US

isons ensuite que (a, b) soit un point de ramification L — I . Plusieurs cas sont à distinguer : fonction o[z^ u) est régulière en ce point

0(5, w) = Ao-+- At(-3 — a)\*' -\- At{z — a)f -h . ..

= I ^{Zy u)ciu = H ~i- ko(z — a

.^^1 u . . .Ui

que l'intégrale est également régulière au point (a, 6). point analytique {a^b) est un pôle d'ordte inférieur à (jl.

Cp(^, M) = A|jt+rt

lite,

tv = H -h - A|jt^-n(5 — a)P- -h . . . ,

le w est encore régulière dans le domaine du point anaa, 6), quoique sa dérivée devienne infinie en ce point, point analytique (a, b) est un pôle d'ordre supérieure (x, du est nul. On a

w = Il — — -+-...,

{z-ai)V-

e abélienne iv admet le point (a, b) comme pôle

în si le point (r/, b) est un pôle d'ordre égal ou supérieur

que le résidu soit nul, ce point est pour Tintégrale tr

singulier logarithmique.

e de l'intégrale pour les valeurs infinies de z conduira sultats analogues que le lecteur établira aisément. Res seulement que la fonction o{z^ u) peut être régulière , sans qu'il en soit de même pour w] il faut, en outre,

25o CHAPITRE V.

que le développement de cp(2, u) commence par un terme en -d

degré supérieur à l'unité. En résumé, une intégrale abélienn est régulière en tous les points de la surface T, sauf en u nombre fini de points, qui sont des pôles ou des points singu liers logarithmiques.

115. Nous avons fait abstraction jusqu'ici du chemin suivi pa la variable. Si l'on va du point (^o^ ^o) ^ ^^^ même point {z,u de la surface par deux chemins différents, les valeurs finales (v, iv obtenues pour l'intégrale, ne peuvent différer que par une con

stante, car les dérivées --j-^ --r; sont identiques. On obtient doD

toutes les valeurs possibles de l'intégrale en un point analytiqu (^, u) en ajoutant à l'une d'elles certaines constantes, appelées p< riodes ou modules de périodicité, qui jouent un grand rôle dan cette théorie.

Pour trouver le nombre de ces périodes, nous n'avons qu' répéter, mot pour mot, les raisonnements du Chapitre III. Il ei clair, en effet, que ces raisonnements sont indépendants du non bre des feuillets qui composent la surface de Riemann et de I nature des points de ramification. Le théorème de Cauchy s'étCD de la même façon aux surfaces à un nombre quelconque de feui lets, ainsi que la formule de Riemann relative au signe de Tint

grale / ]

Si donc ^(^, u) a tous ses résidus nuls, l'intégrale

est une fonction uniforme du point analytique (5, u) sur la su face T'. Cette intégrale possède 2/? périodes A i , . . . , A^,, E B2, . . . , B^ relatives aux coupures «i , . . . , a^, b^^ . . . , 6^,, eh cunc de ces périodes étant déterminée comme sur la surfac< deux feuillets; les périodes relatives aux coupures C|, Cj, .. Cp i sont toutes nulles.

Supposons, en second lieu, que la fonction ^{z^ u) admette certain nombre q de pôles, avec des résidus différents de zéro, l R2, • . . , R^. Soient (a, , ^i ) . . . (a^, P^) ces pôles dont quelques-u

peu'veiil t'ire des poiols de

ramilication ou rcjeiés à l'infini. L'in-

De sera plus uniforme sur la surface T'; un contour inrniiment petit autour du poiiil(a,, p,) augmente cette intégrale d'une quantité M, = 3t:(B|-, qui est une nouvelle période. Pour rendre cette , intégrale uniforme, nous ajouterons de nouvelles coupures. En-

'■Jurons chacun des points (a,, p,-) d'un cercle de ra^on très petit, "u de rajron très grand, si ce point esta l'infini. Joignons tous ces •^^rcles à un point P de la surface par des lignes ne se croisant pas ^nire elles et ne rencontrant pas les coupures o., h^, r. ; puis, joi- S^ons le point P à un point de C|, pareicmple. Si l'on regarde les "gnes tracées comme de nouvelles coupures, on aura obtenu une "ouvelle surface T", simplement connexe, sur laquelle l'intégrale considérée sera une fonction uniforme n'', car un chemin fermé '\ttelconque tracé sur T' ne renferme, à son intérieur, aucun des poinu (Xi, p,).

Tout chemin situé sur T, allant de Mo en M, est équivalent à une suite de contours fermes, dont cliacun ne traverse qu'une seuip coupure, suivi du chemin direct situé sur T"', allant de Mj en M. La différence des valeurs de tv', en deux points infiniment Toiiins départ et d'autre de la coupure rf,, est égale li 2tî(R, = H,-, Ia module de périodicité relatif à la coupure c est égal à

•;t52 CHAPITRE V.

2 7r/( R| -f- ...-+- Rç) = o. Enfin les modules de périodicité rel tifs aux coupures ci sont encore nuls, tandis que les modules rel tifs aux coupures a^, et by, ont la même signification que plus haa L^inlégrale abélienne admet donc 2p -\- g périodes

Al, Aj, .-., Ap, Bj, Bj, ..., Bp, Hi, Hj, ..., Hç.

116. En résumé, une intégrale abélienne jouit des proprié suivantes :

1° Elle est régulière en tous les points de la sur/ace de Ri niann, sauf en un nombre fini de points qui! elle admet comm pôles ou comme points singuliers logarithmiques. Dans le de maine d'un point singulier (a, p), elle est représentée par u développement de la forme suivante :

II log(5 - a) -t- Bo-f- Bi (^ — a) -h .

le coefficient H ou les coefficients A/ pouvant être nuls; z —

doit être remplacé par [z — a)i* si le point analytique (a, fp^ est un point de ramification d'ordre (jl — i^etz — oo par -;

2" On obtient toutes les déterminations de l'intégrale en u point quelconque {z, u) de la surface, en ajoutant à Vun d'elles des multiples quelconques de certaines périodes, e nombre fini.

Les périodes sont de deux sortes. Les unes proviennent de-^ lacets infiniment petits décrits autour des points singuliers loga* rithmiques. Elles peuvent être en nombre quelconque, mais leur somme est nulle; ce sont les périodes polaires. Les autres périodes proviennent de certains contours fermés, appelés cycles, tracés sur la surface T, contours qui ne peuvent être réduits à des contours infiniment petits par une déformation continue. Ce sont les périodes cycliques. Elles se ramènent toujours à 2.p périodes distinctes, quelle que soit la fonction considérée cp(s, «/), mais quelques-unes peuvent être nulles.

Inversement, toute fonction du point analytique (5, £i) jouis-

tONNETION DES EirnFACES DE niEUAXN. nài

Bnt de ces propriélés est une inlégralc abélienne, car sa dérivt^c I ne foDClion uDiTornie sur la su rfacc T, n'admeltant que des ^ pôles pour points singuliers, c'est-à-dire une fonction rationnelle de s et de ii.

117. Les relations algébriques se classent nalurelleraenl d'après le genre/» de ]a surface de Riemann correspondante. Si /) =; o, il n'y a que des périodes polaires; si/> =: i, il y a deux périodes c vcli«ques, etc. Les intégrales abélieunes relatives aune même équation algébrique F{;, (/)^o se classent à leur tour d'après la nat-ure de leurs singularités. Nous distinguerons trois espèces L4'i»»tégraies :

■ 1" Intégra/es de première espèce. — Ce sont celles qui resleni

. T^gv>]ii>res dans le domaine de tout point de la surface de Ric-

Tnann; elles ne peuvent devenir infinies que par l'addition d'un

«ombre illimité de périodes. Il est clair qu'elles n'admettent que

"les périodes cycliques.

^^ Intégrales de deuxième espèce. — Elles sont régulières en tous les points de T, sauf en un seul point qu'elles admettent '^ofti me pôle; elles n'ont encore que des périodes cycliques.

J" intégrales de troisième espèce. — Elles sont régulières en loua les points de T, sauf en deux points (a,, p,), (a,, ^a), '{"'elles adiuetieni pour points singuliers logarithmiques. Dans le 'lomainedu point (a,, ^i), une intégrale de troisième espèce, admet-

t ce poin

rpoir

singulier logarithmique, s ■:-ï,l-^P(;-

a de la for

\\z — »|)élanl une fonction régulière an point (a:,, fi,), et dans le domaine du point {a^, pi) on aura pour la même intégrale

-log(J — a,)-(-Q(.i-a,), Ql,: — ïj) étant régulière au point («j, ^a). Nous désignerons celle intégrale par le symbole

Si un des points critiques logarithmiques vient en un point de r-imification d'ordre ;*. ; — a devra être remplacé par (3 — a)'' ;

si un de ces points s'en va à Tinfini, z — oo devra être remplac

par -• Une intégrale de troisième espèce admet 2/? périodoi

cycliques et une période polaire égale à 2'ïte.

Remarquons encore qu'il ne peut y avoir dMntégrale plus simpi

ayant des points critiques logarithmiques. En efiet, si la dérivée «^

a des pôles simples, elle en aura au moins deux, avec des résidis égaux et de signes contraires; en divisant l'intégrale par une coin s tan te égale à Tun de ces résidus, on ramènera les résidus être rt i .

118. On verra, dans un des Chapitres suivants, comment ol peut former ces trois espèces d'intégrales. Nous nous bornerons pour terminer ces généralités, à rappeler quelques conséquences de la formule de Riemann. Soient tv une intégrale de premierespèce et A| , . . . , A^,, B| , B2 , . . . , B^ ses ip périodes,

Av = «v -»- «v /— I , Bv= pv-+- Pv/— T.

D'après la formule de Riemann, l'expression

2(«vP;-Pva;)

est essentiellement positive; elle ne pourrait être nulle, d'après Is façon même dont on établit cette formule, que si w se réduisais à une constante. On en conclut immédiatement que, si w ne se réduit pas à une constante, il est impossible : i^ que les parties réelles ou les parties imaginaires de toutes les périodes soient nulles ; 2° que les périodes relatives à toutes les coupures a^, ou à toutes les coupures iv soient nulles en même temps.

Une autre conséquence, sur laquelle nous voulons appeler l'attention, c'est qu'à une relation algébrique de genre p ne peuvent correspondre plus de p intégrales linéairement distinctes de première espèce. Soient, en effet, Wi, iVa, ..., iv^+i, p -h 1 intégrales dt^ première espèce ; on peut toujours trouver/? 4- 1 coefficients constants Ai, X27 • • • » ^^/»+i? dont un au moins sera dif-

férent de zéro, tels que toutes les périodes de l'intégrale

Al W'i -h . . . H- Ap-Hi Wp^i,

IsiLives aux coupures a^, soient nulles; on a en effet, pour détertniner ces coefficients, p relations linéaires et homogènes k p -\- i icâoonnues. L'intégrale précédente se réduit donc à une constante, et^ si )^j»+i, par exemple, n'est pas nul, on voit que Wp^i est une c o nn linaison linéaire à coefficients constants des p intégrales «^p^« , ..., iVp. Il y a donc au plus p intégrales distinctes de prenai^re espèce. On démontrera plus loin qu'il y en a /? effectives ment.

TRANSFORMATIONS BIRATJONNELLES (»).

Transformations rationnelles générales. — Transformations btrationnelles. — Conservation du genre. — Ordre et classe d'un cycle. — Transformation d'Halphen. — Théorème de Nôther. — Défînition géométrique du genre. — Courbes de genre zéro. — Courbes de genre un. — Courbes de genre deux.