^ l'équation devient

W{z'^ s?) étant une fonction entière de v et de 5', et ^{s^) désignai» t le polynôme

Pour^'=: o, cette équation se réduit à

elle admet a/ — a/^< racines finies et différentes de zéro; pour une valeur de z' voisine de zéro, elle admettra donc a/ — a/^, racines respectivement voisines des précédentes et, par conséquent, Téquation en u aura le même nombre de racines de la forme

i>zP , la quantité ç tendant vers une limite différente de zéro lorsque z tend vers zéro. Le côté C/ de la ligne polygonale fournit donc

(a/ — a/^<) racines d'un même degré infinitésimal 2. En opérant

de même avec chaque côté, nous obtiendrons un nombre total de

racines

(n — ai) H- (aj — otj) 4- . . . -h(a« — o) = n.

On retrouve ainsi les n racines de l'équation (la) voisines de zéro. Chacune de ces racines est donc bien d'un degré infinitésimal déterminé, et de plus ce degré est commensurable.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'uNE VARIABLE. 189

CJonsidérons maintenant en particulier les racines du degré infinitésimal — j qui sont fournies par l'équation ^(v) = o. Dans

lo polynôme ^{v), tous les exposants sont des multiples de p;

ai jTisi

Sî l'on pose vP = \^ Téquation 0(i^) = o est remplacée par Téq u ation

(1 5 ) n(X) = Aa^p^X*. -t-^ AapX^-*-f- Aa-^.p,^, = o.

Soit)* une racine simple de l'équation (i5) et

les p racines de l'équation çP = X, rangées dans un ordre tel que les arguments forment une progression arithmétique de raison

- -' Ces racines sont racines simples de l'équation 0(r)=o;

par conséquent, pour uue valeur de ;:' voisine de zéro, l'équalîon (i4) aura/? racines voisines des précédentes, qui seront régulières dans le voisinage de z' = o. Soient

ces /> racines, ai, a2, . . .^ oLp étant inGniment petits avec z'. L'équation (i3) admettra les p racines

et l'on verra, comme plus haut (§87), que ces p racines se permutent circulairement autour de l'origine. Supposons que la racine de l'équation (i4)î ^^î se réduit à v'i, soit développée suivant les puissances croissantes de z'

p = p, -f- az' H- 6 V H- ... ; la formule

u = çi{zP) -ha[zP) -hb[zP) -h

OÙ l'on attribue successivement à z^ ses p déterminations, représente les/7 valeurs de u, qui se permutent circulairement. Ainsi, à

igo CHAPITRE IV.

toute racine simple de V équation (i5) correspond un systè circulaire de p racines.

Si l'équation (i5) a ki racines simples, le côté C/ de la Hg:^ polygonale nous fournira ki systèmes circulaires de p racines, en est de même de toutes les équations analogues pour les autc"" côtés, la séparation des racines en systèmes circulaires sera efiP^^ tuée dès la première approximation.

Supposons maintenant que Téquation (i5) ait une racine m ti pie X d'ordre n', et soit v^ une racine de l'équation vP =z\\ sera une racine multiple d'ordre /i' de l'équation ^(i?) = Lorsque z' tendra vers zéro, l'équation (i4) admettra /i' racio. voisines de ^4. Pour séparer ces n' racines, nous posero i^ = r« 4- v\ ce qui nous conduit à une nouvelle équation

ayant n' racines infiniment petites avec z\ Appliquons à cel:::'^^^ nouvelle équation la méthode précédente, et supposons que c?^-S^^ //' valeurs de v' se répartissent en systèmes circulaires dès la pi-^=^ " mière approximation. Soit

un de ces systèmes circulaires de/?' racines. L'équation en u admettra la racine

11 = z*n{vx -^-v') = z'ilVi-hwiiz'y'Y -I-...J ou

u = i^i[zi'f") ^wi[zPP') H-....

On a dans le second membre un développement suivant les puis-

sances croissantes de zPp , dans lequel les trois nombres <jp\ pp\ fj' -\- (]p' sont premiers entre eux. Ce développement prend pp^ valeurs différentes quand la variable ;; tourne autour de l'origine; il représente donc un système circulaire de pp' racines de l'équation en «. En effet, lorsque la variable z tourne autour de l'ori-

pine, le radical z^f*' prend pp' valeurs difl'é renies. Après p tours, le premier terme se reproduit, mais l'argument du second aug-

ïï»e«iie de — ^t; ainsi les p premières racines différent par le prei«î«r lerme, qui est la partie principale. Ensuite, de p en /», les v^ltfurs oblenues diffèrent par le second terme. On a doncl)ien/i/>' "valeurs dilTérentes pour ii.

©0. Si les n' racines de l'équation (i6) ne peuvent se répartir en sièmes circulaires dès la première approximation, on opérera celle nouvelle équation comme on a opéré sur l'équation (i3}, et ainsi de suite. Au liout d'un certain nombre de transformations successives, on arrivera à des équations n'ayant plus que des cines simples, ei, en remontant de proche en proche, on voit [oe la séparation des racines de l'équation proposée en sjslèmes rculaires sera elfecluée. Il ne pourrait en être autrement que si ^Ift suite des opérations conduisait toujours à des équations ayant

5 racines multiples. Il nous suffira donc de montrer o E circonstance ne peut se présenter.

G cette

1 (i 3) admet une racine nulle d'ordre n pour s = o, ' et l'équation (i6) admet une racine nulle d'ordre n' pour s'=; o. Or tt' est au plus égal à a, — a,.,.t, et par suite au plus égala n. Si la séparation des racines de l'équation (i6) n'est pas effectuée dès la première approximation, on en déduira une nouvelle équation avant une racine nulle d'ordre n" pour ='' = 0, et n" sera infërieur ou égal à n' ; et ainsi de suite. On aura donc une suite de nombres entiers positifs h, n', n", . . . n'allant jamais en crois- 1 wnl. Si aucun des nombres de cette suite n'est égal à l'unité, il

I [ludra évidemment qu'à partir d'une certaine équation tous ces

^^ nombres soient égaux. Supposons, pour fixer les idées, que cela ^^L *il lieu dès la première équation. Comme // est au plus égal à ^^^ '^i~i-^.\, il faudra qu'on ait

I I <l la ligne polygonale se réduira à un seul c6tc, allant d'un point 1 lup Taxe Oa à un point nq sur l'axe O p. Si l'on pose dans ''*i]UBtion (i3) w = i--', elle devient, par liypolhèse,

et, par suite, les n racines infinimeDt petites ont une même val approchée

Posons ensuite i^ = r© H- v' , l'équation en v' aura n raci nulles pour ;; := o et si l'on écrit v' = çv5^', y' étant choisi con nablement, elle devient, d'après l'hypothèse,

et les n valeurs de u auront encore même valeur approchée

En continuant ainsi, on voit que les n valeurs inGniment peti de u différeraient entre elles d'une quantité dont l'ordre infin: simal serait aussi élevé qu'on le voudrait; ce qui est impossi si l'équation est irréductible, et, par conséquent, n'admet pas racines égales pour toute valeur de z. Imaginons, en effet, < l'on forme l'équation aux carrés des différences des racines l'équation proposée; on aura une équation de même nature < la première, dont les racines nulles pour z =o seront d'un or infinitésimal déterminé.

En définitive, lorsque pour -3 = a l'équation (2) admet n cines égales à 6, les n valeurs de u qui tendent vers 6, lorsq^i tend vers a, sont représentées dans le domaine du point z = par un ou plusieurs développements de la forme suivante

u = b -^ ai{z — aY -h aiiz—^a)^ -h ... -f- a,(^ — a)'' -h.. .,

j OÙ l'on attribue successivement k (z — ay ses p déterminatio

et où Ton prend la même détermination dans chacun des term

Quelques-uns des nombres entiers positifs g^^ q2, . . . , y/ p<

vent avoir des diviseurs communs avec /?, mais il ne pourra

arriver que tous les nombres Çi aient avec p un autre divis'

commun que l'unité, de sorte que le second membre aura biei

valeurs distinctes.

Si l'on a un seul système circulaire de n racines, le point z =

est dit un point de ramification d'ordre n — 1 ; pour /i = 2,

dit aussi que c'est un point de ramification simple. Si l'on a p

FONCTIONS .tLr.ÉBniQues h'lne vahiable. igl

■ «7S systèmes circulaires, au (joini z ^ a sonl superposés plu-

■ rs points de ramilicatioii distincts.

[91. Exempte /. — Considérons l'équalion {' j

ur 3 ^ + I, on a deux racines «gales ;i •+- 1, ijui forment un me circulaire, et une racine simple égale à —a; de même, poux- 3 ^ — I , on a une racine simple égale à a et deux racines égales â — i, qui forment uu système circulaire. Pour toute autre jfaleur finie de z, les trois racines de l'équation sont distinctes et |lni«s. Traçons dans Je plan des z deux coupures indéfinies sui-

liikt les lignes i h», — i— ■ — co; les trois racines

Bevi«nnent des fonctions uniformes dnns toute l'étendue du plan.

ris. I

(Appelons lia, Wii "ï ces trois racines, qui se réduisent respectiveffoenià o, -f-v^3, ~i/^ pour :;^o. Si l'on construit la courbe ceprésenlée par l'équation précédente, on reconnaît que, z croisssfti de o à +1 par valeurs réelles, lia croît de o ù + i , », décroît lie ^3 à -i- I, et «ï décroît de — y'ii à — a. Par conséquent, quand n franchit la coupure L, on passe de «e à «,, de «, à (/», mais "] ne change pas. De même, quand on franchit la coupure L', u» elUise permutent, tandis que «, ne change pas. Si l'on décrit d^ l'origine comme centre un cercle de rayon supérieur ù l'unité, "D revient à la valeur initiale après avoir décrit trois fois la circQofércnce et rencontré les trois racines. Ces racines forment lions un seul système circulaire dans le domaine du point = ^ x.; i-et[u'on vérifie aisémentpar la méthode générale. Exemple II. — Soit l'équalion (*)

l'I Briot cl DouQUET, Fonctions cllipliqm t'I Bhioi vl BouuuM, toc. cil., p. Sg. A. ET G.

Pour 5 =: o, on a la racine simple w = 3, et deux racin nulles. Si l'on pose u = i^:;\ Téqualion devient

pour 3 = o elle admet deux racines simples — > -t=-- Les valeui

de u qui tendent vers zéro avec z sont par conséquent régulière ^^^ dans le domaine de Torigine et ont pour premier terme de letii développement

Nous désignerons par Uq la racine qui se réduit à 3 pour .5 = 0. Pour chacune des six valeurs de z données par Téquation 5*= 4» on a une racine simple i'/ = — 1 et une racine double m = 2, et les deux racines qui tendent vers 2 se permutent autour du point critique. A partir de chacun de ces points de ramification, traçons une coupure indéfinie suivant le prolongement du rajon joignant ce point à l'origine; les trois racines deviennent des fonctions uniformes dans toute l'étendue du plan {fig* 61).

Pour voir comment se comportent les racines quand on franchit les coupures, il suffit de construire la courbe qui représente l'ensemble des solutions réelles de l'équation

1^3 — Sa^-f- ^* = o; on reconnaît aussitôt que, lorsque t croit de o à 2 par valeurs

FoncTioNS ALcKBniQUKS UL-Nt; vinjikBLE. 195

trois valeurs de m vont respeclivemenL des valeurs ioi-

ciales »(,, II,, M3 aux valeurs finales 2, :t, — i. Donc, lorsque ::

décrit une des lignes Ort,, Oa^, Ooj, les trois racines «j, m,, u^

«ndcnt vers les valeurs 2,1, — ^1; |iar suite, quand on francbil

lue coupure d'indice impair, on va de la racine Ut à la racine U,,

le fi, à u,, mais ii^ ne change pas.

De même, lorsque s décrit, un des rayons Ogj, Oa,, Oo*, ( va le o à — a par valeurs réelles, et les racines u^, u,, Hj tendent «speclivemenl vers 2, — 1, a, de sorte que, en Trancbissant une «upure d'indice pair, on passe de »o à Mj, de Uj à u^, mais », le change pas. Les lacets (a^), (rti), («0) unissent donc tes raâoes lit, "1 et sont neutres pour la racine u,, tandis que les ■cels (0|), (dg), (fi) unissent "o el »,, et sont neutres pour la ^ciae Uf Si l'on décrit un cercle concentrique à l'origine contekanl les sis points de ramification , ce chemin équivaut à six 15, et chaque racine revient à sa valeur initiale. La méthode générale montre, en elVet, que le point à l'infini est neutre pour chacune des racines.

On peut faire l'étude complète des fonctions algébriques el de leurs intégrales au moyen des lacets. C'est la méthode employée «clusivement par Briot dans sa Théorie des fondions abé- Uennes. Nous nous servirons, dans c«t Ouvrage, du mode de représentation de Rieniann (').