FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'UNE VARIABLE
e change pas, OU a ugmenle de deux unités. Comme D< — R|=ro, n en déduit la proposition énoncée.
A^ppliquons celte relation à tous les points de ramification d'une iirlace de Riemann ; le nombre SD/ est égal au nombre des points e ramification simples de la surface primitive, c'est-à-dire à »(/?! — i), qui est un nombre pair. On en conclut que la somme (/• — i), étendue à tous les points de ramification d'une surface e Hiemann, est un nombre pair, r désignant le nombre des feuilîts qui appartiennent à un même cycle.
CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN, PÉRIODICITÉ DES INTÉGRALES ABELIENNES.
CoDneiioa des surficM en gcnéral. — Ordre Je connexion d'une surface qu^ conque; d'une surface fermée; d'une surface de Biemann. — Généra lia» lion la relation d'Enler pour les polyèdres. — Coupures sur une surface de Riemac^ — Exemples. — Équations binômes, — Surfaces de Riemann régulières, — I tégraksabnlLennes. — Propriété» générales. — Périodes. — Classification (■) —
102. On a vu au Chapitre III commenl une surface de Ri» niann à ileiii feuillets pouvait éire Iransformée en une surface si plement counese, par un système convenable de coupures : il est de même des surfaces à un nombre quelconque de fetiillctf mais les considérations intuitives dont on s'est servi pour le c; particulier déjà traité deviennent plus difficiles à saisir pourle Ci général. Aussi nous allons reprendre la théorie de la des surfaces à un point de vue toul à fait général.
Rappelons qu'une surface est dite connexe lorsqu'il est possîbl ^^*^ de réunir deux points quelconques de cette surface par un trai continu situé tout entier sur la surface. Si l'on a aifaire à une sui face fermée, ou n'ayant pas de bords, comme une sphère, une surface de Ricmann, on commence par luidonnerunecourb limite en pratiquant une petite fente dans cette surface ou en «ni
ilun pel
morceau de celle surface. Les coupures dont il s ici sont considérées comme de véritables traits de ciseaux, par:^ tant d'un bord et s'arrétant dès qu'on rencontre un nouveau bord quand on trace plusieurs coupures successivement, les coupures o*
(■) Auteurs à consulter : ItteuANN, Inaugiiraldùserlalion, Théorie dtr-"^ Abel'aehen Furictionen ; — Nrdminn, Vorlasurtgen ùber HUnnann't Théorie, eu. — E. PiGAnn, Traité d'Analyan, t. II, Chap. XIII et XrV ; — Simart, Thèse ddoctorat; — Jordar, fiecherchet tur l<i polyèdret {Compte* rendiii, 1. LX LXII: - Journal de CretU. I. LXVE-LXVIII) ; - Note tur la déformation dr^ surfaces (Journal de Mathemcili'jiiKS, i' série, t. XI ).
ponîons de coupure déjà tracées doivent être regardées comme de nouveaux bords, de sorte qu'une coupure ne peut pas se traverser, mais peut s'arrêter en un point de son trajet.
^ous prendrons pour définition de la surface simplement conncjcc la propriété suivante : une surface connexe est dite simplement connexe lorsqu'il est impossible de tracer une coupure sur cette surface sans la morceler, c'est-à-dire sans la décomposer en demc morceaux n'ayant plus de connexion entre eux. Dans le cas contraire, elle est plusieurs fois connexe, ou à connexion mul-
sphère, le plan indéfini, la surface d'un cercle ou d'un rectangle sont simplement connexes. Au contraire, une surface plane à plusieurs contours, le tore, une surface de Riemann a deux feuillets et plus de deux points de ramification, etc., sont à connexion multiple. Par exemple, dans la surface ABCD ^fig^ 72)
Fig. 73.
^** peut tracer les trois coupures a^, yo, t'r\ sans morceler la sur- *^ce ; une nouvelle coupure la morcellerait. Prenons la surface du ^Ore {Jig. 73); une coupure telle que omnpo^ tracée suivant un
Fig. 73.
*^éridien, la transforme en une sorte de cylindre recourbé, et une
^^uvelle coupure telle que oMo' transforme la surface en une sur-
*^^ce à connexion simple oMo'o', M, o, . Invcrsemcnï, en réunissant
les côtés opposés d'un rectangle, on obtient une surface ferm analogue à la surface du tore.
103. La définition précise de l'ordre de connexion d'une sii face repose sur les propositions suivantes :
I. Une surface simplement connexe S est décomposée pc une coupure en deux morceaux simplement connexes (*).
Supposons d'abord que la coupure ab joigne deux points de limite totale de S. Prenons sur les deux bords de la coupure dcL points infiniment voisins m, m' \ il est clair que tout point de peut être réuni à Tun des deux points m ou m' par un trait coc tinu situé sur S, sans franchir la coupure ab. On a donc décoir posé la surface S en deux portions connexes séparément S', S"' e
Fi g. 7i.
par hypothèse, il iiy a pas de connexion entre S' et S". 11 s'ag de faire voir que chacune de ces surfaces S' et S'^ est sirapleraei connexe. En effet, si S', par exemple, n'était pas simplement cor nexe, on pourrait, sans la morceler, tracer dans S' une coupur Soit cd cette coupure, telle que l'indique la première figure gauche.
Cette coupure cd ne morcelant pas S', tout point de S' pei être joint par un trait continu au point m sans franchir la coupui cd. Si maintenant on supprime la coupure primitive a&, tout poii de S" pourra également être joint au point m sans franchirez/. C pourrait donc^ contrairement à l'hypothèse, tracer sur S une coi pure crfne morcelant pas la surface. On raisonnerait d'une façc analogue dans tous les cas, suivant la disposition de la coupures
( ' ) KiEMANN, Cesammelte H'erke, p. g.
ft ToD arriverail toujours à obleDÎr une coupure ne luorcelanl pas I S; telle serait cT.db pour la a' figure, ac\db pour la 3", bcdef ■ pour la \'.
Si la coupure ab, au lieu de réuoir dens points de la limile loile de S, se lermÏDait en un point de son parcours, comme l'in- ■■quc lu figure ci-dessous {Jlg- -à), les deiii points m, m', iiifi-
Fig. :5.
*na«nl voisins sur les bords opposas de la coupure, seraient dis- F***sés ainsi ((ue le montre le dessin. Nous laisserons au lecteur le soin d'achever le raisonnement, qui est identique à celui de tout * l'heure.
Corotlnirc. — Ltanl données )3. surfaces simplement connexes,
l'on trace, dans ce système de surfaces, v coupures successive-
"nt, on obtient ix-i-v morceaux simplement connexes. Chaque
Souyelle coupure a pour effet de décomposer un morceau en deux.
H. SoU S un système quelconque de surfaces; si, au moyen - V coupures successives, on décompose ce système en a mor- ^•^ux simplement connexes, la dijférence v — a esï un nombre °natan l pour ce système de sur/aces (' ) ,
Supposons qu'en procédant d'une façon différente on ait, au ^Ojen de v' coupures successives, obtenu a.' morceaux simplement •Connexes; il s'agit de montrer que l'on a v — a =^ v' — a'.
Soient q une coupure du premier système, q' une coupure du ^^Cond système. Il est toujours permis de supposer que les cou-
R'>*l"€S q et q' ne se rencontrent pas sur les courbes limites, et que -s points de croisement des coupures q n'appartiennent pas aux **upures q' et inversement; s'il n'en était pas ainsi, il suflirait de ^■^placer infîniment peu quelques-unes des coupures, ce qui ne '^**ange évidemment pas les nombres v, 3, v', a'. Imaginons alors
(') RieiuMN, loe. cit..
que, dans le système de surfaces S, on ait tracé à la fois les coupi q et y'; et soit A le nombre de morceaux ainsi obtenus. On j compter ce nombre de deux façons différentes; d'abord, on j supposer qu'on ait tracé les coupures q les premières et qi trace ensuite, dans les a morceaux simplement connexes ainsi tenus, les coupures y'. Chacune de ces coupures ^r' devra comj pour/? -h I coupures distinctes,/? désignant le nombre de fois cette coupure q^ traverse une coupure q. Si donc on appelle 1 nombre des points de rencontre des coupures q avec les coupi q\ le nombre total des morceaux sera A = a -|- v' -h P. En c rant dans Tordre inverse, on trouverait de même A = a' -4- v -f
On a donc
c'est-à-dire
Ainsi, pour décomposer une surface en cent morceaux simj ment connexes, il faut toujours le même nombre de coupu de quelque façon qu'on opère.
104. Cela posé, considérons en particulier une surface c nexe S, et supposons que cette surface puisse être décomposée portions simplement connexes au moyen d'un nombre fini dec pures (* ). Si V coupures successives donnent a morceaux simj ment connexes, la différence v — a est, d'après ce qu'on vient voir, un nombre parfaitement déterminé pour cette surface.
nombre
est appelé Y ordre de connexion de cette surface. Pour une s face simplement connexe, on peut prendre v = o, a =1, et l'o N = I, comme il est naturel. (On voit pourquoi nous avons \ V — a + 2, et non pas v — a, pour mesurer l'ordre de connexio Un cylindre ouvert aux deux bouts est transformé en une s face simplement connexe par une coupure tracée le long d'i génératrice. On a ici v = a = i ; ce cylindre est donc une surf doublement connexe. Pour transformer le tore en une surface si
C) Nous excluons par là même les surfaces qui ne pourraient étredécompo en portions simplement connexes par un nombre fini de coupures.
plemenl connexe, il faut deux coupures; le lore esl donc unesur- /âoe Iriplemenl connese. En général, une aire plane il n contours eut une surface connexe d'ordre n.
•Soit S une sur/ace ^ /ois connexe (N> i); si l'on trace dans r^ne coupure q ne movcelant pas cette surface, on obtient une ^~^aceS', qui est (N — i)/ois connexe.
Soil N' l'ordre de connexion de S'; "«mposcnl S' en a morceaux simplen:
«oinmc on » passe de S à S' en traçani
ï-sï
V coupures successrvcs t connexes, on aura
r smle.
On conclut de là que toute sur/ace, S qui est N /ois connexe, *^«</ élre Irans/ormée en une sur/ace simplement connexe nu r^^^'iyen deîi — i coupures.
Puisque S est N fois connexe {N > i ), on peut tracer une cou- \>ïire sans la morceler, et l'on a une surface S' qui est N — i fois »;onneie;sîNestpiusgrandquea, on pourra tracer dans S' une nou- ^^L "*Wle coupure et l'on obtiendra une surface S" qui sera (N — a) fols ^^^ Connexe, et ainsi de suite. Au bout de N — i opérations, on arrivera ^^H à une surface dont l'ordre de coniiexion sera N — (N — 1)=:|, ^^H c'est-à-dire à une surface simplement connexe. ^^H Le même raisonnement prouve que, sur une surface N foiscon- ^^H nese, on ne peut tracer plus de N — i coupures sans la morceler. ^H L'ordre de connexion d'une surface est donc égal au nombre maxi- ^H innm de coupures que l'on peut tracer sur cette surface sans la ^P morceler, augmenté d'une unité.
I lOo. Appliquons ceci aux surfaces fermées. Le type des sur-
' faces fermées simplement connexes est la sphi-re ; après la sphère.
la surface fermée la plus simple esl le tore, qui est triplement connexe. Mais il n'existe pas de surface fermée doublement connexe, et, d'une manière générale : L'ordre de connexion d'une sur/ace /ermée est un nombre impair.
On s'appuie, pour démonlrer ce théorème, sur les remarqi
suivantes :
