TRANSFORMATIONS B I RATIONNELLES
un point de coordonnées (A, B). Les formules de transformalion 5ont de la forme
H-a(z — a)-hp(a — r'
ft" ( T, — n.\ -^ fi'r// — A U — B =
H-a(z — a)-hp(a — 6) I -f-a(-5 — a)-h p(a — b)
L'^cjualion (5) qui représente le cycle, supposé d'ordre /i, peut etro remplacée par le système des deux équalions
sî l'on remplace z — a et w — b par ces valeurs dans les formules d ^ transformation, on obtient pour Z — A ei U — B des développa^ rr^ents suivant les puissances positives de /, dont l'un au ^^o££is commence par un terme en /". Si, par exemple, cela *****£ ve pour Z — A, on en déduira pour U — B un développe-
''^"^cînt procédant suivant les puissances positives de (Z — A)". Au
^ycle primitif correspond par conséquent un nouveau cycle dont
»^ degré est au plus égal à n. Ce degré ne peut être inférieur à n,
<^sir, si le degré d'un cycle ne peut s'élever par une Iransformatiou
■^oxïiographique, il ne peut pas non plus s'abaisser.
Hemarque, — Considérons un point de coordonnées (:?, //) appartenant à un cycle ayant son origine en un point (a, 6). Le
■"apport — ^^^ tend vers une limite finie et diflerenle de zéro si
nx = n\ il tend vers zéro si m > /i et il croît indéfiniment si m<in, lorsque z — a tend vers zéro. La droite passant par Torigine du cycle et par un point infiniment voisin de ce cycle tend donc vers une limite parfaitement déterminée que noifs appellerons la tangente du cycle. Si cette droite est parallèle à l'axe des 2, on a "i^/i; si elle n'est parallèle à aucun des axes de coordonnées, on a m=/i.
En particulier, si le cycle est linéaire ou du premier degré, et sïla tangente au cycle n'est pas parallèle à l'axe des w, la valeur de u est représentée par une série ordonnée suivant les puissMices entières et positives de :î — a
l'I CHAPITRE VI.
Si un point {fi, b) est un point simple d'une courbe algébrique, le cycle qui a son origine en ce point est toujours linéaire (§80).
12o. Pour définir le degré d'un cycle, dont l'origine est un point à l'infini de la courbe, on commence par ramener l'origine dn cycle à distance finie par une transformation homographique. D'après ce qu'on vient de voir, le degré du nouveau cycle sera \^ même, quelle que soit la transformation homographique employée Pour évaluer ce degré, il est commode d'introduire les coordonnées homogènes. On a à cet égard la règle suivante, qui rést»^^^ immédiatement de ce qui précède : Les trois coordonnées hoFT^^' gènes d^un point étant développées suivant les puissances ^^' tières et croissantes d^ un paramètre , qui correspond uniforr^"^^' ment à un point du cycle, formons trois combinaisons linéaf ^^^^^ et homogènes X, Y, Z </e ces coordonnées de telle sorte que ^^^ développements de X, Y, Z commencent par des termes à exp^:^^^' sants tous les trois différents, et soient a, 6, c ces degrés r an ^^^^ par ordre de grandeur croissante : le degré du cycle est b — ^^* Si l'on a, en effet,
Z = Ctc -^ ...,
on peut adopter pour coordonnées cartésiennes
d'où l'on déduira un développement de u suivant les puissanc
de z^'~'^ commençant par un terme en
Le nombre c — b s'appelle la classe du cycle; c'est le degré du cycle corrélatif, c'est-à-dire du cycle qui se déduit du premier au moyen d'une transformation par polaires réciproques. On
TRANSFORMATIONS BIRAT lONN ELLES. 278
peut prendre en effet pour coordonnées homogènes d^un point du cycle corrélatif les expressions
X, =Y£fZ — ZrfY, Y, = ZrfX — Xr/Z, Z, = XrfY-YrfX,
et, en remplaçant X, Y, Z par Jeurs développements, il vient
X, = (c — ^)BC/*^<^-«-i ...
Y, = (a— c)ACr^-«-'-f- . . .
Z, = (/> — a)AB/«+^-»-f-
L»es exposants, rangés par ordre de grandeur croissante, sont ici
le degré du nouveau cycle est bien égal à c — b; comme on devait s''y attendre, sa classe est b — a, c'est-à-dire le degré du cycle primitif.
Jiemarque. — Si Ton a un cycle représenté par Téqualion
00 peut le considérer comme représenté en coordonnées homo gènes par les équations
A//I-HV
-•rr
sa classe est donc égale à v.
I^roposons-nous maintenant d'évaluer le degré et la classe ^ Un cycle ayant son origine à Finfîni. Plusieurs cas sont à dis- ^^ï^guer.
^f^emier cas. — Le cycle est donné par un développement tel ^Ue le suivant
a = A«, -5" -4- A-;„+i Z '^ -H...-+-B-hCiZ «-h Ci;; "-f-
Où
A, ET G. i8
•Jt74 CHAPITRE VI.
Employons les coordonnées homogènes
puis posons
îl vient
Si n est plus grand que m, les exposants, rangés par ordre ^ci e grandeur croissante, sont o, n — m, n\ le degré du cycle ^^^^ n — m et la classe m. Si /i = m, il faudra considérer dans "^ i^cxposant du terme suivant. Si n est plus petit que m, les ex[> sants, rangés par ordre de grandeur croissante, sontn — m, o, le degré est m — /i et la classe n.
Deuxième cas. — Le cycle a un développement de la forme
w = Ao-+- A,;, ^-j -{- Xm^i (^j -4-...;
l'origine du cycle est à l'infini sur 0-3. Posons encore
il reste
Y =Z Ao^* -4- A;„/'«+« -4-
On a les trois coordonnées homogènes
X=i, Z = t% Y— AoZ = A,„/'«+'»-H ...;
le degré du cycle est /i et sa classe m.
Troisième cas. — Le cycle a son origine à l'infini sur Ou
u = i\.-nt{z — a) " -4- ...-h Ao-4- A,(-s — «)«-»- ....
Il est équivalent au cycle représenté en coordonnées homogèot par les équations
Y = A„e -I- A,«4-i ^-h...-h Ao/"»-H A,/'»«+»4- ..., Z= r«,
le degré est m et la classe /?.
SFonu.vTioNs B rnATiONNEiLES. 175
( .aonsiaërÔDS en parliculier un cycle représenté par le déve-
lo|>pemenl
d'après ce que nous venons de voir, si m esL> i, le de^ré dn cycle est m — 1. Si donc m est supérieur à 2, le cycle n'est pas linéaire. Ce résultat peut sembler étrange, mais il est facile de le vérifier sur des cas particuliers. Par exemple, la courbe // = ;' présente un point de rebroussemcDl à l'infini, car la transformalion homograpKique
(■«^mplace la courbe donnée par la courbe 11'^ =^ :", qui a bien un cycle du second degré à l'origine. Si m ^ i , le degré du cycle est toujours égal à un, mais la classe peut être quelconque.
Si une courbe n'a que des cycles du premier degré, il en sera
*ï<? même de toutes ses transformées homograpbiques. La courbe
*^ir«cil de degré m, supposons que la droite de l'iniini la rencontre
^—^'^ "> points distincts et qu'aucune asymptote ne soit parallèle â
^H*a^x.e des M. .\lors les m valeurs de ti pour z — x> seront représen-
î par
développements de la forme
m coefficients a étant difl'érenis ; les m cycles ayant leur ori- S*»:»e à l'infini sont linéaires. La courbe peut avoir des points ***'-xliiples d'ordre quelconque; mais, si aucune des tangentes en ^^*"^ de ces points multiples n'est parallèle à l'axe des u, hypothèse ^K^*^'on peut toujours faire, chacun des cycles de !a courbe ayanl ^B***»ï origine en un point multiple sera représenté par un déve- ^B ■'^lipement de la forme
*-es seuls points critiques pour la fonction algébrique u de 3 dé- ^nic par l'équation /(s, «) = 0 seront les points de la courbe où ^a tangente est parallèle à l'axe «les u; si ces points ne sont pas
des points d^inflexioD, ce qu'on peut toujours supposer, las face de Ij^iemann n^aura que des points de ramification simples
126. Nous donnerons encore quelques détails sur une transfor tion employée par Halphen et qui nous sera utile. Soient C(yî^.
Fig. 87.
une courbe plane quelconque, S une conique directrice. A chaq
point M de C, on fait correspondre le point de rencontre M' de
tangente en M avec la polaire de M par rapport à S. Le point
décrit une courbe G qui correspond point par point à la courbe
si la conique S n'a pas été prise d'une façon particulière. On pe
remarquer qu'en partant de C,, polaire réciproque de C p^
rapport à S, on obtiendrait la même courbe C.
Considérons un cycle de C, de degré n et de classe v, et che
chons le degré et la classe du cycle correspondant de C. No
supposerons que le point M n'est pas sur S et que la tangente en
n'est pas tangente à 2. Prenons pour triangle de référence MM| M
M| étant le pôle de MM' par rapport à S; ce triangle est conjug
par rapport à S, et cette conique est représentée par une équatio
de la forme
AX«-hBY»-i-CZ«=o,
que Ton peut écrire, sans diminuer la généralité.
X«-hY»-hZ«=o.
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES. 277
Soient x^y^ z les coordonnées homogènes d'un point de C, x\ y' ^ z^ les dérivées de x^y^ z par rapport au paramètre t qui correspond uniformément aux points du cycle ayant son origine en ce point. La polaire M| M' a pour équation
\x -H Xy -\-7^z =0; la tangente MM' a de même pour équation
ou
\(yz— zy') -\-\(zx'— xz') -h Zixy'—yx') = o.
On en déduit pour les coordonnées homogènes de M'
X =y{xy'—yx') — z(zx'—xz') = x(yy-^ zz') — x'(y^-\-z^), Y =y{zz'-hxx')—y{x*^z*), Z = z{xx'-hyy') — z' (x^-hy^).
On peut toujours supposer le cycle de G représenté par les équations
ar = /«, y = at^-^^-h .. ., z = i;
*' suffit de prendre MM' et MM, pour les côtés X et Y du triangle ^^ référence. Il vient
^^ les coordonnées d'un point du cycle correspondant de C auront pour expressions
278 CUAPITRE VI.
Les premiers termes des développements de X, Y, Zsontles ^ ^ suivants :
trois cas sont à distinguer :
Premier cas, v >> n. — Les exposants, rangés par ordre 4^ grandeur croissante, sont n — i, 2/1 — i, /14-v — i;le degré 4^ nouveau cycle est /i, et sa classe v — n.
Deuxième cas, y<Cn. — Le degré du nouveau cycle esly-»^ sa classe n — v.
Troisième cas, v = /i. — Y et Z commencent par un te^"^*^ en f2/i-« j le degré du nouveau cycle sera égal à /i, et la classe s^ '^^^' tiendra en cherchant le degré du premier terme dans nY -f- a/i^^^*
En résumé, le degré du nouveau cycle est égal au plus p* ^^
des deux nombres /i, v. Dans aucun cas, il ne peut dèpasse^^^ degré du cycle primitif. Si n et v sont différents, la classe nouveau cycle est ±{n — v).
Supposons maintenant que le point M est sur la conique din trice 21 et que la tangente au cycle n^est pas tangente à S; p nons pour côtés du triangle de référence la tangente en M à courbe C et les deux tangentes à la conique S aux points où est rencontrée par la tangente à C.
La conique £ aura pour équation
Y»H-aXZ = o;
x^y^ 5, x\y^ z' ayant la même signification que plus haut, 1 ^^ coordonnées X, Y, Z d'un point de C seront données par 1
formules
X =y{xy — yx') — x{zx'— xz'),
Y =x(yz' — zf)- z{xy—jrx'), Z =z z{zx' — X z') —yiyz' — zf).
Le cycle de C étant représenté par les équations
x—t^, y = at''-^'*-^...^ z=i, on aura, pour le cycle correspondant de C,
Y = — 2xy-^x'y = — (/n- 2v)«^*«+v-i^, , ^^ Z = x'-hyy = /i/«-» -+-
Les exposants, rangés par ordre de grandeur croissante, sont ~i, an — I, art-hv — i; le degré et la classe sont les mêmes our le nouveau cvcle que pour le cycle primitif.
Dans la suite, nous supposerons toujours que la conique direcrtce 1 rencoutre la courbe C en des points distincts, ainsi que sa iolaire réciproque, el que ces points sont origines de cycles du prelier degré et de la première classe. Si la tangente en un point M C est tangente à H sans que M soit sur £, on est ramené au cas recèdent, car le point correspondant M, de la polaire réciproque 'n sera sur S sans que la tangente en M| à C| soJt tangente à S.
127. Etant donnée une courbe algébrique quelconque, on fut lui /aire correspondre, point par point, par une Irnnsfor- \ation biralionnelle, une autre courbe algébrique n'ayant 9e des cycles linéaires.
II sufïit évidemment de montrer que, si une courbe algébrique des cycles de degré supérieur à un, on peut, par une transformatm biralionnelle. abaisser li? degré d'un de ces cycles sans auginler le degré d'aucun autre cycle. Soient n et v le degré et la sse da cycle considéré; appliquons à la courbe la transforition précédente, la conique directrice S n'ayant, comme il a ►jà été expliqué, aucune position particulière. Si v est inférieur #1, le degré du nouveau cycle sera égal à v, et, par conséquent, lîfrieur à n. Si V est supérieur à /i, le degré du nouveau cycle égal à n, mais sa classe sera v — n. En répétant la Iransfor-
ilion par rappoi
; ou à de
nouvelles coniques un
ibre assez grand de fois, on finira par arriver à un cycle dont classe sera inférieure ou égale à n. Dans le premier cas, une Quvelle transformation abaissera le degré du cycle. Le seul cas qui demande un examen particulier est donc celui lia classe est égale au degré ou ù un multiple du degré. Emtyons les coordonnées cartésiennes et supposons qu'on ail pris origine des coordonnées l'origine du cycle, l'axe des^ ne idant pas avec la tangente au cycle. Le développement de y itiendra un certain nombre de termes entiers en x,
iSo CHAPITRE VI.
P(^) désignant un polynôme de degré q au plus, et Aa? " éiatil le premier terme à exposant fractionnaire. Les q premières dé^^' vées^', y, . . . , y^9^ conservent une valeur finie pour a? = o, m^s la dérivée suivante y^9-^*^ est infinie pour Torigine des coordonnées.
Le cycle transformé a pour origine un point (a, 6), et nc^^s supposerons qu'on a choisi les axes de façon que la tangente ^^ soit pas parallèle à Taxe des y. Le développement de Y — b s^^^ de la forme
Q(X — a) étant un polynôme de degré r au plus, etB(^ — a) * *® premier terme à exposant fractionnaire. Les dérivées Y', Y', ...,^''" sont finies pour X = a, mais la dérivée suivante Y^'^*' dévie — ^^l infinie.
Soit
Téquation rendue homogène de la conique directrice 2; le poit::^^ (X, Y), qui correspond au point {^,y), est à l'intersection d^ ^ deux droites
On tire de là
on aura ensuite
âx dy-^ ôy'-^
La fraction qui donne Y' n'est pas, il est aisé de s'en assurer, indépendante de^', de sorte que Y' dépend bien efiectivement
àcy (' ). On aura ensuite
-= u,{a:j',y,yi+ siy
Fl, d'une manière gém V'" = lU{T,y,y,..
soient pas nuls pour qui deviendra infinie pour
Supposons qu'on ait choisi les coelTicients de la conique directrice de façon que --^ et ^ + -^ > l'origine- La première dérivée V'"
l'origine du cycle transformé sera la dérivée d'ordre q. On a donc '■ ^: y — I , c'est-à-dire que les termes fractionnaires apparaissent un rang plus loi dans le cycle Iransformé que dans le cycle primitif. Comme on peut répéter la transformation tant que f/ est supérieur à a, on finira par arriver à un cycle représenté par un développement tel que
V- UT-t-bx'-^Cx" '-h ... l.<«</(
«^•11, eu cliaugeant les axes,
tin coordonnées lioniogèncs, ce cycle est
eprésenlé pa
rleséqua-
lions
(') On peut s'en rendre compte a priori. Si Y' n
e dépendait i|u
■a IraatTurnialion serait une tram/ormation de
tonlact , c'est-
-dire qu'elle
changerait deui courbes tangenles en deux courbei
langentes. Dr
la tangente
m U i la courlie C correspond celle tangente elle
mfmc; tes dcu
X courbes C
et C auraient donc les irnïmcs Ungcnles, ce qui est
mpussiblc.
Si l'on se reporte aux calculs du paragraphe précédent, on trouvr pour les coordonnées d'un point du cjcie, apr^s une nouvelV' transformalion,
Les expressions X, Z, degré
, commenceul
; ire
la classe du nouveau cycle esl égale à ql, qui est < n. Une dein transformation abaissera donc le degré du cycle.
Nous voïons, en résumé, q^u'on peut toujours, par une suller "^ transformations d'Hatphen, abaisser le degré d'un cycle, si "^ degré est supérieur à l'unité. Comme cette transformation n'a*-^8' mente jamais le degré d'un autre t-vcle, la proposition énoncée '* trouve établie.
128. On n'a pas épuisé ainsi tout le parti que l'on peut lir^ de la transformation d'Halphen. Une courbe n'ayant que des cy-'" des linéaires pourra avoir <les points multiples d'ordre que'" conque, et en chacun de ces points multiples il pourra y avo»'' des brancheii de courbe ayant un contact d'un ordre aussi élev*.* qu'on voudra, chacune de ces branches étant représentée, ave^ des ânes convenables, par un développement de la forme
où ne (îgure aucun exposant fractionnaii'e. Appliquons A celt^ courbe C la transformation par rapport à une conique directrice i^ n'ayant pas de position particulière. Si deux cycles de C ont Is même origine sans être tangents, les cycles correspondants de (Z n'auront pas la même origine; un point multiple d'ordre /■ à tangentes distinctes est donc remplacé par r points distincts. Si deux: cycles de C ont en un point un contact d'ordre n, les cycles correspondants de C auront un contact d'ordre n — i, d'après ce qu'on a vu plus haut; car, d'une manière générale, Y'"* dépend de x,y,y, . . .,^'"^" et est une fonction linéaire de j'"+". Par
ppli(|uant la Lransfarmatioi
N N E t L ES-
luLanl de
qu'il esl
uplacera tous les cjcies de <• aj-aot une ori- ; par des cycles ayant loiites leurs origines dlffé- Krentes. On a dispersé ainsi toutes les singularités de la courbe donnée.
Il reste à examiDer si l'on n'iairoduit pas des singularités nouvelles, chaque fois qu'on applique la transformation d'Halphen. , C, 2 avant toujours la même signification, soil N un point Quelconque du plan ; pour reconnaître si ce point N appartient à I courbe C, on procédera comme il suit. Soit P la polaire du uni N par rapport à S et M,, Mj,..., M^ les m points d'in- Crsectîon de celle polaire avec ia courbe donnée C. Pour que ; point N appartienne à la courbe C, il faut et il suffit que la aiigente à la courbe C en un des points Mj aille passer par le point N. S'il en est ainsi, il y aura en général un seul point M, satisfaisant à cette condition. Le point N sera un point double si les tangentes à la courbe C en deux des points Mi vont passer en ; eu écrivant ces conditions, on a deus relations pour déterliner les coordonnées {^a, ya) tlu point N. Il y aura donc en în^ral sur C un certain nombre de points doubles provenant
c la superpositio ,e point triple, < lartÎGulière, car i f,- soient concour ntrc les coefficiei
: deux
nts dis
de C. n n'y aura pas i la conique S n'a pas été prise d'une façon : faudrait que les tangentes en trois des points iotes, ce qui exigerait évidemment une relation Is de ^. Pour la même raison, les tangentes aux
louveaux points doubles seront distinctes. Ce qui esl vrai d'une seule transformation s'applique naturel-
Ctnent à une suite de transformations et, en réunissant tous les
^sultats qui ont été établis, on peut énoncer l'important théo-
*medÛàM. Niilber(') i
A toute courbe plane algébrique an peut faire correspondre, par une transformation birationnelle , une autre
(■) Ea téaliW, M. NOlher a spulemeut déiuonlri! qu'on peut tranaroriner toute Combe algébrique en une autre, qui n'a que des poims multiplet A tangentes diatinctea, ce qui »i(rit duos lu plupart des applicallon^. Au sujet de cette question. «n pourra consuller deux Notes récentes, dans les Complet rendus, de M. Poin- «rt (I. CXVU, p. i8) et de M. Sîmarl (t. CXVI, p. io4;).
courbe plane algébrique, n'ayant d'autres points multiples t/ue des points doubles à tangentes distincti^s.
Il est permis de supposer que, dans cetle li-ansfornialinn. les cycles de la première courbe, qui onl leur origine eu un poil»* multiple, correspondent tous à des cjcies de la seconde court»^ ayaal leur origine en des poinls simples. C'est ce qui résulte bic; »n cluirement des développements qui précèdent.
plane représent*
