I. La limite totale d'une surface simplement connexe se

compose d'une seule courbe ( ' ).

Il faut entendre par cet énoncé que cette limite totale p< être décrite d'un seul Irait continu. Supposons qu'on ait de courbes limites distinctes C, C, et soit ab une coupure alh d'un point de C à un point de G. Cette coupure ne morce pas la surface; pour le prouver, il suffit évidemment de fai voir qu'on peut réunir deux points infiniment voisins /w, m', p sur les deux bords opposés de ab, par un trait continu, sa franchir cette coupure. En effet, soient n et n' deux points infir: ment voisins de C de part et d'autre du point b (/ig- 76).

Fig. 76.

On peut aller de m en n et de n' en m' en longeant la coupu D'autre part, la courbe limite (7 n'ajant qu'un point commu avec la coupure, il est clair qu'on peut joindre les deux points et n^ par un trait continu restant toujours infiniment voisin de et ne traversant pas ab. Il existerait donc, contrairement à l'L pothèse, une coupure ne morcelant pas la surface.

II. Si dans un système de surfaces S on trace une coupur le nombre des courbes limites augmente ou diminue d'u unité.

Il suffit d'examiner tous les cas qui peuvent se présenter qu'on a figurés ci-dessous en donnant aux coupures a6, abcd d

(*) Cette propriété est évidente, si l'on défînit une surface simplement conaex:^» comme au n»51. Pour l'identité des deux définitions, on pourra consolter U Note de M. Jordan Sur la déformation des sur/aces {Journal de Mathématiques^ •2* série, t. XI).

XION DES EDHFACCS DE flIEUANN. l'^g

Tirs finies pour (]u'op voie leurs deux bords {Jlg- 7j). Si 1^ coupure réunit deuit courbes limites différentes A et lî Ç^^^'jÇ. ^^, i), ces deux courbes liuiiies sont remplacées par une SCT «jale qu'on peut parcourir dans le sens marqué par les flèches. Au coKilraîre, si la coupure joint deux points d'une même courbe LÎKnile (a) ou se termine en un point de son parcours (3), le »anbredes courbes limites est augmenté d'une unité. Dans tous mbre change de parité.

Fig- 77-

Cela posé, soit S une surface fermée N fois connexe. La limite >t-ale se compose d'une seule courbe infiniment petite, et la

rface se transforme en une surface simplement connexe au

oyen de N — i coupures. Comme, à chaque coupure, le nombre ;«îs courbes limites change de parité, et que toute surface simple-

ont connexe a une seule courbe limite, on voit que N — i doit .«■« pair. Plus généralement, l'ordre de connexion d'une surface ■ le nombre des courbes limites sont de même parité.