B LL

Si A|B n'est pas nul, il suffira de remplacer [x par -~ pour être

ramené à une relation symétrique. On ne peut avoir A| B=: o; on vérifie, en effet, que les deux équations R(X) = o, R,([jl) = o auraient chacune une racine double. Ce cas ne se présenterait que pour une cubique ayant un point double.

133. Considérons, comme application, les courbes de genre un représentées par une équation binôme. On a vu (n® H2) que ces

TRANSFORMATIONS RIRATIONNELLES. 2^5

courbes se partagent en quatre groupes; les équations appartenant à un même groupe peuvent, par quelques transformations simples, qui sont précisément des transformations birationnelles, être ramenées à une forme type. On peut prendre, par exemple, pour formes types les suivantes :

(B) ui = (z-a)(z — b),

Nous n'avons évidemment à nous occuper que des trois dernières équations (B), (C), (D). Si, dans Téquation (B), on pose £# = i, il vient

^t cette équation, jointe à la relation u = ^, donne évidemment xjLue solution du problème.

De même, dans l'équation (C), posons

z = a -h t^, i J vient

M* = t^(ti^a—by, 'où l'on tire

Enfin, dans l'équation (D), il suffit de poser

t l'on obtient pour u la valeur

134. Toute courbe du premier genre admet une infinité de transformations birationnelles en elle-même. La proposition sera établie, si on la démontre pour une cubique; or, dans ce cas particalier, le théorème est presque évident. Il suffit en effet de prendre sur la courbe du troisième degré un point quelconque A et de faire correspondre à un point M de la cubique le troisième point de rencontre de cette cubique avec la sécante AM .

Celle remarque* bien simple permet déjà d'intégrer Téqualioi:! d'Euler. Soient

(•20) y^ = x^ -hpx^-h qx -h r

l'équation d'une courbe du troisième degré, (a, P) les coordonnées du point fixe A, {x^ y) et {x', y') les coordonnées des points M et M'. On a entre ces coordonnées des relations de la forme

^""'^ (7=Ri(^',y,«,P);

et inversement

R et R| étant des fonctions rationnelles.

L'intégrale de première espèce, attachée à la courbe {2.0J

yjx^ -+- px^ -\- qx -\- r

devient, après la transformation (21 ), une intégrale de premi espèce attachée à la même courbe y^'^ = x^^ -{-px'^ -{- qx'^ c'est-à-dire que l'on a

dx , r dx'

J yx^-^px^-*-qx-hr J yx'^

-hpx^-h qx -h r

et, comme les deux transformations (?. 1) et (2a) sont invers l'une de l'autre, on a forcément A^ = 1 , et par suite

^x^ -+■ px^ -+- qx -h /• /a:'* -h px'^ -f- qx' -h r

Les formules (21) donnent donc une intégrale de l'équation (aS) et, comme ces formules renferment un paramètre arbitraire (a, ^), elles donnent l'intégrale générale.

Il est facile de développer les calculs. Soit

y = mx -h n

l'équation de la droite M A M'; x.x'^cl sont les trois racines de

l'équation

x^-\-px^-k- qx-\- r — {mx -\- /i)* = o.

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES. 297

On a donc

a{x -h x')-h xx' = q — imn, axx' = /i' — r.

L'élimination de m et n entre ces trois équations conduit à la lation cherchée

a(x -\- x') -h xx' = q — 9. /(r-t- axx'){p -\- a -\- x -^ x ) ,

fui contient une constante arbitraire a.

En combinant deux transformations birationnelles telles que SI. précédente, on obtient de nouvelles transformations, par esquelles ia cubique se change en elle-même. Ainsi, étant donlés deux points A et B sur cette courbe, faisons se correspondre es points M et M' tels que les sécantes BM' et AM concourent în un nouveau point de la cubique. Si le point A reste fixe et qu'on fasse varier le point B, on obtient une infinité de trans- Tormations dépendant algébriquement d'un paramètre, l'abscisse lu point B par exemple, et, lorsque B est venu en A, la transormation considérée se réduit à la transformation identique. ^insi, toute courbe de genre un admet une infinité de trans- ^^niations birationnelles en elle-même, dépendant algébriquement d^ un paramètre t,

y=Rl{x,jr,t),

' belles que, pour une valeur particulière Iq de ce paramètre, ^ ciit identiquement

*3S. Considérons encore les courbes du genre 2. Si une •^Urbe C/n, de genre 2, n'a que des points doubles ordinaires, '^ tiombre d de ces points doubles est égal , d'après la for- 'ïiule(io) (§129), fi

On peut encore trouver un faisceau de courbes rencontrant

298 CHAPITRE VI. — TRANSFORUATIONS BIRATIONNELLES.

Cm en deux points variables seulement, soit en prenant un faisceau de courbes de degré m passant par les d points doubles de C, et par 3 m points simples, soit en prenant un faisceau de courbes^ de degré m — 3 passant par les d points doubles de 0^. En repre — nant les raisonnements du n® 132, on en conclut que les coordonnées d'un point d'une courbe de genre 2 s* expriment rationnellement au moyen d'un paramètre t et de la racine carrée d'un polynôme du sixième degré K{t) ( * ).

D'une façon plus précise, à toute courbe de genre 2, on peut^ faire correspondre, par une transformation bi rationnelle, unfe: courbe représentée par une équation de la forme

(24) w« = A(/ — ai)(/ — aj) ... (^ — ag).

Si l'on pose encore / = j-, iv = (x — ai){x — ^2)y7 on voil

que la courbe (24) correspond point par point à la courbe du qua .-

trième ordre

(25) y*{X'-ai){x — aj) = A(a7 — aj) . . . (a? — ^e),

qui a un point double à Finfini. Inversement, toute courb^^^g du quatrième ordre, ayant un point double, est du genre 2. O'^astoQ peut donc prendre cette courbe pour la courbe normale d^Su genre 2.

( *) ScHWARZ, Essai de démonstration d'un théorème de Géométrie {Jourw^al de Mathématiques pures et appliquées, 3' série, t. VI, p. 111-114).