Parmi les fonctions i

lifon

i plus simple

i du point analytique (w, »),

nt les fonctions rationnelles de z et de u,

^eiQ étant des polynômes entiers en 2 et h. Dans le voisinage d'un int analytique (a, b) à dislance linie, où a reste fini, le numérairet le dénominateur peuvent se développer en séries ordonnées suivant les puissances de 3 — a, si parce point ne passe qu'un seul

Teuitlet, et de (3 — «)'*si ce point est le sommet d'un cjcie de a feuillets. Le quotient ne pourra donc contenir qu'un nombre Jini f termes à exposants négatifs, si le dénominateur est en z — a ^nn degré inlinitésiniat supérieur à celui du numérateur. Lu foncf est donc régulière au point (h, i), à moins que ce point ne soit 1 pôle. Le raisonnement est le même pour les points de T où u Bvient infini et pour tes points à l'infini de la surface. Par con- ^uenl, toute fonction rationnelle de « et de 3 n'admet sur toute

irface de Uiemann que des p&les.

Kéciproquenient, toute fonction uniforme du point analy- \que (3, u), qui, sur toute ta surface de Itiemann, n'admet l'an 1res points singuliers que des pôles, est une fonction raîonnelle de = et de u.

Moas nous servirons, pour te démontrer, de la remarque j^énéîle suivante ;

Toute fonction uniforme du point analytique (3, (/ ) peut tre mise sous la forme

^ Hl\iz) ^- U^P,(i) -.

;(3), P,( = ). ..., K,,{:) étant des fouet: A. Kf G.

ions uniformes de

Par hypothèse, l'équation irréductible F(5, u) = o est de dégré m en u. Soient w», W2, . . ., Um les m valeurs de u correspondant à une même valeur de z, et P|, P21 • • •> ^m les m valeurs de v correspondant respectivement aux points analytiques (5, ii|), (5, W2), . . ., (s, Mm)' Posons

Po Po

ur P,

. . . -h Mj P/n— 1)

. . . -t- a| r fn—\^

= Po+ WmPlH-. • .-^- "S"* P//1-1;

on peut résoudre ces m équations par rapport à Po, P|, . . ., P«, car le déterminant

I Ui

n'est pas identiquement nul. On en tirera, par exemple.

ou

ui"-^ .

Ui

Faisons décrire à la variable z un contour fermé quelconque^ les lignes du déterminant D se permutent d'une certaine façon. Mais, par hypothèse, les Vi se permutent de la même manière que les Ui, de sorte que les lignes du déterminant D| s'échangent entre elles exactement de la même manière que celles de D. Les deux déterminants sont donc multipliés par un même facteur, égal à =t I , et, par suite, P/ est une fonction uniforme de z.

Supposons maintenant que la fonction ^ du point analytique {z, u) n'admette que des pôles sur toute la surface T. Les développements des Ui et des c/ dans le domaine d'un point quelconque de la surface ne contiendront jamais qu'un nombre fini de termes

exposanls Dégatifs. Il en sera évidcmmenl de même de D et *de D|, et, par suite, de P,-. La fonction uniforme Pi{-), n'admettant d'autres points singuliers que des pôles, est une fonction racionnelle; d'où résulte la proposition énonct^e plus haut.

Toute fonction uniforme du point analytique {z, u), qui est régulière en tous tes points de la surface T, est une constante.

En effet, soient v, , v.^, , . . , v„ les m valeurs de i' correspon- <Jaot à une même valeur de z. Les fonctions symétriques

sont des fonctions uniformes de - qui restent finies pour toute valeur, finie ou infinie, de cette variable. Ce sont donc des constantes et, par suite, i' est racine d'une équation à coefficients constants.

98. Le nombre des zéros d' une fonction rationnelle V = ^{z^u) sur toute la surface T est égal au nombre des pôles, chacun <feux étant compté aiec son degré de multiplie

La dérivée logarithmique

est aussi une fonction rationnelle de z et de u, et les résidus de cette fonction proviennent des pôles et des jiéros de i-. Un zéro 'l'ordre m, de (■ donne -|- m, pour résidu, et un infini d'ordre n* ifonne — n* pour résidu. On a donc, d'apri-s un des théorèmes pr«5cédenls. £m, — Sn* = o ou Smi= ^ii/,.

Cette proposition donne Lieu à quelques remarques. 1. La fonction 'f,{z, u)^ - -n peut admettre d'autres pûles q**e ceux qui proviennent des Kéros ou des infinis de i<. l'ar *X.emple, supposons que, dans le domaine d'un point de ramifica-

"on d'ordre u. — i , on ait

Le point z = a est un pôle d'ordre [a — v pour - -r^y et, par

suile, le résidu correspondant est nul.

II. On aurait pu aussi démontrer le théorème précédent en remarquant que la différence entre le nombre des zéros et celui des pôles de la fonction v est égale à la même différence pour la fonction rationnelle i'i ç^o • • • ^m de z,

III. Soient i^ r^ ^(z,u) une fonction rationnelle de z et de i/, et N le nombre des infinis de cette fonction sur toute la surface. On dira que cette fonction est d'ordre N. La fonction ?p(5, //) — k a les mêmes pôles que (f(z, w), quelle que soit la constante X*. Elle a donc aussi N zéros, et la fonction v =i o(z^ u) passe N fois et N fois seulement par toute valeur donnée à l'avance.

Les propriétés précédentes rapprochent, on le voit, les fonctions rationnelles de z et de u des fonctions rationnelles AUine variable. Si l'on connaît, soit les pôles de la fonction rationnelle i' z= cp(:;, «/), avec les parties principales correspondantes, soit les pôles et les zéros (qui devront être en nombre égal, en tenant compte de leur ordre de multiplicité), cette fonction v sera déterminée, à une constante additive près dans le premier cas, à un facteur constant près dans le second. En effet, s'il existe deux fonctions rationnelles de z et u satisfaisant à ces conditions, leur différence dans le premier cas, et leur quotient dans le second cas, est une fonction rationnelle de z et de w, restant finie en tous les points de T, c'est-à-dire une constante; mais il n'en résulte pas qu'on puisse choisir arbitrairement les pôles avec les parties principales, ou les pôles et les zéros. Nous savons même {voir Chap. I) qu'il n'en est pas généralement ainsi. L'élude des relations entre les résidus ou entre les pôles et les zéros sera faite plus loin.

IV. On emploie quelquefois l'expression ordre d'une fonction en un point (a, p). Cet ordre est zéro, si le point (a, p) n'est ni un pôle ni un zéro; il est égal à + /i, si ce point est un zéro d'ordre /?, à — ai' si ce point est un pôle d'ordre n'. Le théorème sur l'égalité du nombre des zéros et du nombre des infinis peut alors s'énoncer ainsi : f^^a somme des ordres d' une fonction rationnelle de z et de u sur toute la surface de Riemann est nulle (* ).

(') I3RI0T et Bouquet, Fonctions elliptiques, p. -217.

'Squ'il y !i quelque ambigiiïlé à craindre, on peut dire qtie

ordre total d'une fonction est égal à IN, si elle admet en tout

hacun d'eii\ étant compté avec son degré de inullipli-

La déHnition des z.éros et des infinis est purement analytique; on peut également la justifier par des considérations algêl:iriques et géométriques, Étant donnd courbes algébriques indécomposables

: le>

:quations de deux

|17J tlB)

9'après la théorie générale de l'élimination, les abscisses des Doints communs aux deux courbes s'obtiennent en éliminant u Kntre ces deux équations. Le résultat de l'élimination est

il;) = *(s. «,)*(«,

i,U], .... u,„ désignant les m racines de l'équation (17). Soîl t, 3) un point commua aux deux courbes; lorsque z tend versa, rdcs racines de l'équalion (17), H|, r/j, . . . , Ur^ par exemple, ten- P denl vers ^. Le nombre des points d'intersection des deux courbes Tqui sont confondus au point (a, P) est, par définition même, le tdegré du produit *(:,«,} ...*{;, u,) en (= — a). Il faut remarpqucr que A(3) peut contenir{3 — a) à une puissance supérieure ■i celle-là, si les deux courbes ont d'autres points communs d'ab-

Cela posé, supposons d'abord que les /' valeurs de u égales à 3 pour j ^a forment un seul système circulaire; ces /■ racines lonl alors représentées par un même développement

HA,(=-ir+ A,(^-.

!k l'on attribue au radical (:: — n.Y ses /- déterminations. Quand 1 remplace u par ce développement dans *{;, u), le résultat est lui par hypothèse pour ; =: a, et l'on a un nouveau développe-

2l4 CHAPITRE IV.

Chacune des expressions ^(5,^1), ..., ^(5, «r) est donc JC^

degré - en (:; — a) et, par suite, leur produit est du degré q. <

q est précisément Tordre du zéro de la fonction ^(5, u) au poin ^z:^-"^^ (a, P). Donc le nombre des points d'intersection des rfeMJ^^^"**^ courbes (17) e/(i8) confondus au point (a, P) est égal à Fordr^^^^''^ du zéro de la fonction ^(z^u) au point analytique (a, P)^ ^ )> u et z étant supposés vérifier la relation F (z,u) = o.

Si les r valeurs de u qui deviennent égales à ^ pour 5 = a partagent en k systèmes circulaires, il y a, sur la surface de Riemann correspondante à Téquation F (5, u) = o, A: points analytiques (a, p). Le même raisonnement montre que le nombre des points communs aux deux courbes confondus en (a, P) est égal à la somme des ordres des zéros de ^{z^ u) en ces différents points analytiques (a, P) (*).

Si le point commun aux deux courbes considérées est à Pinfini, on ne peut plus appliquer la même règle. Par exemple, les deux courbes

^(Zj u) = uz^ — 1 = 0,

ont une asymptote commune z = o^ el dans le domaine du point ^ = o, on a

ce point n'est donc pas un zéro pour ^{z^ u). L'emploi des coordonnées homogènes permet, comme on sait, d'éviter ces difïïcultés; on peut dire' encore, ce qui revient au même, qu'une transformation homographique ramène le point commun à distance finie et supprime la difficulté.

La remarque suivante s'applique à tous les cas. Soit F(5, u)=o Téquation d'une courbe algébrique indécomposable et f{Zy m), 'h(z^u) deux polynômes quelconques du même degré n; dési-

( * ) Nous renverrons le lecteur au Mémoire de M. Halphen : Sur les points singuliers f etc. {Journal des Savants étrangers, t. XXVI), où l'on trouvera une définition géométrique du même nombre.

ts

Al.

œ{:, II) lu fonction ralionnclle

Cela posé, soienl (a, P) un poiiH quelconque de la courbe F = o, y le nombre des poiuts communs aux deux courbes F ^ o, /— i> confondus au poitii (a, ^), (^' le oonibre des points communs aux deux courbes F;= o, i} := o confondus au point (a, p), La àiffércnce q' ^q est égale à ta somme des ordres de if{z, u) aux différents points analytiques {a, p).

La proposition est une conséquence immédiate de ce qui précède si le point (a, P) est à distance finie. Si ce point est à l'infini, on le ramènera à dislance finie par une transformation homographique

7(^.») devient

où 'J'i (3', u') =; o et fi{z', u') := u sont les équations des denx courbes de m(Jme degré qui se déduisent des courbes 'i(;, u) = o, /(s. «)^=o, par la transformation bomograpbique précédente. Or l'ordre d'une fonction rationnelle en un point ne change pas, comme on le verra au Cliapître VI, par une transformation bomograpbique. La proposition est donc générale.

100. Le tbëorème classique de Bezout, sur le nombre des points communs k deux courbes algébriques, peut être considéré comme un simple corollaire de l'égalité du nombre des zéros et du nombre des infinis. Etant données deux courbes algébriques, de degrés m et n respectivement, choisissons une droite D rencontrant le système formé par les deux courbes en m -\- n points distincts, et faisons subir aux deux courbes une transformation boni ograpbi que, de façon que la droite D devienne la droite de l'infini. Les m -\- n directions as^mptoiiques du système formé par les deux courbes sont alors distinctes; nous supposerons de plus ijn'aucunc de ces asymptotes n'est parallèle à l'un des axes de

2l6 CHAPITRE IV.

coordonnées. Les équations de deux courbes s^écrivenl alors

( 19) F(^, U) = Z'nf^ ('» ^) -^ 5'«-i/;„., (^l, ^^ -h. . . = O,

(20) *(^,m)= z«ç„f i,jj -+-;;'»-» ç«, m, ^j -f-... = o.

/i, (ffç sont des polynômes entiers en - d'un degré au plus égal à

leur indice. En outre, leséqualions/;,i(i, c)= o, cp;,(i, c) = o ont toutes leurs racines simples et n'ont aucune racine commune. La surface de Riemann, qui correspond à l'équation F(>5, u) = o, se compose de m feuillets et n'a aucun point de ramification à l'infini ; les m valeurs de u pour s = 00 sont représentées par m développements de la forme

u = CiZ -4- «o'^ -f- h ( £ = 1 , 2, . . . , m).

Chacun de ces points à l'infini est un pôle d'ordre n pour ^(2, m), car le développement de ^(z^u) commencera par un terme de degré /î, 5" ç„(i , c/), qui, d'après les hypothèses, ne peut être nul. La fonction ^{Zj u) a donc mn zéros à distance finie, chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité; les courbes ont par conséquent mn points communs à distance finie. Il est clair d'ailleurs qu'elles n'ont aucun point commun rejeté à l'infini.

101. Toute surface de Riemann ayant des points de ramification d'ordre quelconque peul être considérée comme limite d'une surface de Riemann n'ayant que des points de ramification simples. Soit ^(5, u) le polynôme le plus général de degré m en 5 et u. Nous pouvons supposer que la courbe qui a pour équation ^(2, u) = o n'a aucun point multiple, et que les m asymptotes sont distinctes, de telle sorte que les m valeurs de u pour s = 00 sont fournies par m développements de la forme

u, = CiZ 4- a'/' -1- i-L H- . . . ( i = 1 , 2, . . . , m );

le point z =00 est un pôle du premier ordre pour chaque valeur

Je II. Les points de raniilicalion sonl lous ù distance finie et proviennent des points de la courbe oii la tangente est parallèle à l'axe des u. Si l'on a pris les aies, ce qu'on peut toujours supposer, de façon qu'aucun de ees points ne soit un point d'înllexion, res points sont au nombre de in{nt — i) el chacun d'eux est un I point de ramification simple. La surface de Riemann T,, cor-

rBpondaat à la relation <?(=, i/) = o, a donc ni feuillets et (/7* — i) points de ramification simples

iiiiiginons tuainleijunt que les coefficients du polynôme 3{z, u) varient d'une manière continue depuis leurs valeurs primitives et arl mettons, pour fixer les idées, que le coefficient de u" ne devient pas nul. Quelques-uns des points de ramification peuvent venir -e confondre, mais la surface de Rjeniann correspondante se 'ooipose toujours de m feuillets. l'our voir nettement ce qui se passe, il est plus commode d'emplojer les lacets. A partir de chacun des points critiques «, , «i, , . . , a^ lirons, dans le plan 'le lu variable :, une coupure s'étendani jusqu'à l'infini, de façon le se croisent pas entre elles {Jig- 70). Soient ;„

:OHpun

Fig. 70.

l'origine des lacets et »,, m^, ..., »« les m racines, qui sonl uniformes tant que : ne franchit aucune des coupures.

Supposons que les deux lacets {n\) el {a^) unissent tes Jeux rDcines n, eL », el soient neutres pour les autres racines. Un chemin lel que z^ninz^ est équivalent à la suite des deux lacets frt,), (flj) et ramène chaque racine à sa valeur initiale. Si l'on imagine maintenant que, les coefficients de -7(3, u) variant d'une

arS CHAI-ITBE IV.

manière contiaue, les deux poiDls critiques a, et a^ viennenld coDroodiT CQ un point b,, le chemin ZumnZa devient équivale! BU lacet (6,) et, par suite, ce lacet ramène les tieus racines ii,, u à leurs valeurs initiales. On voit donc que deux pnints de ramil cation simples sont venus se réduire à un point ordinaire.

On peut s'en rendre compte d'une façon pins sensible. Sur I surface de Riemann primitive, lu ligue droite a^a^ peut servir d ligne de passage entre deux feuillets; si les deux points a,, a viennent se confondre avec le point fj,, cette ligne de passag disparaît, et il n'y a plus de connexion entre les deux feuillet au point b,.

Nous pouvons faire d'autres h^pollièses. Si les lacets (ai et {a-j) unissent des racines différentes telles que u, et Uj, u et Uf, le point limite b^ sera la superposition de deux points d ramilication simples. Si le lacet (^i) unit u, et »!, le lacet («■ U| et »3, le chemin z^,mnza conduit de », à u^, de »i à Uj, à Usa u,. A la limite, le lacet (A,) [)ermutcra circulairement le trois racines ii,, u^, »>. Plus généralcmenl, supposons que Toi ait r points critiques voisins «,, (ij, ..., fl,, tels que le lac* (d,*) unisse les racines Ut et iii^,, cl qu'un rayon vecteur tournai] autour de Zt, rencontre ces points dans l'ordre des indices. O chemin fermé entourant tous ces points critiques et ceux ) seulement permute circalairement les r + i racines «, , ... "r+i ', si tous les points a,, a^, . . ., a, viennent se confondre e. un point /^i, on aura autour de ce point un système circulaire d ;■ -\- I racines.

La méthode précédente est évidemment générale et monti suffisamment comment tout point de ramification d'ordre que! conque peut être envisagé comme provenant de la réunion d plusieurs jioints de ramification simples, suivant la conception à Riemann. II est clair, en effet, qu'on peut passer de la relalia 5{z, «) = o à toute autre relation du même degré par une varîi tion continue des coefficients.

Soient D le nombre des points de ramification simples qi sont venus se confondre en un point 3=^ 6 et R la somme dl ordres des points de ramification qui sont superposés au poîi z= b. La différence D — R est nulle ou égalt pair posiiif.

Pour dënionlrer celle propriélé, nous supposerons que les D ■points critiques a, , «a, . . . , «o vienncnl successivement coïncider : le point z^^b. Après (' opérations, par t-xemple, les points Cti, ..., ai seront venus se ronfondre avec le point b et l'on ara en ce point b un certain nombre de points de ramiCcation nperposés, les points (7,.^, , . . . , Oo restant des points de ramifialion simples. Soit R, la somme des ordres des points de ramifi- Btion superposés au point b après ces i opérations. Après la nière opération, on a

Di-

eu général, D,:; 'magini

Ue point («,v,)v

ntondrc

avec le point b. Le lacet {(Ii^.| ) unit deux racines u/,, «*. Oo peut faire plusieurs hjpolhéses ;

1° Les deux racines »a> "» sont uniformes dans le domaine du point b. Lorsque a,+, sera venu en b, on aura en ce point un point de ramiOcalion du premier ordre de plus; par conséquent

a" Une des racines, u/, par exemple, appartient à un système circulaire de racines se permutant autour du point b, et u/, est luaiforine dans le domaine de ce point. Supposons que le lacet

V*i^i) unisse les racines h, et «^ cl qua le lacet (t) permute les

I ncioes Ut, , «p, la racine m restant uniforme au voisinage

défi. Un chemin tel <\ne z^miiZa {J'g- 71) conduit de w, h iti^ de 'lia Wj, , . ., de iip à ((,. Lorsque «,■+, sera venu en b, le lacel

(b) permutera les/> -h i racines W|, ma, W2, . . . , W/>, et les auU systèmes circulaires seront restés les mêmes. On aura encore

3° Les deux racines ^/^^ ^a appartiennent à un même sjstèi circulaire de racines se permutant autour de b. Par exemple, suppcm^ sons que le lacet (6) permute les racines (W|,W2,...,wa;wa4.i,...,W/s=

et le lacet (rti+i ) les racines M| et Uh- Le chemin {z^ninz^) pei

mutera circulairement les racines

Quand le point a/^i sera venu en 6, on aura deux systèmes cir — culaires de racines

et il n'y aura rien de changé aux autres systèmes circulaires. On^ aura toujours D|^.| = i -h i ; pour avoir R/+i, remarquons qu'au lieu d'un système circulaire de p racines on a deux systèmes circulaires de (A — i) racines et de (/? -h i — h) racines. Donc

R/-HI— R|= ^ — 2-F/? — /i —(/? — 1) = — I, Divi— Ri+i = D/— R/-4- 1.

4° Les deux racines que le lacet («y+i) réunit appartiennent à deux systèmes circulaires différents autour du point b. Par exemple, le lacet (^i+i) unit u^ et Uh et le lacet {b) permute les racines (m,, . . ., Up)^ {uhj wa+i, • • -, Uh+q)-

Le chemin ZomnzQ permute alors les racines dans l'ordre

A la limite on aura

Dn-i = i -hi, Rx>i — ï{i = p-hq — (/? — i) — ^ =1,

Di+i — R/4-1 = D/ — R/-

En définitive, quand on change t en i -{- i , le nombre D/ — R,