Revenons aux deux équations algébriques

nous supposons appartenir à la itiL^me classe. Si dans la seconde équation on regarde Z comme la variable indi-pendaule, il lui correspond une surface de RiemannT,, composée de ^ feuillets étendus sur le plan des Z. Les points des deui surfaces T et T, se correspondent d'une façon unîvoque; à un point de J'une correspond un point et un seul de l'autre et inversement, De plus, à tout déplacement infiniment petit sur l'une des surfaces correspond nn déplacement inGniment petit sur l'autre surface. Il n'y a exception que lorsqu'un des points s'en va à l'infini sur l*une des surfaces, mais on peut éviter cette difficulté en supposant les deux surfaces de Hiemann étendues sur la sphère. Cela Jposé, à toute coupure tracée siir T correspond une coupnre »racée sur T, et inversement. Imaginons qu'on ail tracé sur T îes N coupures qui la transforment en une surface simplement connexe T'; les N coupures correspondantes tracées sur T, la changent en une surface T', , qui es/ simplement connexe. D'abord cette surface T', est connexe. Prenons, en effet, deux points quelconques M, M' de T'i et les points correspondants m, m' de T'. Ou veut joindre les deux points m, m' de T' par un chemin continu ne traversant pas les coupures; te chemin coriespondaut de T| joindra -leg deux points M, M' sans traverser les coupures. En second lieu, la surface T', est simplement connexe ; car, s'il en était autrement, on pourrait tracer sur T, une nouvelle coupure sans morceler cette surface, et la coupure correspondante de T' ne morcellerait pas non plus la surface T', ce qui est impossible, car nous avons upposé T' simplement connexe. Les deux surfaces T et T,, étant 'Insformées en deux surfaces simplement connexes par un même lombre de coupures, sont du même genre. Par conséquent, te 'enre d'une relation algébrique se conserve dans toute trans- 'or-mation biralionnelle. On peut dire encore qiic deux relti- ■ns algébriques appartenant à la même classe sont du même 'crtre.

^ cause de l'importance de ce théorème, nous en donnerons '•*e seconde démonstration purement analytique. Remarquons bord qu'on peut, dans la démonstration, faire les hypothèses vantes :

f La fonction rationnelle

devient infinie du premier ordre en pi poinls distincts de la surface T, qui ne sont pas des points de ramification.

'2^ La surface T n^a aucun point de ramification à Tinfini, ^^ les m valeurs de Z pour les valeurs infinies de z sont représenteras par m développements distincts

Z(') = A'o'*' -h AV'' z -^ •

Zk

où les coefficients h}^ sont tous différents de zéro. Soit, en eflet, Zq une valeur telle que Téquation

o(^, a) = Zo

admette \k racines simples difl'érentes (aj, p,), .. •,(a|4, pj^), distinctes des points à Pinfini et des points de ramification. La fonctioiT

de (.5, w), Z'= y — Y ^"^® V- pôles simples à distance finie suri surface T; or, si l'on prend pour nouvelle variable, dans la relation entre Z et U, „ __„ = Z^ il est clair que le nombre des

feuillets de T| ne change pas, ni le nombre et l'ordre des points de ramification de cette surface, ni par conséquent le genre de la surface.

Soit maintenant Zq une valeur finie de z^ telle que les m valeurs de u correspondantes, ainsi que celles de Z', soient distinctes et finies. Dans le domaine du point Zq^ les m valeurs de 2! sont représentées par m développements de la forme suivante :

Z' =z PL^i) -^ k^i) {z - Zç,)

Ajfc'(>3 — ;;o)*-+- ••• (t = i,2 m),

et nous pouvons supposer, de plus, que les m coefficients A^*^ sont difliérents de zéro. Si l'un d'eux était nul, un des points analytiques qui sont superposés au point ^o serait racine de l'équation

— -= o, et l'on peut toujours prendre pour z^ un point qui n*est

pas racine de cette équation. Si l'on pose maintenant z = z^-\ — ,y

ce qui ne change pas le genre de la surface T pour les mêmes raisons que plus haut, il est visible que les hypothèses que nous avons énoncées seront satisfaites.

TRANSFORMATIONS B IRATIONNELLES. 203

Cela posé, cherchons les points de ramification de la surface ï|, c'est-à-dire les valeurs de Z telles que U cesse d'être une fonction uniforme de Z. Considérons d'abord les [jl points à l'infini de cette surface, qui correspondent aux [jl pôles simples

de la fonction Z. Dans le domaine du pôle (a/, ^/), on a, par exemple,

cjn en tire

1 ^ — Œf I Z OLi

Z ^i i^ Co(5-a/) . R,

J[H G;(5-at/)-+-...].

ELn faisant l'inversion, on aura

P f » j désignant une fonction régulière dans le domaine du point

2=0. Comme, par hypothèse, le point (a/, p,) n'appartient qu'à "«ï seul feuillet, u — P/ est une fonction régulière de z — a/ et, par suite, de ^ • Par conséquent, la fonction rationnelle

est Une fonction uniforme de = dans le domaine du point Z = ao.

'-•^s p. points à l'infini de la surface Ti ne sont donc pas des points ^1^ ramification.

Prenons ensuite les points de la surface Ti qui correspondent *^^ points à l'infini de T. Dans le domaine d'un point à l'infini ^^ T, on a

^^me A^'^ est supposé différent de zéro, l'inversion nous donnera

i = P(Z-AS/-0,

puis

,/r=Q(Z-Ai'0, cl enfin

P(Z-A'i'), Q(Z — A'^^), R(Z — A'i») étant des fonctions nvB.^-

formes de Z dans le domaine du point A^^. On en conclut que c

points ne sont pas non plus des points de ramification pour

surface T, .

Soient

(«1,^1) («ô^i), ...1 i^Ajàu)

les points de ramification de T, d'ordre r^ — 1 , . . ., /> — i respe* tivement. Dans le domaine du point (a/, 6/), par exemple, on a

Z r-. Z/ -h C\ (z - aiy-i H- . . . C{pi

On en déduit

et l'inversion donne pour (:; — Ot'Y' un développement en séri

procédant suivant les puissances croissanles de (Z — Z/)'*. Comm^^

ji

// — bi est une fonction uniforme de (z — «/)'* dans le domain du point de ramification, on en conclut que //et, par suite, U pour—

ront se développer suivant les puissances croissantes de (Z — Z/)'*, c'est-à-dire que le point de la surface T| qui correspond au poini {ai, bi) de la surface ï est un point de ramification d'ordre

Prenons de même un point (</, b) de ï par lequel ne passe <{u'un seul feuillet. On a, dans le domaine de ce point,

Z = A -i- Art ( ^ -- flr )«-+-.. . Art 7i o ;

si n est plus grand que un, on en déduit pour z — a et w — b des développements en série procédant suivant les puissances crois-

*antes de (Z — A)" ; le point correspondant de T, sera donc un point de ramification d'ordre n — 1.

■H TnANSFOBMATIONS Bl R ATI0SNEI.I.E6. -^Gj

j^pourrait objecter à ce raisonncmciil que les exposants fiac- Ijonnaires peuveDi disparaître dans le dêveloppemenl de U ou avoir UD dénominateur commun plus petit ijue // ou que n, quand oa les riiduit ù leur plus simple expression. Il est facile tle lever /'oi>JecLiDn. Plaçons-nous, pour Rxer les idées, dansie dernier cas <jui vient d'être examiné; soit {A, li) le point de T, qui corres- <)on<l au point («,/') dcT, et admettons, pour un moment, que par ïe |:>oint (A, B) il pas.se moins de n feuillets. Lorsque :; décrit m^ petite circonférence sur ï autour du point [a. b), l'argiimenl le; X — .'V augmente de 2W7t, S'il y avait moins de n feuillets pasan L en (A, B), la droite joignant le sommet (A, B) du cjcle au kOÎBil Z, droite qui a tourne de smz, aurait décrit plusieurs fois e; domaine do sommet du cycle. 11 a'y aurait donc pas correspondance uniforme entre les points des deux domaines, contrairct à l'hypothèse.

En déûnitivo, les points de ramification de T| proviennent des ints de ramification de T et de»

points de T pour lesquels --j{ il nul. Écrivons que le nombre des zéros de cette fraction ralioncllc -T- est égal au nombre des pôles. D'abord cette fonclion a m érostlu second ordre à l'Infini, comme on le volt en dlITérentiant Bs m développements de Z dans le domaine de 3 ^ qc, et [jl pôles '"second ordre aux points (*,, p,), ...,{a^, pp).l'n [tolntderamili- ■ t»on d'ordre /•,, pourk'<iuel ledtWeloppcnieul dc/c;

:t de la forme

-O zéro d'ordre i, — r,, si //>/■(, cl un pôle d'ordre /-, — /, 'V !:> Ij, On aura Jonc, dans tous les cas, la relation

Somme V(;7 — /,-) étant étendue à tous les points de ramifi- *«od de T, et la somme V(/i — i) à tous les zéros de ^distincts ^' points de ramilicBiIon. Cette égaUté peut encore s'écrire

OU

' ^m-^\— — 1 î^ •' — UL-+-I.

Or les deux membres de celte égalité sont égaux respectîvem^ aux nombres p et/?' qui, d'après la formule générale de Rîemai^ représentent le genre de la surface T et de la surface T|. Le ih^ rème est donc établi.

Remarque, — Ktant donnée une relation algébrique entière

on peut à volonté considérer ^ ou i^ comme la variable indépe dante. On a ainsi deux surfaces de Riemann distinctes T, T| q sont du même genre, d'après le théorème précédent. On pe« donc, pour évaluer le genre de la relation f{z^ u) = o, considéra à volonté la surface T ou la surface Ti. Par exemple, si la relatioi est du premier degré par rapport à l'une des variables, l'une de surfaces de Riemann se réduit à un plan; on peut affirmer qu l'autre surface est simplement connexe.

123. Soit ti)(5, il) une fonction du point analytique (z, u)\ s l'on suppose 5 et m remplacés par leurs valeurs en fonction d Z et de U, (0(2, li) se change en une fonction Û(Z, U) du poin analytique (Z, U). Soit (A, B) le point analytique qui corresponi à un point analytique (a, b) de la première surface : si la fonc tion (o(s, il) est régulière dans le domaine du point (a, 6), li fonction Û(Z, U) sera régulière dans le domaine du point (A, B) si le point (a, 6) est un pôle ou un zéro pour (o(.3, w), le poin (A, B) sera un pôle ou un zéro du même ordre pour Û(Z, U).

Pour plus de généralité, supposons que le point analytiqu (a, b) soit un point de ramification d'ordre r — i de la premier surface, et le point (A, B) un point de ramification d'ordre / — de la seconde surface. D'après les développements du paragraph précédent, on aura, dans le domaine du point (a, 6),

(Z — A)' = ^\{z — aY-\- 0Li(z — aY -r-.. ., «i ?^ o,

et inversement dans le domaine du point (A, B),

(;;-ar=?,(Z-A)'-+-Pî(Z-Ay-f-..., pi 5^0.

TRAN8FOH1IATION8 BCItATIONNELLES.

Ole fonction u(:, w) régulière au point (a, h) est égale à la somme d'une série convergente ordonnée suivant les puissances

/>05*(fVes et croissantes de (= — «)'"; la fonction Û(Z, U) sera donc égale à la somme d'une série convergente ordonnée suivant

îs puissances positives et croissantes de (X — A)'. Si le premier

îv^eloppemenl commence par un terme en (a — n)' , le second

enveloppement commencera par un terme en (Z — A.)'; le poïnl , b) sera un zéro d'ordre // pour tù(z, w), et le point (A, B) un c"c»d'ordref^poiir Û(Z, U). Si le point (a, h) est un pôle d'ordre I><>ur u)(z, u), on aura, dans le domaine de ce point,

rj

oH--f,(z-Ay'+...

- sorte que le point (A, B) sera un pôle d'ordre y' pour 0{Z, U). B raisonnement reste le même si un des points (a, b) ou ^« B) s'en va à l'infini sur l'une des surfaces. Il suffira de rem- ««ers ^ X. par-, ou Z — oo pary

Soil iv= / n(:, »)(fô une intégrale abélienne relative li la •*«rbcy(:;, h) =; o; si Ton pose

; = 'HZ, U), M = '1-(Z, U), ^^•-le intégrale se change en une nouvelle intégrale abélienne ^ '1i(Z, V)flZ relative à la courbe transformée F(Z,U) = o.

^Q particulier, si la première intégrale reste finie en tons les

:"ùnê înl^gralc de première espèce se cDange «n na* intt^grale de première espèce, el ceci n'exige pas que la lransfoK~' matioD employée soil réversible. Si à la première courbe so«=^»' aUacliées </ inlégrales dîsUncies de première espèce, il y en au^c^ au moins g po'iir la seconde, mais elle pourra en avoir davanlag^^ Si nous supposons, en ouLre, que la transformalion soit réversibl^^ le nombre des intégrales de première espèce pour la secon(K— "4' courbe ne pourra être supérieur à y; caria trausTormation invc donnerait pour la première courbe plus de ^ intégrales de première»" "S' espèce. Ainsi, deux relations algébriques de l<i même classa ndmeltent le même nombre d'intégrales abéliennes distincte de première espèce.

On voil de même qu'une transformation bîrationnelle cbang une intégrale de seconde espèce en une intégrale de seconde es. pèce el une intégrale de troisième espèce en une intégrale d« troisième espèce.

Parmi les transformations biralionnelles, une des plus simplcr est la transformation homographique, définie par les formules

aZ^bll-i-c n'Z-^ fc'U->- c'

soit m le degré d'une relation algébrique /(a, «)^o,en:;el(/ c'est-à-dire le degré de la courlie représentée par cette équation- Choisissons une droite D rencontrant cette courbe en m poinl^ simples distincts; on peut disposer des coefficients de la transfor — niation homographique de façon que cette droite soil rejetée i-» l'infini el qu'aucune asymptote ne soil parallèle à l'axe des U. L'équation transformée sera de degré m en U, et les m valeurs

de^l

une valeur infinie de Z seront distinctes et finies, de

: ^ pou.

sorte que les m valeurs de U seront leurs de Z de module très grand, pi forme

eprésentées, pour des vant développements de la

La surface T correspondante n'aura pas de point de ramification à l'infini. Les points de ramification proviendront des points multiples de la courbe cl des points où la tangente est parallèle à

des U. On peiil toujours supposer que ces derniers sont des poînls de ramiflcalion simples ; il sufCil pour cela i|iie l'iixe <les U ne soil parallèle à aucune tangente d'inflexion.

lil. Avant d'allsr plus loin, îl est nécessaire d'entrer dans (quelques détails sur la théorie des courbes planes algtlbricuics et iportant théorème dll à M. Niitiier. Étant donnée une retalion algébrique entière et irréductible en ;; et u,

si l'on considère ; cL if eouinie les coordonnées cartésiennes d'un point du plan , cette équation représente une courbe. Au sens étroit du mot, la courbe se compose simplement des points dont les coordonnées rêelies vérilleot l'ëquation précédente. Mais nous conserverons le nom de courbe pour dcsi- );ner l'ensemble des solutions, réelles ou imaginaires, de celle équation.

Soit 5= n, u^ b un point de cette courbe à distance finie. Si pour s= n réquation/(a, u) := o admet N racines égales à b, il résulte de l'étude faite plus haut (§81^ que, pour une valeur de z Toisine de a, l'équation y(;, h) = d admet N racines voisines de b; de plus ces N racines se partagent en un certain nombre de Systèmes distincts. Les racines d'un même svstèuie sont rejirésemées par un mâme développement en série

is)

'est pa!

. sont des coefficients quelconques, dont le pre

m,. ... des nombres entiers positifs croissants, t»ù les exposants sont supposés réduits à leur plus petit dëno-

nateur commun «. Quand on attribue an radical (s — </)" ses n ^Germinations, le second membre prend h valeurs distinctes ; il •^t remarquer toutefois que dans le calcul on doit prendre dans

■^aque terme une même détermination de (r — a)". En langage

S^ométrique, ces résultats s'énoncent comme il suit ; Soient

6 les coordonnées d'iinpoint d'une courbe algébrique. Au

voisinage de ce point, les diverses branches de la courh^ sont représentées par un ou plusieurs développements de forme (5).

La portion de courbe représentée par une équation telle q

(5) s'appelle un cycle et le point (a, b) est Vorigine de ce cycl De Téquation (5) on tire inversement un développement

z — a suivant les puissances positives de {u — i)*", commençai

par un terme en (« — bj

(6) ^ — a= Po(w — ^)'^-'- Pi(" — ^)^+

Le premier exposant — pourra ne pas être réduit à sa plus simpl

expression, mais m sera le plus petit dénominateur commun d

tous les exposants. En effet, supposons- que ces exposants puis —

sent être réduits à un dénominateur commun m' << m. 0

aurait

m = m'A*, n — n'A, rii = n\k,

et la formule (6) pourrait s'écrire

((V) z — a= po(M-6)''''-4-p,(M-6)'"'-h....

On en déduirait ensuite pour u — 6 un développement procédant

suivant les puissances positives de (g — a)"', de sorte que u prendrait 7i' valeurs différentes, et non pas n, lorsque z tournerait autour du point z = a.

Des deux développements (5) et (6) il y en a au moins un qui commence par un terme dont le degré n'est pas inférieur

à l'unité. Supposons par exemple — -^ i ; le nombre n est appelé

V ordre oulede^ré du cycle: si Ton avait au contraire — <'i, alors —

serait supérieur à un, et le degré du cycle serait égal à m.

Le degré d'un cycle est indépendant du choix des axes de coordonnées ou, d'une manière plus générale, ce degré se conserve par toute transformation homographique. Supposons qu'une transformation homographique fasse correspondre au point (a, b)