Soit
une équation algébrique irréductible, de degré m en u et de degr^ n en z. Prenons deux fonctions rationnelles de z et de u
d'ordres fx et v respectivement; la fonction cp(;;, u) admet |x pôles sur T, en général distincts, et la fonction ^(z, u) en admet v. S l'on élimine z et u entre les équations (i) et (2), on est conduit une relation algébrique entière entre Z et U,
qui exprime la condition nécessaire et suffisante pour que ïirois équations (i) et (2) admettent un système de solutions co«^ munes en z et u. Il est facile de trouver le degré du polyno»^ F(Z, U) par rapport à chacune des variables. A une valeur d^ la relation Z = ©(3, w) fait correspondre par hypothèse ix poi*^
(') Auteurs à consulter : Nôther, Sur les systèmes singuliers, etc. {Afat^" matische Jnnalen, t. IX, p. 166-182) ; Halphen, Note ajoutée à la traduction fra ^ oaise du Traité des courbes planes, de Sa I mon.
analytiques sur la surface T, et par suite aussi [a valeurs de U; ■ nversement, ù une valeur de U correspoudeuL v poinls de ia surface T et, par suite, v valeurs de Z; l'équalion (3) est donc de Jegré fji par rapport à U et de degré v par rapport à 'L.
. Le polynôme V [T., U) est irréductible, ou il est tint- pu iiexacte d'un polynôme irréductible.
Soit en effet (Z„, LI„) u» couple df valeurs de Z et de U. vérl- KjSant l'équation (3) ; il existe sur la surface T un point analvlique la) tel que l'on ait
îent ensuite (Z,, U,) un autre couple de valeurs dcZct U, salisaisanl à l'équation (3), Ql^Zi. u,) un point analytique correspon- ÈIaT«t de la surface T, c'est-à-dire le! que l'on ait
Imaginons que l'on aille sur la surface'!' du point (ï,,,»,,) au oint (S(, Uf) par un chemin ne passant par aucun des pâles des |foQctioD5 0(3, m) et A(;, u). Alors Z variera d'une niaDJëre con- ■*»nue AeZ\k'L,, et U variera de même de Uo à U,. Donc, si l'on *^onsidère la fonction algébrique U de Z définie par l'équation (3), **»» Voit qu'il est possible de faire décrire à la variable Z un chemin allant du point Z» au point Z, , tel que, U aj-ant la valei
a. sa valeui
finale soit U, ; Uu est une quelconque des racines
"c l'équation
F(Zo, U) = o
^l- L', une quelconque des racines dn l'i'-qu! F(Z„lj) = o.
•Jr, cela , «Iwciible ] lible (§ 83).
I est possil
Lie
, le
polvni
: F{Z, U) est irri'-
lissancfi exacte d'un polynôme irréduc-
uer les d<ius cas.
fait correspondre, à chaque valeur de Z', a points analytiques suit T, en général distincts,
(G) (-Si,"!), (-1, "î), ... («Jl., W|l).
De même Téquation
fait correspondre, à chaque valeur de U, v points analytiques
(G') iz\,u\), (v^m;), ..., (^;,ii;).
Si les valeurs considérées Z, U vérifient l'équation (3), un ou plusieurs points analytiques devront faire {Partie des deux groupes. On a donc deux hypothèses à examiner ;
I** Supposons d'abord, ce qui est le cas général si les fonctions ç et tj^ n'ont pas été prises d'une façon particulière, que les deux groupes (G) et (G') n'aient qu'w/i seul point analytique commun, sauf pour des valeurs particulières de Z et de U. Alors à une valeur de Z correspondent [jl valeurs de U, qui sont en général distinctes. En effet, supposons qu'à une valeur de Z correspondent seulement A" valeurs distinctes de UjUijUo, ..., lJk{/c <i u). Soient
les V points analytiques qui correspondent à la valeur U/. Par hypothèse, un seul de ces points analytiques fait partie du groupe G; en opérant de même avec chacune des valeurs Ui, ...,Ua, on trouve k points analytiques du groupe G. Si l'on suppose k <i |JL, on n'a donc pas épuisé toutes les valeurs de U qui correspondent à une valeur donnée de Z. Ainsi à une valeur de Z correspondent [JL valeurs de U, qui sont en général distinctes et, par conséquent, le polynôme F(Z, U) est indécomposable.
Les équations (i) et (a) n'ayant qu'un système de solutions communes en <5 et w, lorsque Z et U sont liées par la relation (3), on sait, par la théorie générale de Télimination, que les valeurs de z et de u s'obtiendront par des divisions et la résolution d'équalions du premier degré. Par conséquent, z et u s'exprimeront aussi en fonctions rationnelles de Z et de U
SfôrmatiuD considérée est dite réversible ou biralianne lie. On dit aussi que les deux équations (i) et (3) apparliecnenL it Ja m^me classe.
a" Les deux groupes G, G' ont toujours c/ points analj'tiques communs. On a, dans ce cas,
ïfTel, soient
le» j3oints analytiques de T qui correspondent à une même valeur
tdcï Z, Au point (j|, Hi) correspond une certaine valeur de U, qui est. la même par hypothèse pour q des points du groupe (G); ■oient (3j, »i), , .., (s^, H,)lcs poinis de ce groupe qui donnent la Wïênne valeur que {z,,u,). Soit de même U' la valeur de U qui Correspond à un des poinis qui restent, {-^+1, "î+i ); il y a encore *f I points de (G) qui donnent pour U la même valeur U' que
Celui-là. En continuant ainsi, on voit que [i. est forcément un ***ultip|e de q, 11= ^''/, et qu'à une valeur de Z ne correspondent q»ie ji' valeurs de U. Tout pareillement, v doit être un multiple <y, V ^ v'7, et à une valeur de U correspondent v' valeurs dîs- ^*>»cics de Z. Le polynôme F(Z, U) est de la forme
• i,'/^. U) i^lant un polynôme irréductible de degré v' en Z et de ''egré}A'enU.
lâl. Il est un cas particulier remarquable que nous devons ^'giialer, c'est celui où les formules (a) définissent une transf'^fniation de Cremona. Alors, à tout système de valeurs de Z '*'■ de U, ces t'quations font correspondre un seul système de va- '*îUrs pour ; cl u, variable avec Z et U, Les valeurs de 3 et u * expriment à leur tour rationnellement en Z cl 11, et la Iransfor- '*>aiion précédenic appliquée à une relation algébrique quelconque > transformation birationnelle. Mais la réctraie; il peut se faire que les équations (2) i systèmes de solutions en ^ et u variables
''Oonera lieu Croi|ije n'est pas ' admellcal plusieui
260 CHAPITRK VI.
avec Z cl U, tandis que Tensemble des équations (i) el (2) n^eiv admet qu'un seul.
Celte distinction est peut-être plus facile à saisir en employa ^^^ le langage géométrique. Considérons (-3, u) et (Z, U) comme 1 coordonnées de deux points dans deux plans. A tout point c^^^^ premier plan les équations (2) font correspondre un point et seul du second plan, el à la courbe C, représentée par l'équalics::^^^^ /{z, it) =z o^ correspond la courbe C, qui a pour équation
Si les équations (2) définissent une transformation de Cremon^^ ^^^ à tout point du second plan correspond un seul point du premi^^^ ^^ |>lan et, par suite, à tout point de C correspond un point et u. tf^^wn seul de C. Mais il peut aussi arriver que la correspondance enlr*":». — rc les points des deux courbes C et C soit uniforme, sans qu'il e. -gn^c» soit de même pour la correspondance entre les points des deu m^^^^th plans. Ainsi les formules de transformation
ne déHnissent pas une transformation de Cremona; cependant, sr si Ton applique cette transformation à une courbe n'admettant aucu des axes de coordonnées, supposés rectangulaires, pour axe de s^ mélrie, elle donne lieu à une correspondance uniforme entre U points des deux courbes. Par exemple, si Ton applique cette tran; formation à la droite Aô -j- B^^ = i , on obtient la parabole qui pour équation
AVZ«- BiU*-+- I — 2A«B*ZU- 2A«Z — 2B«U =0.
A un point (Z, U) de la parabole correspond un seul point (5, u ^"^^ ^ de la droite, dont les coordonnées sont
BUJ — A*Z^-i A«Z- B«U-H I
u - rz 9 Z — ,
Nous ne nous occuperons dans la suite que des transformation birationnelles entre les points de deux courbes.
