Soit
urdre de connexion d'une surface fermée; le nombre entier y^i si appelé le genre de la surface. La sphère est de genre zéro, : lore de genre un. Le type des surfaces fermées de genre p est la [>hère solide avec p trous, ou le système de p anneaux soudés l'un l'autre, formant une chaîne non fermée. Pour transformer une •wille surface en une surface simplement connexe, il faut un •Jslèmr de 2/3 coupures. Par exemple, on peut tracer ces a/» coupurej de façon que/> d'entre elles tournent autourd'un trou, les/i •nircs passant à travers un ou deux trous. Tout ceci est à rap- Çfoclier du début du Chapitre III; les surfaces qui y sont étudiées
ne sont au fond que des surfaces du genre/?. Les considéralioi qui y sont employées prouvent directement que la surface c Ricmann à deux feuillets et à 2/> + ^ points de ramification e de genre p ; résultat que nous vérifierons tout à l'heure.
107. Soit S une surface connexe; isolons un point sur cet surface par une courbe infiniment petite C et supposons enle le morceau intérieur; on obtient ainsi une nouvelle surface i dont V ordre de connexion est supérieur d^une unité à cei
deS{/ig.'jS).
Fig. 78.
ie
:Sl
^le
Il est évident d'abord que la surface S' sera encore connexe. Jo: gnons un point 6 de C à un point a d'une courbe limite A de S p une coupure abj ne morcelant pas S' (n® 102), et soit S"' la nou vclle surface ainsi obtenue. Les ordres de connexion des troi surfaces S, S', S'' sont respectivement N, N', N^. Imaginons qu V coupures successives q tracées dans S" la décomposent en morceaux simplement connexes; on aura d'abord
Comme on passe de S' à S'' en traçant dans S' une seule coupure ab^ on aura aussi
D'un autre côté, si l'on trace dans S la coupure abcb, on la décompose en deux, le morceau simplement connexe intérieur à la courbe C et la surface S"; si l'on trace ensuite dans S*^ les v coupures q, on obtient a morceaux simplement connexes. On a
donc
CONNEXION DES SURFACES DE RIBUANN. l3l
D'une manière générale, quand on enlève n morceaux simplee;nl connenes d'une surface connexe, l'ordre de connexion aiig- ^nte de n unités.
Jlemarque. — Quand on applique ce théorème aux surfaces K-inées, on doit supposer qu'on a d^jà donné une limite à la sur-
■408. On déduit aisémenl de celte remarque une fçénéralisalion d*^ la relation, due à Euler, qui lie le nombre des faces, le nombre «1^ s sommets et le nombre des arêtes d'un polyèdre.
Soit T une surface fermée connexe, de genre p\ imaginons
«l*-«. 'on ait décomposé cette surface en F portions simplement con-
■^^^es par un système de coupures. On aura sur celte surface une
e^ jaècede réseau polygonal ayant F faces, S sommets, A arêtes. Si
MBB*<=»n entoure cbaque sommet du réseau d'une petite courbe et
^^M«i 'on enlève le morceau intérieur, on aura une surface
^^FT"' dont l'ordre de connexion sera, d'après ce qui précède,
*^^x-une des petites courbes doit CLre regardée comme formant lu '>-*nile de T. Si Ton trace ensuite dans T' des coupures suivant
'es A arêtes, on trouve F morceaux simplement connexes. On ti
«Jonc
<*u bien
A-F-S = ip -1 P).
Si/)=o, on retrouve la formule d'Eulcr. Si /> ~ i , il reste
A.z=F4-S; comme vénfication, reprenons le tore et ses deux Coupures, on a
La formule précédente est souvent utile pour Irou' d'une surface fermée.
D genre
. Nous allons appliquer cotlo tlicorie générale aux surfaces
i') LnniLiBfl, Annales de Ctrgonne, t. III.
de Kiemann. Le premier problème que Ton ait à résoudre est le suivant : Etant donnée une surface de Riemann connexe T, composée de m feuillets, dont on connaît les points de ramification, trouver le genre de cette surface.
Il suffit de procéder comme pour établir la formule d'Euler généralisée. Supposons la surface T composée de m feuillets été dus sur la sphère et soient ai , . . . , à^ les q points de la sphère se projettent les points de ramification. Au point a/, pac exerapl •— sont superposés ni points de ramification dont quelques-uns pe vent être d'ordre zéro. Prenons un point O de la sphère au-dess^» duquel passent m feuillets distincts; isolons chacun des m poin^ qui se projettent en O par une courbe infiniment petite, et enl J vous les portions de la surface intérieures à ces courbes. OpéroHc de même avec tous les points de la surface qui se projettent ai^
points ai, «2^ •••» «y> et soit T' la surface ainsi obtenue, nombre des morceaux enlevés est m -h /i| -|- . . . -|- /7^; comme ur:» des petites courbes doit servir de limite totale à T, Tordre d connexion de T' sera, en appelant ip -h i celui de T,
N'= 2/?-+- mn- /ii-+- /ij-h. . .-+- Hq.
Pour fixer les idées, supposons les lignes de passage de T tracées suivant des lignes allant du point O aux points a\, «27 • --i aq. Si, sur chacun des feuillets de T', on trace les q coupures allant de O aux points a<, ..., «^, on a, au moyen de ces mq coupures, décomposé T' en m morceaux simplement connexes. Par suite, on a
AN' = ip -\- m -\- n^-\-. . .-k- riq = mq — m -4-2
OKNBXION DES
-H, esl égal à la somme des ordres des points de ramiCcal/on (]uï sont superposés aii point «,-, ^[ni ~ «,•) représente donc /a somme T{r — i) des ordres de tous les poinis de ramification cl^ la surface; il vient donc, en définitive,
ci : Étant
'i moyen de
Telle est la formule fondamentale due à Riemann { ' ), On voit »»« la somme S(r — i) est toujours un nombre pair (n° iOI). exempte, — Pour une surface à deux feuillets, ayant a/>+ a |:»«z>înis de ramification, la formule précédente montre que le geï nre sera égal à/»; ce qui est bien d'accord avec le Chapitre 111.
^Ê MO. Le second problème à résoudre est celui
^K^*z*jinée une sur/ace de Riemann. tle genre p, i
^^BP^^fe surface en une surface simplement cnnnexe a
^^■^ f» coupures.
^F On peut employer pour cet objet plusieurs systèmes de cou-
^r yures. Nous adopterons un système dont s'est servi Riemann (').
^B Kemarquons d'abord les propriétés suivantes :
r Toute surface dont la Jimite totale peut ?tre décrite d'un seul trait continu est connexe. En effet, si l'on prend d'abord <leui points quelconques infiniment voisins de la limite, on peut passer de l'un à l'autre par un trait continu infiniment voisin de luette limite. Si l'on u ensuite deux points quelconques de la sur- [ face, il est clair qu'on peut réunir chacun d'eux à un point infi-
^^L niinent rapproché de la courbe limite.
^^1 i' Étant donnée une surface à connexion multiple limitée par
^^^ »ni' seule courbe, on peut tracer dans cette surface une coupure ^^H l^^ruiinée en un point de son parcours et ne morcelant pas la sur-
face. Par hypothèse, on peut tracer une coupure ne morcelant la surface. Cette coupure part d^un point a de la limite; supp sons qu'elle se termine en un autre point b de la limite. Marquo sur cette coupure deux points a', 6', infiniment voisins despoi a et 6, et réunissons-les par un trait continu alV infinime voisin de ab {fig» 8o); si Ton supprime la coupure ôô' et qu'
Fig. 8o.
trace une coupure a! b'y on a la coupure ao! cV d qui est termin à un point de son parcours et qui ne morcelle pas la surface.
Cela posé, considérons une surface de Riemann 2/? + i fo connexe (/? > o) ^ip^\ \ soit A une courbe infiniment petite serva de limite à cette surface. Soit, de plus, a\ une coupure ne more lant pas cette surface; on peut supposer que les deux extrémités cette coupure sont sur la courbe limite A. En effet, si cette co pure se terminait en un point b de son parcours, on pourrac:^^ prendre pour courbe limite de Tj^+i une petite courbe entour
Fig. 8i.
le point 6, et supprimer la portion de coupure comprise entre et 6, ainsi que la courbe limite A. La nouvelle surface T2/>, aîns obtenue, est ip fois connexe; on peut donc réunir deux point infiniment voisins, pris de part et d'autre de ai, par un trait con tinu. Traçons une coupure b^ le long de ce trait continu; la sur face obtenue Ta;,.! est encore connexe, car sa limite, comme montre \^ fig» 8i, peut être parcourue d'un seul trait continu.
as
r.oynEWay r.E3 surfaces de BiEsr^NN. a35
5î/)>-i, Ta,,i sera encore plusieurs fois conneie, el l'on 3 tracer une nouvelle coupure, parlant d'un point de b, et un point de son parcours, ne inorcelRQl pas la surf»<z:e. Soient c^aj celle coupure, el T^^.a la nouvelle siirrace, qui es t. encore à connexion mullipic, ainsi obtenue. On pourra ensuite Jo i Hidre deux points infiniment voisins, de pari et d'aulre de a^, f»Œ»K* une nouvelle coupure b^, et la nouvelle surface T^p.j sera «=<=» »^nexe, car sa limite totale pourra êlre parcourue d'un seul trait
Si /) ^ 2, Tap s sera simplement connexe. Si /) >■ y, on con- ■■■«iuera de la même façon. Au bout de p opérations, on aura •■■"ansformé T en une surface simplement connese T' au moyen "^ ^systèmes de deui coupures {«.„ ^v), (> ^= 'i a, . . ,, ^), réunies F*»f des coupures Cï(v= 1, a, . . - , /^ ^ 1}. Remarquons que les •Coupures c^ et a,+( (sur la figure c, et a.j) ne forment en réa-
■ » t.^ qu'une seule coupure se terminant en un point de son partirs.
D'après la façon dont on a opéré, on voit que les coupures soni
V>solument disposées comme celles qui nous onl servi dans le cas **'uiie surface à deux feiiillels. La seule différence entre les deux <^as, c'est que les coupures Cv employées ici joignent une coulai» re by à une coupure Ov+i- Mais ceci importe peu; on a déjà
■ ■a i t remarquer, en effet, que l'on peut, par une déformation con- *■■ r» ue, déplacer l'extrémité de la coupure c, de façon à l'amener en *■ «» |>oinl de 6,^.^ . On verra d'ailleurs que ces coupures c-, ne jouent *l**'uD râle tout à fait auxiliaire. Relativement aux bords positifs ^*- négatifs des coupures Oy et b-,, on peut choisir arbitrairement le **<^rii posilif d'une coupure «„, et le bord positif de /jv^sI alors dé-
fini par la convention du Chapitre III. Par exemple, si la c pure «vj vue en projection sur le plan des z, a la forme d' courbe fermée, ne se coupant pas elle-même, on prendra p bord positif le bord extérieur.
m. Appliquons ces considérations générales à quelqi exemples.
Exemple 1, — La surface de Kiemann correspondant à relation
se compose de quatre feuillets; les points 5 = a et 5 = y sont d^'points de ramification d'ordre 3 ; au point z= ^ sont superpos^^ deux points de ramification simples, enfin le point à Finfini n'e5^ pas un point de ramification. La surface est donc du premier genre, d'après la formule générale. Nous supposerons les lignes de passage tracées suivant des lignes droites indéfinies issues des points a, (î, Y : soient «j, Wa, W3, //4 les quatre valeurs de «/, rangées par ordre d'argument croissant, qui correspondent à une valeur de z différente de a, p, y? et P|, Pa? P3» P4 les feuillets correspondants de la surface de Riemann. Les lacets (a) et (y) unissent les racines Mj et W2, U2 et W3, u^ et M4, u^ et W|. Les lignes de passage issues des points a et y unissent donc les feuillets Pj et Pa, Pa et P3, P3 et P4, P4 et Pj . Au contraire, il y a deux lignes de passage distinctes issues de p; l'une d'elles unit les feuillets P« et P3, l'autre les feuillets Pa et P4. hoifig. 83 montre
Fig. 83.
