Intégrales abéliennes. — Soit

une relation algébrique irréductible, de degré m en i/, ï la ^^-^r lace de Riemann correspondante, composée de m feuillets é ^ ^ndus sur le plan des z, o{z^ u) une fonction rationnelle de z u. L'intégrale

ff{Zf u) dz

est dite une intégrale abélienne appartenant à Téquation (7). ^3^ supposerons qu'on a pris pour limite inférieure (^o? '^0) un p de la surface par lequel ne passe qu'un seul feuillet et pour le ^{z, u) reste fini.

Occupons-nous d'abord des points singuliers que peut mettre cette intégrale. Il suffit d'examiner les différentes for possibles pour o(-g, u). Soit d'abord (a, b) un point analyti à distance finie, par lequel ne passe qu'un seul feuillet, dan= voisinage duquel la fonction o{z^u) est régulière. Dans le maine de ce point, on a

cp(2, w) = Ao -h Ai(^ — a) -h Xi{z — a)» h-. . .

et, par suite,

w = H -hXo{z — a)-{-'-^{z — a)^-r- -^(-s — a )3 -+-...;

l'intégrale (v est elle-même régulière dans le domaine de point. Supposons ensuite que le point (cf^b) soit un pôle

o{c, u)= r- -f-. . .H h Ao-+- Ai(-S — a) -H.. .,

on en déduit

Si A i est nul, le point analytique (a, 6) est un pôle d'ordre // — I de l'intégrale; si A| n'est pas nul, c^esi un point singulier logarithmique. Lorsqu'on tourne autour du point (a, b) sur la surface, l'intégrale augmente ou diminue de 2^ziA__^.