ïr

issues de l'origine qui font entre elles des angles égaux à — j et du

point 3' = o comme centre décrivons un cercle de rayon r très petit. On a ainsi une surface /', composée de |jl secteurs circulaires égaux. Lorsque la variable 3' décrit un de ces secteurs, 5 décrit, autour du point a^ toute la partie d'un feuillet aboutissant à ce point comprise à Tintérieur d'un cercle de rayon ri*. A la surface /' correspond ainsi sur T un domaine entourant le point analj'tique («, 6), domaine que Ton peut prendre pour la surface t. Ces deux surfaces / et /' se correspondent point par point et, sauf au point 3' = o, l'application est conforme. Toute fonction uniforme du point analytique (3, w) pourra donc, à l'intérieur de f, être remplacée par une fonction uniforme de 5' \\ l'intérieur de t! , Il suit de là que celte fonction sera dans le domaine de {a^h) une fonction uni-

forme de {z — a)^ , chaque détermination du radicalcorrespondant à un des feuillets.

S'il n'y a pas, dans le voisinage du point (a, 6), une infinité d'autres points singuliers, la fonction \^ sera donc représentée, dans le domaine de ce point, par un développement ayant l'une des

FONCTIONS ALGEBRIQUES d'UNE VVKIABLE. 2o5

formes suivantes

V = — rt

( III > f = VAv(- — a)i^-

L>£ins le premier cas, on dira que la fonclion r est régulière au

point (rt, 6); si Ao = A, = . . .= Aç, r^^ o, sans que A^ soit nul,

le point [a, b) sera dit un zéro d'ordre q. Dans le second cas, le

point (a, b) sera appelé un pôle d'ordre /i, et, dans le troisième

cas, un point singulier essentiel isolé. Dans ces deux derniers

cas, si les développements contiennent un terme en ,

^*ïi appellera résidu le produit ^i^A.ji. Il est facile de justifier ces définitions. Imaginons un contour tracé sur T autour du point de i^mifîcation {a, b); puisque, par ce point, passent |jl feuillets, ce contour doit faire [x tours autour du sommet du cjcie. Cela posé, cuQsidérons l'intégrale

V dz,

prise le long de ce contour, de façon à avoir a sa gauche le domaine du point (a, 6). Le seul lerme qui puisse donner quelque

chose dans cette intégrale est le terme en —

az.

et, comme l'argument de z — n augmente de aai: quand on riécrit le contour précédent, cetle intégrale a pour valeur a/irjJiA.tjL. On a donc, en appelant R («, 6) le résidu,

I^intégrale étant prise le long d^un petit contour entourant comn plètement le point (a, 6), de façon à avoir à sa gauche Faire veloppée, comme dans le cas d'un point (a, b) qui ne serait pi de ramification.

Pour justifier la définition de Tordre d'un pôle ou d*un zér remarquons qu'un zéro d'ordre q de v donne toujours une v riation de zqiz dans logr, quand la variable z décrit un conto fermé dans le sens direct autour du point analytique (a, 6), tan dis qu'un pôle d'ordre n donne une variation de — anir da iogt'. En d'autres termes, un zéro d'ordre q de ç donne dans 1 dérivée logarithmique un résidu égal k -h q, et un pôle d'ordre i un résidu égal à — n.

Soit, en effet,

= (5 — a)?LAo-^A,(^ — a)^-f-...J, A(

On aura

, - Al (5 — aJ*- -h. . .

V dz ii(z — a) ' i

AoH- Aj(^ — cr)t*-+-. . .

Le développement du second lerme commencera par un terme de degré 1 ou de degré plus élevé; le résidu sera donc

ï X [JL = gr. On verrait de même que, pour un pôle d'ordre n

de r, le résidu de la dérivée logarithmique est égal à — n.

Passons, maintenant, aux valeurs infinies de z. Pour plus de généralité, supposons qu'on ait à l'infini un cycle de a feuillets.

En posant ;; = — , la fonction uniforme v se change en une fonction ^{z'), qui est uniforme dans le voisinage de 5'= o. Écartons le cas où cette fonction ^(^') admettrait une infinité de points singuliers dans le domaine de l'origine; dans ce domaine, ^(z')