CL
les deux coupures a et fc; on a adopté un trait différent pour chaque feuillet, comme il est indiqué à côté de la figure.
£xemple II.
irface Je Rietiiaiu
ispondant à IV-
a Cjuatre feuillets et six points de ramification; les pninls a et-^ si> rti des poinls de ramification d'ordre 3 ; aux points p et oo, on a deux points de ramification simples superposés. Le genre de la surface est donc égal à -i. iSuus supposerons toujours les lignes de passage tracées suivant des lignes droites allant des points a, p, y point à rinlini. Adoptons les mêmes conventions que dons exemple précédent. Quand ou tourne dans le sens direct autour HU point a, on rencontre les feuillets dans l'ordre P,, l'a, Pj, P, ;
i rencontri'
'/uaocd on tourne dans le sens direct autour de dans l'ordre P,, P,, P,, Pj. Du point p partent deux lignes de pas- "ge »jnissanl P, et P,. Pj et P,. Sur \iijig. 84 on a tracé les coupures a,,è,,c,,«s, f>i- ^^Kempte III. — La surface de Ricmaon correspondant ù la
KUt.i«i,
1,'ï Cette équalinn n servi de point Je diipart nui recherches de M. Picard SiT Ift fonetiona de deux uarîablei indépendanlei analogu^a aux /oncliom inoiutaireM {Acla mathematka, t. II. p. ni )-
a Irois feuillets et cinq points de ramiUcatioa du deuxième ordm a, ^, y, ô, ce : le genre est donc égal à 3. Quand on lonrne d^ le sens direct autour des points a, ^, -^i Ô, on rencontre toujot les feuillets dans Je même ordre P|, Pj, Pj. Sur ta fig. 85 on:
FiR. 85.
supposé les lignes de passage allant des points m, ^,y, 8 k l'infîni ; on a tracé les coupures a,,b,,c,,a2, ^i, Cg, a^, b^ en figurant par un trait continu, par des points ou des points-traits, les lignes tracées dans les feuillets i, 3, 3.
lia. Proposons-nous encore, comme application, d'étudier le genre d'une équation binôme
R(s) désignant une fonction rationnelle. Si, pour une valeur
ONNEXIOS DES SURFACES DE KIENANN. aîg
ï infinie de z, R(s) a une valeur finie diiréreDte de zéro, .«;^ m valeurs du radical ^/R(7) restent des fondions uniformes j^ ^ dans le domaine de oc point. 11 en esl de même si, dans le îoxïiaine d'un point z^= f( à distance finie, on a
'■'Bi<--).
'/ t;lanL un nombre entier positif ou nf^gatif, et R) (r) une fonction r-at-iounelle qui prend une valeur finie et différente de zéro pour
On obtiendra donc les points de ramification de la surface de
l^iemann, correspondant à la relation binôme (t), en chercliant
les pâles ou les zéros de la fonction rationnelle It(3) dont l'ordre
de multiplicité n'est pas un multiple de ni. Soit a un de ces points,
^Un zéro par exemple, et n son degré de multiplicité. Dans le do-
^BkaÎDe du point 5^=^ a, les m valeurs de u sont représentées par
^P mm
7ia-«)"f',c-i.
I ' i(3J désignant une fonction u l « = « ei le radical )/{z ~
liforme dans le domaine du point
' devant être pris avec ses m déter-
I iniiiatloiis. Lorsque l'argument de z ^ a augmente de ait, l'argu-
ment de u augmente de • Supposons — réduit â sa plus simple
expression -; uprés /- tours de la variable z autour du point a, r rargumeni de u a augmenté de ans el, par conséquent, u revient h sa valeur initiale. On a donc, en supposant m ^= ra., * cvcles ^âe r feuillets ayant leurs sommets au point z = a.
Soient at, a^, . ■ ., n^ les différents points de ramification, et r, , fi, . - .,rq les nombres entiers qui jouent le même rôle que le lombre r; le point a,- est le sommet «le n,- cycles de r,- feuillets.
rq font partie des diviseurs de r,
CIIAPITRB V.
périeurs à Tunilé et ne sont pas iorcément inégaux. La foriauVe générale de RIemann nous donne alors
ou
mlq
Les surfaces de Riemann, qui correspondent à une équation nome, sont des surfaces régulières. On appelle ainsi les s faces de Riemann telles qu^en chacun des points de ramificatî les m feuillets de la surface se partagent en un certain nombre cycles composés d'un même nombre de feuillets. Soient a< «2» • • • j (^q les points de ramification ; si au point ai les m feuilleta se partagent en a/ cycles de r, feuillets (m = a/r/), le genre de la surface est encore donné par la formule précédente.
La détermination de toutes les surfaces régulières d'un genre donné dépend donc en premier lieu de la recherche des solutions en nombres entiers et positifs de Péquation (a), Ti, . . ., r^ étant des diviseurs de m supérieurs à Tunité. On peut encore écrire cette équation
m(y — 2) — (ai-h.. . -r a^) = 2/? — -2,
aj, a2, . . , ,0Lq étant des diviseurs de m, inférieurs à m.
Examinons les cas les plus simples. Si ^ = o, Téquation (a) donne
et, comme — est au plus égal à - > on en conclut que Ton a
q — 2< ^ ou q <l
Si ^ = 2, Téquation (2) devient
CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. l\l
ce qui exige que Ton ait /w = r, = r^- En prenant q zz^i, on doit
avoir
^1 rt /'a
é(}uation qui n'admet qu'un nombre fini de solutions en nombres entiers et positifs. Toutes les solutions de l'équation (2) sont, dans ce cas, renfermées dans le tableau ci-dessous :
m = 2/1, ri—iy rt='?-, /':)=«;
/) = o{ ) m = 12, /'i = 2, ri—3y ri- 3;
•i ^ = I, l'équation (2) devient
comme — est au plus égal à -> on doit avoir
q 'L'i -\- -i-y ou <y-4
Si y ^r: 4? on a forcément r/=:^ 2. Si 7 ;r= 3, l'équation devient
''i rt /'s
et n*admet encore qu'un nombre fini de solutions, qui sont fournies par le tableau ci-dessous :
^ = 4, ri= ri= r.i — r, = 2 ;
In =3, /•2=3, /•3=3; ri = 2, rj=4, ^1=4; /•, = 2, /•2=3, r5=6.
Enfin, si l'on suppose p supérieur à un, l'équation (2) n'admet <'ncore qu'un nombre limité de solutions en nombres entiers et A. ET G. 16
positifs, répondant à la question. En effet, on a \]~ ^ ? < suite,
m ou
Comme m est au moins égal à 2, on en conclut que q s à l'inégalité
y — 4 = 2/? — a ou
l'égalité n'ayant lieu que si tous les nombres m et r/ sont à 2. Il y a donc une limite pour q. En second lieu, pour i leur donnée de <jr, il y a une limite pour m et, par suite 7^1 , Ta, ... , rq. Ceci est évident, d'après l'inégalité (3), si q périeur à 4« H ne peut y avoir de difficulté que si gr = 3 ou
Si 7 = 3, la somme 1 1 devant être inférieure à 1
on s'assure aisément que cette somme est au plus égale à qui a lieu pour /< = 2, / 2 = 3, Ta = 7. On a, par suite,
m%^i{ip — 2).
De même, si 7 = 4^ la somme 1 1 ! , devai
^ /•, rj Ta r\
inférieure à 2, est au plus égale à ^ et Ton a, par suite,
On a d'ailleurs une limite inférieure de m en remarqua \^ — est au moins égal à — et l'on a, par suite,
2/? — 2 -+- 7 Voici le tableau des solutions de l'équation (2) lorsque
tjous rappelons que r/ doit être un diviseur de m supérieur à
y 'fini té.
m = 5 n = Tj = /'a = 5 ;
wi = 1 8 r
= r, = Ta = 4 ;
= r, = 3, Ta = 9;
= 2, r, = 5, Ta = 10;
= 2, rî = 4, Ta =12;
= 2, ri = 6, ra = 6;
= 3, r, = Ta — 4 ;
= rj = 3, Ta = 5;
— 2, r, = 3, Ta = 18;
= 2, r, = 5, ra - 5 ;
= 2, r, = 3, Ta -^12;
= 2, r, = 4, rs^6;
= /•, = 3, Ta = 4;
r, = 3, rj=r 3, r, :rr 4, r, = 3, r, = 3,
Ta = 9 ra-5
Ta = 8
= r, =r Ta = r^ = 3 ; -^ r, = 2, Ta = r^ =r 4 ; ^ r, = 2, /'a = r^ = 3 ; = r, r^ra^2, r,,^-Ç>\ z= rj = ra = 2, r^ = 4 ; = rj = Ta = 2, r4 = 3.
= Tj — . . . = rg = 2 ;
= Tj ^^ . . . — Tç = 2.
Connaissant une solution de l'équation (2), la détermination
^ ^Oe surface de Riemann ayant la ramification demandée est un
Problème de combinaisons qu'on peut toujours résoudre par un
*^otnbre fini d'essais. Cette surface une fois déterminée, il rcste-
^U encore à examiner si elle correspond à une relation algé-
brique, question générale que nous n'aborderons pas ici (* ). N oiis allons montrer simplement comment on peut obtenir les équat£ ^> ^^ binômes qui correspondent à une solution de l'équation (2^ <^ nombres entiers et positifs. Soit
une équation binôme irréductible ; le nombre mi peut toujour mettre sous la forme m/ ^ mti -\- rti^ ti désignant un nombre tier positif ou négatif, et /i/ un nombre entier satisfaisant inégalités o^/i,<;/w. L'équation binôme proposée peut a s'écrire
Ri(;5) désignant une fonction rationnelle de ^et/ii, ..., /i, nombres entiers positifs inférieurs à m. Les nombres m, /i|, .^ tis sont en outre premiers entre eux, sans quoi la relation ne -ferait pas irréductible. Il est clair que la fonction u définie par I^^^" quation (5) est ramifiée comme la fonction U définie par l'équaU:^^ ^°
(6) \}fn = iz — axY^{z — atY*,,,(z —a,)»*.
re
Supposons connues les valeurs de y, Tj, r2, . . ., r^. Le nom s est égal à ^ — i ou à ^, suivant que le point à l'infini est ou un point de ramification. Quant au nombre m, il est toujours é^^^ au plus petit multiple commun M des nombres r^^ r^^ . . ., r^.
effet, le rapport — réduit à sa plus simple expression doit être ^^
la forme — 1 ce qui exige que m soit divisible par ri. On a dc^^^ ^ m = MQ, et, par suite,
ou Hi = (^ri — ;
MQ n ' ^ ' n
tons les nombres n/ sont donc divisibles par Q, et, par conséquent, on a Q = i : autrement la relation ( 5 ) ne serait pas irréductible.
Cette remarque permet d'éliminer un certain nombre des solutions trouvées pour l'équation (2), auxquelles ne correspondent
(') Riemann a démontré qu'à toute surface connexe à plusieurs feuillets correspond une fonction algébrique. (Picard, Traité d'Analyse, t. II.)
Inéquations binômes. Nous voyons de plus que, lorsque I, les valeurs de m sont respectivement m = 2, 3, 4> 6. En bornant au cas de /? = o et de /? = i , nous n'avons donc en :]ue six cas à examiner :
m ri --
rty
ri 2, r, 2, Tj 71 (/i impair);
r, ^ r, r:r Ta = r^ = 2 ;
^1 ~" 2, Tj — 3, Ta — ().
discussion n'offre aucune difficulté et toutes les relations biîs de genre o ou i sont fournies parle Tableau suivant :
[R,(z)]"«(-3-a,)«(5 — a,) [Hi(z)]^(z — ai)n;
[R [R [R [R fR [R [R [R [R [R [R [R [R [R [R [R [R [R [R [R
— ai)(^ — aj)(2 — aj)(a — a»);
— at){2 — a,){s - aj);
— a,)»(a — aj)«;
— a, )'(•«— «i)(2 — as);
— a,)'(2 — ai);
— a,)Mi — a,)»(^ — as)»;
— ai)»(5 — a,)>;
— aj)'(^-aj)';
— a,)(z-a,)»(5 — aj)»;
— ai)(j? — a,)«;
— a, )(i — aj)»;
— ai)'(3 — a,)»(s — a,)5;
— a,)»(3 — aj)5;
— aj)*(3 — aj)«.
I peut remarquer que ces équations se déduisent de quelques-
a46 CHAPITRB V. s ,-p.;
unes d'entre elles par des transformations simples. Ainsi, en effectuant sur 3 une substitution linéaire, on peut ramener \es trois dernières équations à la relation (XIX), les équation^ (XVI), (XVII) et (XVIII) à la relation (XV), (Xlli) et (XXV^ à (XII), (X)et (XI) à (IX), (VIII) à (VII), (VI) à(V), Cï^^l à (III), (II) à (I). On peut déduire de même (VU) de ( ^VY
(XII) de (IX), (XIX) de (XV) en changeant uen-. Enfin» , «^
Ton remplace u par wRi(^), on voit que toutes les équation» ^^' nomes de genre un se ramènent à quatre équations distinctes
ïir.. . . w' — (5 — ai){z — a%)(z — ai){z — a*);
Vir.... w3 = (4î— a,)»(^ — «j)*(-s — «3)*; XII'.. . . M* = (;î — a, y(z — aty(z — a,)» ; XÏX'... w« = (5 — ai)s(^ — a,)*(z — «3)5,
<lont elles peuvent se déduire par une substitution linéaire etJt ectuée sur z^ accompagnée de Tune des transformations
u^-u'R,(z), ii= ^'^^^
Toutes les équations binômes de genre zéro se ramènent même à la relation unique
de
H3. Nous avons vu qu'il existe en outre quatre surfaces ^
Riemann régulières de genre zéro, composées respectivement 12, 24, 60, in feuillets. Les équations algébriques corresp dan tes jouent un rôle imporlant dans un grand nombre de -cherches ( * ); nous allons les indiquer ici. Nous nous appuierez pour cela sur les identités suivantes qu'il est facile de vérifier
(a8-+-i4 w^-hi)3— io8[M(a^ — i)]*=(w»2 — 33a8— 33m*-m)*, (— w2o -1-228 w»5— 494^10 228 «/»— 1)3—1728 [w(w*o-t- iia'—i)]» — — [a30-+-i-h522(w25,^5) iooo5 (m*o -f- M*0)]«.
(' ) Voirj par exemple, l'Ouvrage de M. Klein, Vorlesungen uber dos Jkosaede^'
"tSla posé, les é(|iiulions algébrique;
" («'-t-av'— 3u' + 0'
i728u»(ui» +
Ton considère ; comme la variable indépendante e ( fonclioD, admeltenl pour surfaces de Rieniann des surfaces rénlières de genre zéro. Démonirons-le, par exemple, pour la econde. La surfaee deBiemann se compose de 13 feuillets ; pour = o, les douze racines sont égales 3 à 3 el les racines égales forcent un seul système circulaire. Le point :; := o est donc le sommet Je quatre cycles de trois feuillets, et l'on voit immédiatement u'il en est de même du point z =: x. D'autre part, la seconde les identités écrites plus haut montre que les douze racines dc- "ennenl égales deux k deux pour z :=\, une racine double étant ■infinie. Ou a donc, au point ; = J , six points de ramification *"n|)les. Pour faire voir que la surface n'a pas d'autres points de fsniification, il suffit de montrer que pour toute autre valeur finie c 3 les douze racines de l'équation en u sont distinctes. C'est ce qu'on peut voir facilement. Si, en effet, pour s = « ■ "équation en ;( acimetlail une racine multiple u =^ b, on aurait
-fc)*P(")
e numérateur de t^ contiendrait en facteur ((/ — i)'" '*•*» calcul facile donne
*^t le numérateur n'admet pas d'autres tiennent des valeurs o et 1 de z.
de
