DUNE INTÉGRALE ABÉLIENNE EN ÉLÉMENTS SIMPLES
CAS DE RÉDUCTION (i).
•^Omialion des intégrales de première espèce. — Courbes ailjointea. — Intégrales *le seconde et de iroisiéme espûce. — Intégrales normales des trois eapêces, — Pjriodcs des intégrales normales. — Échange du paramétre et de l'argument iiM les intégrales de troisième espèce. — Intégrales de seconde espèce déduites de l'intégrale de troisième espèce. — Rédaction d'une intégrale quelconque !i nne partie algébrique, i, des intégrales de troisième espèce et A ip intégrales de première et de seconde espèce. — Iniégralcs algébriques. — Intégrales logarithmiques. — Intégrales de première espèce réductibles â des intégrales elliptiques.
136. Nous avons déjà indiqué sommaireinent(n"' 117) comment >i] partage les ititégrales abélicnncs en intégrales de première, Xe deuxième et de troisième espèce. Nous allons, dans ce Chapitre, C^evenir sur ce sujet, et nous proposer d'abord de former les intégrales de ces trois espèces.
Pour déterminer les inttîgrales de première espèce relatives à lane courbe donoée
de degré m, nous supposerons qu'on a eiîectué, s'il est nécesiMÏre, UDe transforma lion bomograpliique de façon que les m ISoefGcienta angulaires des asymptotes aient des valeurs dîslincles '^ijtnies. Aucune asymptote n'étant parallèle à l'axe des m, l'équa-
^ (') Auteur! i consulter ; Riemann, Théorie der Abel'ichen Faneliontn; — 'Clebsob et GoHDAN, Théorie der AbeVaehen Funclionen, Chap. IV et V ; — Abbl, '■ Sur l'intègralion de la formule d ■ tiont enlièrei.
tîon (i) renferme un terme en w"*, et peut s'écrire
(i') F{z, u) = Aoa'«-^ AiM'»-» -+-. . .4- A/a"»-'-i-. . .-+- A^ = o,
Ao étant une constante et A/ un poljnome en ;; de degré tau plus. Les m valeurs de u pour une valeur de z de module très grand sont fournies par m développements distincts, tels que
Ui = a Z -i- Œi -{- ~ -+- , . . {i = 1,1, m).
Soit
\ <f{z,u)dz
une intégrale abélienne relative à cette courbe. Il est évident que, si cette intégrale est de première espèce, c'est-à-dire reste finie pour toute valeur de 5, la fonction rationnelle cp( 2, {/) satisfait aux conditions suivantes :
1" Pour des valeurs infinies de z, elle est de l'ordre de — ou
2® Si en un point analytique (zq^ Uq) à distance finie, cp(^, u) devient infinie, elle le devient d'un ordre fractionnaire et inférieur à l'unité par rapport à —y de sorte que ce point (^o, «o)
est un point de ramification de la surface de Riemann correspondante. La même propriété a lieu pour le produit w*cp(5, w), quel que soit le nombre entier positif A*, car u reste fini pour toutes les valeurs finies de z.
D'après cela, si l'on appelle w,, Wo? . . • , Wm les m valeurs de u qui correspondent à une valeur de z^ la somme
est un polynôme entier en z. En eflet, Pa 2 est une fonction symétrique de Us, U2, . . . , Um et, par suite, une fonction rationnelle de z. Pour faire voir que c'est un polynôme, il suffit de montrer qu'il reste fini pour toute valeur finie de z. Or un terme quelconque de cette somme uf'f{z,Ui) ne peut devenir infini qu'en un point de ramification (zq, Uq) et, dans ce cas, il ne con-
INTÉGRALES NORMALES. 3oi
tient que des puissances de ^j— — d'exposant inférieur à Tuni té; sa partie principale est de la forme
(^ — ^o)" (^ — 5o)^ (Z — Zq) «
si le point de ramification est d'ordre n — i . La somme Pa 2 dc contient donc aucune puissance entière de- ■ dans le domaine
{Z Zq)
de ce point et, comme Pa 2 est une fonction rationnelle de z, il s'ensuit qu'elle reste finie pour z = Zq,
Pour avoir le degré du polynôme Pa 2, il suffit de voir de quel ordre est cette fonction par rapport à z pour une valeur infiniment
g^rande de z. Or, <p(-3, ii) étant de l'ordre de — au moins et af de
l'ordre de ,3*, Pa 2 sera de l'ordre de z^'^ au plus. On voit d'abord <]ue, si k est égal à o ou à i , P;t 2 sera identiquement nul, car un polynôme ne peut être nul pour ;; infini, que s'il l'est identiquei3aent. Si â*^*j, Pa 2 sera de degré k — 2 au plus. On a donc, en faisant successivement k =^ o^ i , 2, . . . , /?i — i , les relations sui- %rantes :
?(-,wi)-+- ?('5,"8)-^-••.-^ (f{z,u,„) = o,
UiO{z,Ui)-h U2^(Z, Ut) •+ . . .-h Um(f{z,Um) = O, < 3) / MÎ<p(z,Mi)H- ul^{z,Ui)-^. . .-h uJ„^{ZyU,n) =Po,
\ U'P-^ (p(^, Mi)-+- WÏ'-» cp(.5, Ui)-h.. .-^U^r^ çp(^, Um)= P/,1-3,
f^o: • • • >Pô • • • ) Pm-3 étant des polynômes entiers en z d'un degré rnarqué par leur indice, ou d'un degré inférieur.
Ces équations linéaires (3) fournissent les m déterminations de y (-2, u). Pour les résoudre commodément, imaginons qu'où ait divisé ¥(Zj u) par (u — u^); le quotient est un poljnome de degré m — i en w
OÙ
Bo=Ao, Bi = AoMi-f- Al, B2= AqwJ 4- AiWi -i- A2, ...: en général B^ est un polynôme de degré k en z el Ui.
Le polynôme -~-^ — - s'annule pour u = U2y • • ^ u =^ Um i ^^ ^^
valeur pour w = M| est F^(5, M|). Multiplions la première des iT équations (3) par B;,,i, la deuxième par B,„2, . . ., la dernière 1* ^ par Bq et ajoutons-les; il reste, en tenant compte des propriétés que nous venons de rappeler,
(4) ç(^,£/0F;,(;:,ai) = Q(;5,ii,),
Q(2, ^^^ ) étant un polynôme de degré m — 3 au plus en ^ et u « ^ Q(^,Mi)= PoB;„3-^-PlB,„,-^...^-P«,Bo.
On obtiendra de même ^(5, w/) en remplaçant, dans l'équat-^* tion (4), U\ par w/; par suite, quelle que soit la racine de Téqua -^' tion (i) que l'on prenne pour w, on a
Toute intégrale de première espèce relative à la courbe (ij^ • '' est donc de la forme
ou Q{z^ II) est un polynôme de degré m — 3 au plus en z et u.
137. Il ne s'ensuit pas que toute intégrale de la forme précédente soit de première espèce. Il faut voir à quelles conditions doit satisfaire le polynôme Q(5,i/) pour que l'intégrale reste partout finie. Considérons d'abord un point à l'infini de la surface de Riemann, la valeur de u étant donnée par le développement
u = CiZ -f- «/ -H ^ H- . . . .
Par hypothèse, on a, en groupant ensemble les termes de même ^
degré,
l'équation ^rn{^jC) = o ayant w racines distinctes. On en conclut
je :e
Ja Dotaliun a'^ ( h -) îadiquaiit itue dcnvcc prise par rapport à — ■ Le coefGcîent ?,„(i, Cj) n'éLant pas nul, on voit que, si l'on remplace m par le développement qui précède, FJ,(3, «) sera de l'ordre de j""', tandis que Q(-, ") sera de l'ordre de j™-' ou d'un ordre inférieur. L'intégrale reste donc finie pour ûi^aî, quel que soit le polynôme Q(3, h).
L'intégrale ne peut, par conséquent, devenir infinie qu'aux points où la dérivée Fî,(:, u) s'annule. Ces points correspondent, comme on sait, aux points de la courbe où la tangente est parallèle à l'axe des u, et aux poiuls multiples. Soit {^oi «o) "" point de ramification où passent n feuillets; dans le domaine de «e point, les n valeurs de « qui deviennent égales à »,, sont représentées par un même développement en série
îo^H-..
cjuand ou remplace h par ce développement dans F„(2, «), le résultat est d'un certain ordre en (- — -tt)"t par exemple de l'ordre de (:; — =!>)". Il faudra qu'en remplaçant u par le même développement dans Q{5, «), le résultat soit de l'ordre de (s — z„) " ou (l'un ordre supérieur. En écrivant que ces conditions sont satisfaites pour tous les points où F),(z, u)='0, on obtient un certain nombre de relations linéaires entre les coefficients du polj-nome
Le calcul est très laborieux lorsqu'on ne fait aucune bypothèse sur les points singuliers de la courbe F{;, h) ^= o. On le trouvera dtms In Thèse de M. Elliol (') et dans l'Ouvrage de Briot. Mais si l'on veut seulement évaluer le nombre des intégrales distinctes de première espèce relatives à une courbe de genre p, on peut toujours supposer qu'on a ramène la courbe, par une transformation birationnelle, à une autre courbe dont les seuls points singuliers sont des points doubles à tangentes distinctes. Le calcul n'nfTre alors aucune difficulté.
I*} Annalej scùnl^/iguei d« CÉcolc Normale tupérieure, i' sïrie, t. VI;
3o4 CHAPITRE VII.
Prenant un cas un peu plus général, nous supposerons que la courbe F (5, u) = o, de degré m, n'admet que des points multiples à tangentes distinctes ou des points de rebroussement de première espèce.
Soit d'abord (a, b) un point simple de la courbe où la tangente est parallèle à Taxe des u; les développements du n^'ST montreut immédiatement qu'une intégrale
Qiz, u)dz
reste toujours fînie en ce point, quel que soit le poIjnom< Q(2, u). C'est aussi ce qu'on peut voir sans calcul en remarquant que l'intégrale précédente, d'après la relation
¥'^du-\-¥Ldz = o,
peut s'écrire
rQ(z,u)du
et que F^(:?, u) n'est pas nul au point («, b).
Soit, en second lieu, (a, b) un point multiple d'ordre q à tangentes distinctes. En portant l'origine en ce point, on a
r{z,U) z= Zl^rjiv, -\ -+-57-»-l(py+,^I, ^ )-+-•••»
Çç(i, c) étant un polynôme de degré q qui n'admet que des fac—^^^ leurs linéaires simples et, par suite,
Les q valeurs de w, qui deviennent nulles en même temps que ^. ^^^ sont représentées par q développements distincts
Ui= az ^ aiZ'-\- , . . (t = 1, 2, .. .,y). ^ "^
les constantes Cj , Co, . • • , c^ étant toutes différentes. Si l'on rem — ^^' place u par un quelconque de ces développements dans F^(3, u)^ ^1/' le résultat est de l'ordre de <g^~*. Il faut, pour que l'intégrale^ '^ reste finie en chacun des q points analytiques correspondan aux q branches de courbe, que Q(:î, u) soit, après la même substi
INTÉGRALES NORMALES. 3o5
lutioDy de l'ordre de^^"* ou d'un ordre supérieur. Ceci aura lieu si Q(5, u) ne contient aucun terme de degré inférieur kg — i en z et w. Cette condition est d'ailleurs nécessaire; en effet, supposons que Q(>3, «), ordonné en groupes de termes de même degré en z et u, contienne un groupe de degré inférieur
Quand on remplace u par un des développements qui précèdent, I e résultat est de l'ordre de z^, à moins que l'on n'ait ^f((i , a) = o. Si k est inférieur kg — i , il faudrait donc avoir à la fois
et le polynôme ^f( (i , c), de degré inférieur kg — i, aurait g racines distinctes. Si, au point multiple (a, 6), l'axe des u était tangent à une des branches de courbe, on aurait, en prenant ce point pour origine,
F (-5, u) = zi^ç-i h, ^j -+- •••;
le raisonnement s'achèverait comme plus haut et conduirait à la même conclusion.
Enfin, supposons que le point (a, 6) soit un point de rebroussement de première espèce où la tangente n'est pas parallèle à l'axe des u. On a, en portant l'origine en ce point,
F{z,u) = A(w — a2)î-h cp3(^, ")-f-?4('S, w)-î-...,
les polynômes homogènes ^3(3, w), '^4(2, m), . .. étant d'un degré marqué par leur indice, et cp3(5, u) n'étant pas divisible par u — oiz. On en déduit pour u un développement de la forme (a» 88)
u = (XZ -^ ^z^ -^^z^-\- . . . ^
où ^ n'est pas nul. Si l'on remplace u parce développement dans
F'ii(-2, m) = 2A{u — az)-h -2i -f- . . . , ^ Ou
résultat de la substitution est évidemment de l'ordre de z'^. Pour A. ET G. 20
3o6 CHAPITRE VII.
que rintégrale / -^rj — —r reste finie pour z = o, il faut évidem-
ment que Q(-s, u) ne contienne pas de terme constant. La condition est d'ailleurs suffisante, car Q(s, u) est alors dô l'ordre de s ou d'un ordre supérieur.
La condition est la même si la tangente de rebroussement est parallèle à Taxe des u, car on a identiquement, en vertu de la relation F^rfw + F^ rfz = o,
/Q(^, u)dz rq(z,u)du
et, en raisonnant sur la nouvelle intégrale, on voit qu'elle restera finie au point (a, 6), si Q(«, b)= o, et dans ce cas seulement. En résumé, pour que l'intégrale
FU5,a)
dz
soit de première espèce, il faut et il suffit que tout point multiple d'ordre q de la courbe F(^, w) = o soit un point multiple d'ordre q — I de la courbe de degré m — 3 représentée par Téquation Q(5,a)= o. Ceci suppose, bien entendu, que la courbe F(2, m)=o n'a pas d'autres singularités que celles qui ont été spécifiées plus haut.
138. Pour déterminer le nombre d'intégrales de première espèce d'une courbe de genre /?, il suffit, comme on l'a déjà remarqué, de considérer une courbe n'ayant que des points doubles à tangentes distinctes. C'est ce que nous allons faire. Soient m le degré de la courbe, d le nombre des points doubles; on a
Tout polynôme Q(^, u) de degré m — 3 contient ^^^ ' i^ ,
coefficients arbitraires. Eu écrivant que la courbe Q(;î, tt)=:o passe par les d points doubles, on établit entre ces coefficients d relations linéaires; il restera dans Q(^, u) un nombre de coefficients arbitraires égal à
m{m—'^) (,n — \){m — 2) , hi~f/= d=p.
INTÛGHALES NOnUALI^S. 3o7
On ne peut pas conclure de là immédiatement que la courbe iidmcl p inli^grates distinctes de première espèce; on pourrait craindre, en elTet, que les d relations établies entre les coefficients du polynôme Q(2, (/) ne soient pas distinctes. Mais te raisonnement prouve que la courbe possède au moins p întt^grales distinctes de première espèce. D'ailleurs, elle ne peut en admettre plus de /) (§ 118). Donc on peut énoncer le théorème général suivant :
A toute relation algébrique F(z, n)=o, de genre p, sont attachées p intégrales abétiennes distinctes de première espèce.
Nous disons que p intégrales d', , wj, . . . , tvp sont linéairement distinctes, s'il n'existe aucune relation linéaire à coerfîcienlâ consUnts de la forme
H>-t-Cp+, :
lù l'une an moins de ces constantes soitdilTérentc de zéro. 5! w,, V,,..., Wp sont p intégrales distinctes de première espèce, toute lutrc intégrale de première espèce est égale à
,.-t-Xp.
Remarque. — Un polynôme de degré m — 3 en ; et ii contient "~ '"~'" coefficients arbitraires; par suite, le genre d'une
