FONCTIONS ALGÉBRIQUES D*UNE VARIABLE

Fa représentée par un développement de Tune des formes sui-

V suites :

La fonction ç sera donc représentée, dans le domaine du point à l'infini considéré, par un développement de Tune des formes suivantes :

(If) P= ^Ava f;

V=:— Il

(III) Ç=Z \ky,Z ?

Dans le premier cas, la fonction {^ est régulière au point à Tin-

fini; si le développement commence par un lerme en z ^^ ce point sera dit un zéro d'ordre q. Dans le second cas, le point à Tinfini est un pôle d'ordre n, et, dans le troisième cas, un point singulier essentiel isolé. Si le développement contient un terme en -,

'-^f on appellera résidu le produit — |JiA pL. Ces définitions se

justifient comme précédemment. Le résidu de la fonction v pour un point à l'infini est égal à

/v dZy

rintëgrale étant prise le long d'un contour fermé limitant le domaine de ce point à l'infini, de façon à avoir ce domaine à sa gauche. Un zéro d'ordre q et un pôle d'ordre n donneront respectivement ^ et — n pour résidus dans la dérivée logarithmique.

Remarquons encore une fois que la fonction peut être régulière à linfini sans que le résidu soit nul.

96. Soient V une fonction analytique uniforme du point ânalvtique (w, u) et Vi, (^29 • • m ^'m les m déterminations de cette fonction pour une valeur quelconque de z ; il est clair que toute fonction symétrique de ^'i, ^2^ •••? ^m sera une fonction uni/orme de z. Supposons que, pour 5 = a, quelques-unes des valeurs t^i -» <'î, . •., ^m ne soient pas régulières; alors la fonction p du poir» ^ analytique (Zj u) admettra comme pôles ou points singuliers es$er~=3 liels quelques-uns des points analytiques (a, b) qui sont superpc:^ ses au point z = a du plan des z. La somme des résidus de C- ^ fonction i', relatifs à tous ces points singuliers^ est égale au sidu de la fonction i^i + ^^2 4- • • • -H ^m relatif au point z=^a.

Si aucun des points analytiques (a, b) que la fonction v admi comme points singuliers n^est un point de ramification, la démon^^^ stration est immédiate. Supposons que l'un de ces points soit 00. point de ramification d*ordre [x — 1; dans le voisinage de c»^ point, jjL des valeurs i^i, 1^21 •••1 ^'m seront représentées par ui^

même développement en série suivant les puissances de (5 — a)**. Soit A ji. le coefficient de ^ ■ dans ce développement. Dans la^

somme V\ -1- i'2 -h • • • -f- ^m, on aura le terme j^ ~^ provenant des^

;jL valeurs de v appartenant à ce système circulaire. En opérant de la même façon avec tous les points analytiques (a, t), on voit que la proposition est exacte avec la définition du résidu que nous avons adoptée. On reconnaît tout pareillement que la somme des résidus de la fonction i^, pour les points à l'infini deT, est égale au résidu de la fonction i^i + ^'2 4- . . . + ^m pour x; = 00.

Supposons que la fonction v du point analytique (s, c/) n'ait sur T qu'un nombre /7n/ de points singuliers. La somme des résidus de cette fonction sur toute la surface T sera égale, d'après ce que nous venons de voir, à la somme des résidus de la fonction t'i 4- t'2-+- . . . -f- t'mî q"i est une fonction uniforme de z^ pour toutes les valeurs finies et infinies de z. Or cette somme

vi-f-t'j

i de points singuliers, et, par est nulle {voir Introduction).

n'a lividemmenl qu'un nonilirE conséquent, la somme de ses rés 'On a donc le ihéoréme suivant :

Soit 1' une fonction uniforme du point analytique {:. u) mi n'admet, sur toute la surface T, qu'un nombre fini de vints singuliers; la somme des résidus de cette fonction sur ^ute la surface est égale à zéro.