Ktiint donnée \u\e courbe algi^briqm par l'équation
on appellera genre de celle courbe le genre de la âurface c^^ Hiemann correspondante, quand on regarde u comme une fnn^d^ lion de z définie par la relation {7), D'après le théorème t^n" 122, ce nombre ne dépend pas des axes de coordonnées et, plu ^* généralement, se conserve par toute transformation biraiionnell^^ l'roposons-nous d'évaluer le genre d'une courbe dont les seu^K^ poinls singuliers sont des points multiples à tangentes distincte?' et des points de rebrousscment de première espèce. Nous choisi - — ' rons pour cela les axes de coordonnées de façon à satisfaire au:^* conditions suivantes : 1" la courbe, supposée de degré m, a b- ^* poinls distincts à l'inlini, et aucune asj'mptote n'est parallèle ^^ l'axe des u ; a' aucune tangente en un point multiple n'est parai — lèle à l'axe des m ; .1" les tangenLes parallèles kOu onl un contacK' du premier ordre avec la courbe.
La surface de Riemann correspondanle aura m feuillets e*^ N 4- /■ points de ramification simples, provenant des r points der rebroussemenl de première espèce et des N points où la langenlp^ est parallèle à Oy. On aura donc pour le genre/) (§ 109)
Kn groupant ensemble les termes du 11 s'écrire
me degré, F{:, u) peut
TRANSFORMATIONS BIR ATIONNELLES. 283
^mi^fC) étant un poljrnome de degré m en c, tel que Téquation ^^ = o ait m racines distinctes C| , ... c^. On a de même
où
résultat de Télimination de^ entre les deux équations
^si une équation entière en z
^^ù ii|, 1/2, ..., Um désignent les m racines de Téquation F = o; A(^) ^»t un polynôme entier en z de degré m {m — i). En effet, c'est ^»ie fonction symétrique entière de //|, ..., w,/, et, par suite, un po- *^nome entier en z. Pour évaluer son degré, considérons les m ^*'^eurs de u dans le domaine du point ;:; = oc ; on a par exemple, clsins ce domaine,
de sorte que, dans F|(:î, ^z/), le terme du degré le plus élevé s^ra ^'*~* Cm (ij c,) puisque, par hypothèse, (p^(i,c/) n'est pas KR^l. Le produit des m facteurs analogues sera donc de degré
Les racines de l'équalion (8) ne peuvent provenir que des
{Joints multiples et des points simples de la courbe où la tangente
^st parallèle à Ou. Examinons d'abord ces derniers points. Si au
I>oint (a, b^ la tangente est parallèle à Ou, on a, dans le voisinage
de ce point,
îes coefficients A et B n'étant pas nuls, d'après les hypothèses f;iites. Les deux valeurs de u, qui deviennent égales à b pour ^ = a.
sont représentées par un même développement
OÙ Ton attribue au radical y/s — a ses deux déterminations. D'an t.
part, on a
dF
F, = -T- =2B(m-^^)-hC(5 — a)-+-
ou
Si dans Fi on remplace u par une des racines précédentes,
résultat sera d'ordre - en (z — a). Comme il v a deux facteurs
cette espèce dans A (3), on voit que A(^) est divisible simpi ment par z — a. Ainsi, les abscisses des points de contact (9 tangentes parallèles k Ou donnent des facteurs simples da
Supposons maintenant que le point (a, b) soit un point mu'i tiple d'ordre q à tangentes distinctes, aucune de ces tangente n'étant parallèle à Ou; F {z, u) peut alors s'écrire
'^^(i, c) étant un polynôme de degré q n'ayant que des facteu simples. De même
F,{z,u) = (z-a)9-io'^(^i/y l'j
Si c,, Ca, ..., Cq sont les q racines distinctes de l'équatioi îp^(i, c) = o, les q valeurs de u, qui deviennent égales à b pou z = a, sont représentées par q développements de la forme
Ui— b = Ci{z — a) -\- di{z — ay -h ... ;
Fi{z^iii) sera du degré {q — i) en (;; — a), car son premîe terme est (z — rt)^"* ^^^(i, c/). Comme il y a (7 facteurs analogues A (z) sera divisible par (;? — a)9^f-^^ ; un point multiple d'ordre . à tangentes distinctes donne dans A(3) une racine multiple d'ordr q (q — i) de multiplicité.
Enfin supposons que le point (a, b) soit un point de rebrous
TB*N8FOIllllTIONB Bin.tTIONNELLES. iS?
aemenl de première espèce, oi'i la langcnle n'est pas parallèle à O M- En Iransporlanl l'origine en ce poinl, ce qui esl évidemment permis, on a
fi (i, m) n'étant pas nul, et
F,fI,Hl = 5A^«-»,^)-|-^'=j(.,^)^-....
es deux valeurs de u, qiiî deviennent nulles pour z=o, ont un i^me développement de la forme
(3, II) esl de degré - et par suite A(ô) est divisible par z'. Un point de rebroussement de première espèce donne donc une ■cine triple. En écrivant que l{z) est de degré m(m — i) , il 'ienl
lorlons la valeur de N dai éduclions faites,
a formule qui donne /», il reste, toutes
*> ( en particulier, la courbe n'a que d points doubles à langenles «stioctes, on a
1 retrouve ainsi la délinition géométrique du genre.
La comparaison des deux formules (g) et (10) montre qu'a/t ■oint de vue du genre, un point multiple d'ordre g à lan-
'c«l« distinctes équivaut à
points doubles ordina,
]30. Appliquons ces considérations aux courbes pour lesquelles Palesplus petites valeurs. Soi tC une courbe de genre zéro; d'après •e ili^ûrèrae de M. Nuther, on peut lui faire correspondre, point
a88 CHAPITRE VI.
par point, une courbe C, aussi du genre zéro, n'ayant que de* points doubles. Si cette courbe O est du degré m, elle poss^dei
le nombre maximum de points doubles, soit * Or ^
les coordonnées d'un point d'une pareille courbe s'expriroeoK. , comme on sait, par des fonctions rationnelles d'un paramètre « variable t, de façon qu'à un point variable de la courbe ne corre^^ponde qu'une valeur de /. 11 suffit de couper la courbe C parm^'»
faisceau de courbes de degré (m — i) passant par les
points doubles et par 2 m — 3 points simples pris à volonté sur C-* ^
ou par un faisceau de courbes 0^-2 passant par les — — "
points doubles et par m — 3 points simples de C
Inversement, supposons z el u exprimées par des fonctions x*^»* tionnelles quelconques d'un paramètre t
le point de coordonnées (r, u) décrit une courbe C de ger^^^^ zéro. Si à un point de la courbe C ne correspond qu'une val^^-"* de /, la démonstration est immédiate. Des formules précédent t.^ s on lire en effet t = W(:;, w), W étant une fonction rationnelle^ ^^ la courbe C correspond point par pointa la courbe de genre zé^<^? iv =: t. Elle est donc elle-même de genre zéro.
Lorsque plusieurs valeurs de t donnent un même point (z, s^ ^» la représentation est impropre, et le raisonnement précédent ï** s'applique plus. Mais M. Liirolh (*) a démontré qu'il suffit d'»**^ simple changement de la variable indépendante pour êtreram^^^^ au cas précédent. Soient
les expressions des coordonnées, /(X), «p(X), ^(À) désignant ir'^:>*^ polynômes. Nous supposons qu'il existe n valeurs de X donn^^^ le même point (j, u) ou, d'une façon plus précise, que les d^ •^^ équations
,. ./I>j)/1À) ?at)?(X)
C) LtJROTH, Mathematische Annalen, t. IX, p. i63.
TRANSFORUATIONjS BIRATIONNELLES. 289
ont, quel que soitXi, n racines communes X|, X2> •• -î^.,,. Ces n racines sont en général distincles, sauf pour des valeurs particulières de Xf. En effet, écrivons les équations
^' ^ l?a)'KXi)-^(X)cp(X,) = o;
si \ était une racine multiple de ces deux équations, on aurait
/(X/)4^(X,)-'{>'(X/)/(X0 = o et. par suite
/(X,)'KX/)-ti.'(X,)/(X/) = o.
Le rapport ^ ^ serait donc une constante; or, la racine multiple y^i varie évidemment avec ).,, et l'hypothèse est inadmissible.
Si donc on cherche le plus grand commun diviseur des deux
polynômes /().).}(X,)-'K^)/(^.) et o(k)'\(k,)-'^{\)o{\,), on obtient un polynôme de degré n en X, qui n'est autre que le produit (X — X|)(à — )v2) . . . (). — X„), abstraction faite d'un facteur indépendant de X. Soit A(X,X| ) ce plus grand commun diviseurj comme les deux polynômes précédents ne font que changer de signe quand on permute X et X|, ^(X, X| ) sera aussi du degré 'i en X| ,
ij;(X,Xj) = ?o(Xi)X'»-ho,(X,)X«-iH-...-f-cp„(X,),
?o(X|), îpi (X,), . . ., 'f/i(X| ) étant au plus du degré n en X,.
Si dans l'équation fJ^(X, X|) = o on remplace successivement ^« par X2, . . ., Xrt, cette équation aura toujours les mêmes racines, ^^^ les valeurs X|, X2, . . ., X„ qui correspondent à un même point \^j u) forment un groupe inséparable. Il s'ensuit que les coeffi-
^^eixts ryl reprennent les mêmes valeurs quand on y remplace X
P^^ X|, X2,..., X„. Choisissons 'f/(X.) de façon que ce coefficient ^^ Se réduise pas à une constante, et posons
à un point (^, u) de la courbe considérée correspond une seuK valeur de [jl. Inversement à une valeur quelconque de p. correspondent au plus n valeurs de X; or, si X| est une de ces valeurs les autres valeurs du même groupe X25 ^3? • • • > X« vérifient la menu équation. Il s'ensuit que cette équation est bien du degré n en ^7"/, et qu'à une valeur de a ne correspond qu'un point (z, u). Sidon»^ e on prend |x pour variable indépendante, on voit que z et u s'ei primeront rationnellement au moyen de [jl, et qu'inversement sera une fonction rationnelle de -c et de w.
Considérons, par exemple, la courbe représentée par les éqm
tions
--X*+3X»-m' "-X^-t-3X«H-r En appliquant la méthode précédente, on trouve
iKX,x,) = x*Xi - X(Xî 4- i)-f-Xt.
La représentation est donc impropre. Mais si l'on prend po
paramètre
»'=xrri'
on vérifie que z et u s'expriment rationnellement en [x
[Jl* ■+- 1 Jl* -^ I
et l'on a inversement
ul
131. Étant données deux courbes de genre zéro C, C, on f> toujours les faire correspondre point par point d'une infinité manières. Soient, en effet,
les formules qui concernent les coordonnées d'un point de y, cp, 7: étant des fonctions rationnelles,
formules analogues pour C. Si l'on établit entre ( el T une tioa Unéaire
XTl-hBl-hCT-^-D =
foil (jne Z, U s'eiprimenl rationnellement au moyen de z, u versement. On a ainsi la iransfonnalion biiulionnelle la plus fraie que l'on puisse établir entre les points des deus courbes ,1 est clair, en effet, que toute correspondance biralioné entre les points de ces denu courbes donnera entre ( et T relation algébrique qui devra être du premier degré parrapâ chacune des variables. La relatioii (i4) dt'pend de trois pa- ^trcs dont on peut disposer de façon qu'à trois points déterde C correspondent trois points arbitraires de C. Comme particulier, il peut arriver que ces deux courbes coïncident, roit qu'il existe une infinité de transformations bira- Uielles, dépendant de trois paramètres arbitraires, par Weties une courbe du genre zéro se change en elle- He.
es intégrales abéliennes relatives à une pareille courbe se raient immédiatement à des intégrales de fractions rationnelles. *y a pas d'intégrale de première espèce.
:32. Passons au cas où p =: t. Étaat donnée une courbe dit genre C, nous pouvons toujours supposer, d'après le Drème de M. Niilher, qu'elle n'admet que des points doubles k gestes distinctes. Si elle est de degré m, elle aura donc
^^12,'„:= '"O"-'^) points doubles. Ces "'(""-^^
Bts doubles, joints km — s points simples pris à volonté C, déterminent an faisceau de courbes d'ordre m — 2,
if( = .u)^fl(z,u) =
[nation d'une courbe de ce faisceau ; elle rencontre la courbe C (ni — 2) points dont deux seulement sont variables avec (.
En effet, chaque point double compte pour deux points d'intersection, et Ton a bien
On obtiendra les coordonnées de ces deux points d'intersection variables par la résolution d'une équation du second degré à coefficients rationnels en t, de sorte que les coordonnées d'un point de C s'exprimeront au moyen de t par des formules de la forme suivante :
izi<
PV
S(0 Si(0
P, Q, P|, Qi, S, S|, R étant des polynômes entiers en f, dont le dernier R(^) est supposé sans facteurs multiples. De considérations géométriques bien connues (^), on déduit que R(f) est du troisième ou du quatrième degré; c'est aussi une conséquence immédiate du théorème général sur la conservation du genre. P^"* sons, en effet,
iv = v/R(7);
des formules (i5) et (i6) on tire t et iv en fonctions rationnel*-^ de z et de u, La courbe C et la courbe C représentée par l'équatî^--^^ w^=i R(^) se correspondent ainsi point par point par une tra formation birationnelle. La courbe C étant de genre un, il doit^ être de même de la seconde courbe, ce qui exige que R(^) s du troisième ou du quatrième degré (§ 109).
Si R(^) est du troisième degré, la seconde courbe sera du ir^ sième degré. Si R(0 ^^^ ^" quatrième degré, soit a une racî de l'équation R(^)== o; la transformation birationnelle
ivr
C) Si un seul des deux points d'intersection inconnus était variable avec^ les coordonnées de ce point seraient des fonctions rationnelles de f, et la cou^" serait du genre zéro. On peut employer aussi un faisceau de courbes C^ , p^^^ sant par les points doubles, et im — i points simples de C.
(') Clebsch, Ueber diejenigen Curven deren Coordinaten sich ais elliptisa^^^ Functionen eines Parameter darstellen lassen {Journal de C relie f t. LXIV).
TRANSFORMATIONS B I H A T 1 ONN E L LES. agî
lène encore à une courbe du troisième degré. Ainsi, à loule \urbe fie genre un on peut faire correspondre, par une trans- >rmation birationnelle, une courbe du troisième degré, qui nécessairement sans point double. On ilil que la cubique ips point double est la courbe normale du premier genre. Inversement, les coordonnées d'un point d'une cubique peuvent, d'une infinité de manières, s'exprimer rationnellement au njen d'un paramètre ( et de la racine carrée d'un poljTiome du Ulrième degré en /, R{')- Il suffit de couper la cubique par un isceau de droites
y — yt= ilx — x^j,
Issanl par un point fixe (x,i,^'o) choisi arbitrairement sur cetle ^rbe. Les racines du polynôme It(') ont une signification géo- Itrique évidente; ces racines sont les coefficients angulaires des atre tangentes que l'on peut mener du point {-Co,/o) à la cu- [ue. Quel que soit le point (xo, j'o) choisi sur cette courbe, ces aire tangentes ont même rapport anharmoniquc, et, par consé- 'invariant absolu de la forme Liquadratique f*R [- ] ne
pend pas du point (xa,yt)- On n'obtient donc pas de repiésen-
îons essentiellement distinctes.
Le théorème de Géométrie qui vient d'être rappelé se démontre isément au moyen d'une remarque qui peut être utile. Sur ourbc du troisième ordre, sans point double, prenons deux
JDis fixes A et B, et soient X, [ji les coefficients angulaires des
m droites AM, BM joignant k-s deux points A et B à un point
elconque M de cette cubique. 11 est clair qu'il existe une relaalgébrique enlre ), et [J., et cette reSalion doit être du second
gré par rapport â chacune des variables ; elle est donc de la
rme
peat encore s'écrire
l ii'(Ai'-h A,>-(- A,)
) -Hfi(Bl'+B|À-t-C,)-i-C:^'-HC,^ -
Si la droite de coeflicient angulaire ),, issue du point A, est
tangente en un autre point à la cubique, les deux valeurs correspondantes de [X doivent être égales. Par suite, les coefficients angulaires des tangentes issues de A sont les racines de l'équation du quatrième degré
\ R(X) = (Ba«-+-B,X-i-B,)« ^'^^ I - 4(AX«-h AiX -f- A,)(CX>-f- C|X + Cj) = o.
De même, les coefficients angulaires des tangentes issues d^ point B sont les racines de Téquation
^^^ 1 -4(A|JL^^-B|JL-^G)(A,JJL^^-B,JJL^-C,) = o.
Il s'agit de faire voir que le rapport anharmonique des qu^*^^^ racines est le même pour les deux équations. Comme ce rapj>^* anharmonique ne change pas par une substitution linéaire, la j>^^^ position sera évidemment établie si l'on démontre qu'on peut, p une substitution linéaire de la forme
aX -+- 6 , afi-h p
cX-t-rf' ^ YUL-+-8'
ramener la relation (17) à une relation symétrique en X et [x. Choisissons pour cela, ce qui est toujours possible, les coefficients des deux transformations, de telle façon que, pourX = o, l'équation (17) ait une racine double infinie en u, et, pour u = o, une racine double infinie en X. Dans ces conditions, on a
A, = B,= o, G = C, = 0 et la relation (17) prend la forme
AX* [jl'-+- >^fJt(I^>^ -»- Al fx -^ Bi) -+- Cï= o.
