INTRODUCTION. III

la fonction /*(:;) est dite régulière au point oc. Elle tend vers une valeur finie Ao, lorsque le module de z augmente indéfiniment. Si les premiers coefficients sont nuls et que le'développe-

ment commence par un terme en -—> le point à l'infini est un

zéro d'ordre m.

Si une fonction n'est pas régulière au point oc, on dira encore que ce point oo est un point singulier. Nous ne nous occuperons que du cas où c'est un point singulier isolé, c'est-à-dire où Ton peut prendre le rayon R assez grand pour qu'à l'extérieur du cercle C la fonction /(g) n'admette aucun point singulier à distance finie, et où la fonction /(s) est uniforme dans ce domaine. Soit C un second cercle concentrique au premier C, et de rayon R']>R. Dans la couronne circulaire comprise entre les deux cercles C et C, la fonction /(2) est uniforme et régulière en chaque point; on peut donc lui appliquer le théorème de Laurent. Comme le rayon R' peut être supposé aussi grand qu'on le veut, et que les coefficients du développement ainsi obtenu ne dépendent pas Je ce rayon, on voit que ce développement est valable pour toutes les valeurs de z de module supérieur à R. Par conséquent, lorsque le point à Tinfini est un point singulier isolé, on peut déterminer un cercle C de rayon assez grand R pour qu'à l'extérieur de ce cercle la fonction f{z) soit représentée par un développement de la forme

/(=.=iA.(i)-

La partie qui contient les puissances positii'es de z

est ici la partie principale relative an point oo. Si celte partie principale se réduit à un polynôme de degré /?, le point oc est un pôle d'ordre // ; sinon le point oc est un point singulier essentiel.

3. Bésidu à V infini, — On appelle résidu relatif au point à l'infini le coefficient de - changé de signe, c'est-à-dire — A|. Pour