II INTRODUCTION

s'appelle la partie principale relative au point singulier a\ le coefficient A i de est le résidu relatif à ce point. Si la partie

principale se réduit à un polynôme de degré /;i en ■; , le point

singulier z ^= a est dit un pôle d'ordre m. Si la partie principale comprend un nombre infini de termes, a est un point singulier essentiel.

Dans le voisinage d'un pôle, le module de la fonction f{z) augmente indéfiniment; au contraire, dans le voisinage d'un point singulier essentiel, la fonction s'approche autant qu'on le veut de toute valeur donnée à l'avance (*).

En écartant le cas où a est un point singulier essentiel, on peut toujours mettre, dans le voisinage de ce point, la fonction /(j) sous la forme

/(;5) = (4î - a)nBo -f- Bi( j - a) -4-. . .],

<7 étant nul si le point a n'est ni un pôle ni un zéro, égal à un nombre entier positif si le point a est un zéro d'ordre y, égal à un nombre entier négatif si ce point est un pôle d'ordre — y; le coefficient Bq est supposé différent de zéro. Si (jr = o, la dérivée

logarithmique y est régulière au point a; sinon, elle admet

le point a pour pôle du premier ordre, avec un résidu égal à q.

2. Point à Vinfini. — Lorsqu'on veut étudier une fonction f{z) pour les valeurs de z de module très grand, on pose ordinairement z = —;y et Ton est ramené à étudier une fonction ^(z')

dans le voisinage du point z' = o', mais on peut aussi procéder directement. Appelons domaine du point oo la portion du plan extérieure à une circonférence C ayant son centre à l'origine et de rayon très grand R. Si Ton peut choisir ce rayon assez grand pour que, dans le domaine qui vient d'être défini, la fonction /(z) soit représentée par un développement ne contenant que des puissances négatives de z

(') E. Picard, Traité d'Analyse, i. II, p. 119.