OC

ce qu o

ourbe de degré ni est au plus égal

DÎr aussi directement sans difficulté. Pour

ieure soit atteinte, il est nécessaire que le polynôme Qm,

isujetli à aucune condition, c'est-â-di

l'ait aucun point multiple.

peut

que cette limite supé-

sbit

que la courbe considérée

139. Le théorème qui précède étant fondamental, il n'est peutilre pas inutile d'en donner une démonstration toute dilTérente, Ift n'interviennent pas les surfaces de Kiemann. Il suffit de monter qu'une courbe de.geiire p ne peut avoir plus de p intégrales listinctes de première espèce. C'est ce qui résulte du tliéorème oivanl:

S'il existe un faisceau de courbes algébriques rencontrant

3o8 CHAPITRE VII.

une courbe algébrique donnée en q points variables seulement^ et si Von peut disposer de ce faisceau de façon qiCun de ces groupes de q points puisse être choisi arbitrairement, la courbe donnée a nécessairement moins de q intégrales distinctes de première espèce ( ' ).

Soient F(z, u) = o réquation de la courbe donnée,

l'équation d'une courbe du faisceau et (5|, Wi ) . . . (5^, Uq) les coordonnées des q points d'intersection variables avec X; soit enfin

une intégrale de première espèce. Posons

la somme

f t:^{z,u)dz\

W= w(Zi,Ux)-^rW{Zt, Uî) -^...'^w{Zg,Ug)

est une fonction du paramètre \ qui conserve une valeur finie^:^ pour toute valeur de X. On a d'ailleurs

<5nY dZi dZq

des relations

c)F dui à^^ dui

dui dk dzi dk '

df dzi df du,-

du, ^ / â^ dz, cM; dui\

ôzi cCk du dz

on lire pour -^ une fonction rationnelle de s/, w/, A

-^ =-l\{Zi, Ui.l).

Par suite, ->>- est une fonction rationnelle et symétrique des

(') La démonstration suivante est due à M. Picard {Bulletin des Sciences mathématiques^ 2" série, l. XIV; 1890).

INTÉGRALES NORMALES. SoQ

couples de valeurs (^i, Wi) ... (Zg, Uq), Elle se réduit donc à une fonction rationnelle de \ R(^)î or l'intégrale d'une fonction rationnelle

devient infinie au moins pour une valeur de X, à moins que R()v) ne soît identiquement nul. C'est ce qui arrive nécessairement ici, et la somme W est constante (' ). On a donc

dz

S'il existe q intégrales abéliennes distinctes de première espèce

^\— i ?i (-2» u)dz, wt = / «pj(>5, u)dz,

=J^q{^il^)dZy

on aura de même

dzi

dz.

rf>5i

?9(>5l,"l)-^ -^"--^^qiZqjUq)

dz d\

Comme les points (si, Mi), . . ., (5^, w^) sont variables avec X, il faudra donc que l'on ait

<?l(-2l,Ml) ?j(^l,W|)

et puisque, par hypothèse, on peut choisir arbitrairement un des groupes de q points, ce déterminant A devra être nul, quels que soient les q points (s,, Wi), . . ., (Zg^ Uq). Il est clair que ceci ne peut avoir lieu si les q fonctions cp(.5, u)

(') C'est un cas particulier du théorème d'Abel, qui sera étudié plus loin.

3lO CHAPITRE Vil.

sont linéairement disliocles. En elTet, considérons les i du premier ordre, obtenus en siipprimanL les éléments de la dernière colonne, par exemple ; si tous ces mineurs ne sont pas identiquement nuls, quels que soient les points {;,, »,), •••t{^f-tyUf^), prenons ces tf — i points de façon que l'un au moiDS de et neurs soit dilVérent de zéro. En développant A par rappo] éléments de la dernière colonne, ou a

\,, . . . Ay étant des constantes dont une au moins n'est pas nulle. Cette relation ayant lieu quel que soit le point {zç, Uç), on voit que les )j fonctions ft (s, u), . . . fi/iz, «) ne sont pas linéairement distinctes. Si tous les mineurs du premier ordre de i étaient identiquement nuls, on raisonnerait sur un de ces mineurs comme on a raifionné sur A, et ainsi de suite. On arriverait, dans tous les cas, à établir une relation linéaire à coefficients constants entre g'{tf<r/)i\es fonctions »,, '^j, . . ., (p^; ce qui est contraire à l'bjpothése. La proposition énoncée est donc établie.

Gela posé, supposons qu'une courbe de genre p, n'ajant que des points doubles ordinaires, possède plus de p intégrales distinctes de première espèce. Le polvnome de degré m — 3 le plus général s'annulanl pour les coordonnées de ces points douilles sera une fonction linéaire et homogène de/> + i coefficients arbi-

s au moins. On

pour

à faire passer la courbe Q[z,u) = sur la courbe donnée F {z,u) = tion seront au nombre de

a. disposer de ces coefficients de façon

' par/j points arbitraires pris Les autres points d'intersec-

- 3 ) - arf -

Par ces p — a points et les d points doubles de la courbe donnée, on pourra faire passer un faisceau de courbes de degré m — 3, chacune des courbes du faisceau rencontrant la courbe donnée en p points variables seulement, et cela de telle façon que l'une des courbes du faisceau soit la courbe déterminée tout à l'heure, qui passe par p points choisis arbitrairement. Il suit de là que la courbe F(;, ii) = o aurait moins dep intégrales de première espèce, et nous avons vu qu'elle en a au moins p. Cette contradiction démontre le théorème.

. Ëtant donnée une courbe algébrique Cm n'ayanl que des doubles ordinaires, on appelle courbe adjointe toute i passant par les points doubles de la première. Les intégrales de première espèce sont fourntes, on vient de le voir, par les courbes adjointes du degré m — 3 ^ ces courbes adjointes Cn,a rforment un système/) — i fois indéterminé et sont comprises dons piiie équation de la forme

i p polynômes Q,(j,^) étant linéairement indépendants. Par

^p — I points pris à volonté sur C, il passe une courbe adjointe de degré m — 3, et une seule en généra). Par/ï — i + h points pris au hasard sur C, (A >■ o), il ne passe en général aucune courbe adjointe de degré m — 3. Enfin, toute courbe adjointe C„,a rencontre la courbe C en 2/j — a points variables, en dehors des points doubles. On a, en effet, d'après l'espression du nombre/»,

P Pour donner un eicraple simple, prenons une courbe du qua- Irièmc ordre C, ; les courbes adjointes sont ici des lignes droites passant par les points doubles de C,. Si C, n'a pas de point double, toute ligne droite est une courbe adjointe; il y a trois intégrales distinctes de première espèce. Si C< a un point double, les courbes adjointes sont les droites passant par ce point; il y a deux intégrales distinctes de première espèce. Lorsque C, a deux points doubles, il y a une seule courbe adjointe d'ordre m — 3, la droite qui joint ces deux points et, par suite, une seule intégrale de première espèce. Enfin, si G» avait trois points doubles, il n'y aurait plus de courbe adjointe du premier degré ni d'intégrale de première espèce.

Hune nature quelconqi Tourbe représentée pi légrale abélienne

lu. Si la courbe donnée C„ présente des points singuliers ;, on appelle encore courbe adjointe toute une équation y(3, u) ^= o, telle que l'in-

iste finie en tous les points singuliers de la courbe donnée;

Q(;;, u) est un polynôme adjoint. On suppose toujours, comme plus haut, que tous ces points singuliers sont à distance finie. Cette condition est indépendante du choix des axes, ou, d'une façon plus générale, la définition précédente est projective. Imaginons, en effet, qu'on effectue une transformation homographique

az' -\- bu'-\- c a'z'-hb'u'-i-c''

a'z'-hb'u''+-c' az'-hb'u'-^c

la courbe considérée C^ se change en une nouvelle courbe C'„, ayant pour équation

az'-^bu'-^c a'z'-^b'u'-hc'\ ^Q^

et de même la courbe adjointe Q(^, ?/) = o de degré y. se chang'^ en une nouvelle courbe de degré a

/\ f^// ^^ , » , fff. n^..r^f az' ->r bu' -\- c a' z' -^ b* u' -k- c' \

(7) ^{z',u')=z{a'z'-\-b''u -+-c')IaQ ( -^, j^r-, ,^ "w-, 77-7 li

^ ^ ^ ^ \a z -\- b u -\- c" a z -ir b" u ->r ff I

Soient encore (a, p) un point multiple de Cm et (a', ^') le poini correspondant de C'^. Tout revient à faire voir que, si l'intégrale (5) reste finie au point (a, P), il en est de même de Tintégrale

'^(z\u')clz'

au point (a', P'). De la relation (6), on tire

ou, en tenant compte de la relation F'.dz + F^du = o,

D'ailleurs, un calcul facile donne

D(?, u) ~ (a'z'-h b'u'-hcy

(a'-SH-^'a'^-c')»'

INTÉGRALES NORMALES. 3l3

A désignant le déterminant de la substitution liomographique. On déduit de là

\cfz' I dz

il \ient enfin

rq(z,u)dz ^ ^ r <^{z\u)dz'

J Fa(^»") J (az'-hb''u'-^c'')\^-^+^fu'{z\u'y

Puisqu'au point (a', [i') correspond un point (a, p) à distance finie, le facteur a'^z' -\- b'^ u' -^ c'^ n'est pas nul pour 5'= a', u'= P' et, par conséquent, l'intégrale (8) reste finie au point (a', P') si rintégrale (5) reste finie au point (a, p) et inversement.

142. On peut obtenir, par des opérations rationnelles, les relations auxquelles doivent satisfaire les coefficients d'un polynôme adjoint Q(:î, //)('). Ces relations sont linéaires, et leur nombre est

égal à ^^ '- p pour une courbe de degré m et de genre

p. Les courbes adjointes du degré m — 3 fournissent toujours les intégrales de première espèce et forment un système (p — i) fois indéterminé. Enfin, toute courbe adjointe de degré m — 3 rencontre la courbe Cm en 2/? — 2 points distincts des points multiples. Nous allons montrer, en effet, que dans toute transformation birationnelle, le système des points d' intersection d'une courbe adjointe de degré m — i et de la courbe proposée se change en un système analogue relatif à la seconde courbe. Soit Q(^, u) une courbe adjointe de degré m — 3 relative à la courbe F(:;, w) = o; une transformation birationnelle change l'intégrale de première espèce

Q(5, u)dz

rQ{z,ii)d

(*) NoTHER, nationale Ausfukrung der Operationen in der Théorie der algebraischen Functionen {Mathematische Annaienj l. XXin,p. 3ii; 1884 ); Raffy, Thèse de Doctorat ( Paris, i883) ; Tikhomandritzky, Esquisse d'une méthode pour déterminer le genre et les courbes adjointes d'une courbe algébrique donnée au moyen des opérations rationnelles {Bulletin des Sciences mathématiques, 1893; Annales de l'École Normale, 1893).

3l4 CHAPITRE VII.

en une nouvelle intégrale de première espèce

Qt{z\u')dz'

Qi (z'y u^) étant un polynôme de degré [jl — 3 adjoint à la nouvelle courbe de degré jx, qui a pour équation ^{^^ a') = o. On a donc

Q(4g, u)dz __ Qi(V, W)dz'

(5, u) et (^, u!) étant les coordonnées de deux points correspondants. Supposons, ce qui ne restreint pas la généralité (n®lS8), que les points d^intersection de la courbe C et de son adjointe, autres que les points multiples, correspondent à des points ordinaires de C et inversement. Cela posé, soit {zq^ Uq) un point d'intersection des deux courbes

distinct des points multiples, et (z'^, u'^) le point correspondant de la seconde courbe. On peut toujours choisir les axes de façon qu'en aucun de ces points les tangentes ne soient parallèles au^ axes ; aucune des expressions

ne sera nulle, et, comme Q(^oj Wo) = o, on doit avoir

et aussi, par suite,

d'après l'identité

dz' du'

Ceci ne peut avoir lieu que de deux manières; ou bien

Qi(-o»"u)=o, ou bien on a à la fois

\dz/o ' \

dz Jo"

leniière hypothèse est inadmissible, sî la transfortnaLion tbirationnelle. EnelTet, les tléveloppements àeu' — u\, z' — z'^ WneDceraienl par un terme en [z — Zo)'^ ou de degré supérieur, noisinage du point (zo, u„ ), j -' -a;, = »„(5 - 5„)ï -Ha,(5 — ;:„)>+. . . ,

rscjue le point analytique {z, u) décrirait un pelil cercle sur ^urface de Riemann, autour du point (s,,, »g)i le point (^', u') irnerait plusieurs fois autour de (z'g, u'^) et il n'y aurait pas pondancc univoque entre les points des deux surfaces, a donc nécessairement Q, (z^, »'„) =^ o, ce qui prouve que rstème des points d'intersection de T" =: o avec son adjointe o correspond à un système analogue pour la courbe iranslée. Si la seconde courbe n'a que des points doubles ordinaires, peut toujours supposer, la courbe adjointe la rencontre ip — a points distincts des points multiples; il en est donc de le de la courbe adjointe à la première. marque. — Quand nous parlons du nombre des points lersection distincts des points multiples d'une courbe et de jl adjointe, il est entendu que les coerHcienis arbitraires dont ^nd la courbe adjointe sont quelconques; pour certaines vafers partie ul libres de ces coefficients, ce nombre peut diminuer. Fcxemple, si une courbe Cn, n'a que des points doubles ordikes, une courbe adjointe peut être tangente à C„, en certains ^es points doubles. Mais ce cas doit être considéré comme un I limite, où quelques-uns des points d'intersection variables sont ns se confondre avec les points doubles.

tiS. Nous pouvons compléter dès maintenant le théorème établi )R haut (n" 122) sur tes transformations birationnellcs. Soient

h relation de genre />, et tjj{3, «), <^(^, «) deu\ fonctions rainelles quelconques de - et de u. En éliminant z et u entre la I^OD (9) et les suivantes

3l6 CHAPITRE VII.

on en déduit entre Z et U une relation irréductible

(II) *(Z,U) = o,

de genre />'. Si la transformation est réversible, on 3^9'=/?. S'il n'en est pas ainsi, on a dans tous les cas p^^p. En effet, toute intégrale de première espèce attachée à la courbe (11) se change, par la substitution (10), en une intégrale de première espèce relative à la courbe (9). Par suite, la première courbe possède au moins autant d^ntégrales de première espèce distinctes que la seconde, c*est-à-dire que le genre p est au moins égal k p'. Il est facile de montrer, par un exemple, que p peut être supérieur kp • Prenons une courbe de genre zéro, dont les coordonnées s'e"^' priment par des fonctions rationnelles d'un paramètre t

z = o(/), u=iKo,

et remplaçons dans ces formules t par une fonction rationnet- -^^ quelconque R(^, u) des coordonnées d'un point d'une courbe c^^® genre /), [p >► o). On voit bien que Ton passe de la courbe c^:^^ genre zéro à la courbe de genre/) par une transformation ratioflC^ ^' nelle, mais ici la transformation n'est plus réversible.

Une autre conclusion à tirer de là, c'est qu'o/i peut toujoui^^ '^^^ passer, par une transformation simplement rationnelle, d'uim^ ^^ ^^ courbe de genre zéro à une courbe quelconque; cette trans/o^ ^^zormation dépend d^ une fonction rationnelle arbitraire des coom^ ^^^^^' données dhin point de la seconde courbe.

Le même raisonnement prouve qu'une courbe dont les cooi*:'^^^^' données s'expriment par des fonctions rationnelles d'un paramèti^^^^^^^ est nécessairement de genre zéro, car elle ne peut avoir d'intégraC -^^^1^ de première espèce (c/. n° 130).

144. Nous allons montrer maintenant comment on peut obteni les intégrales de seconde et de troisième espèce.

Pour former l'expression d'une intégrale de troisième espèc avec les deux points singuliers logarithmiques (^i, 6,), (cfa, b nous supposerons que ces deux points sont deux points simple de la courbe, ce qui ne restreint pas la généralité, car une Irans formation birationnelle peut toujours ramener le cas général ^

ir

IXTÉGRALES NORMALES. 3l7

celui-là (§ 122). Admettons en outre que la droite qui joint ces deux points rencontre la courbe en m points distincts. Les axes de coordonnées étant choisis comme plus haut (n° 136), considérons l'intégrale

où

est l'équation dé la droite D qui joint les deux points singuliers logarithmiques et Qni-2 ^^ poljnome adjoint de degré m — 2. Cette intégrale ne peut devenir infinie qu'aux points de rencontre de la courbe C avec la droite D ; si l'on assujettit la courbe adjointe Q/»2 (^, w) =: o à passer par les m — 2 points de rencontre autres que (ai,6|) et («2)^2)? l'intégrale n'aura évidemment que ces deux points singuliers. Dans le domaine du point (ai,6|), par exemple, on aura

et le point («i, h\) sera un point critique logarithmique de l'intégrale, qui pourra s'écrire, dans le domaine de ce point,

R(«„6.) l®g(- — «1; -4- Pi(- - ai),

Pi(5 — ai) étant régulière en ce point. De même, dans le domaine du point («2, 62)? Oï^ aura pour l'intégrale une expression de la forme

les résidus vérifiant nécessairement la relation

En divisant par R(a,.^,) cette intégrale, les coefficients des logarithmes seront respectivement + 1 et — i .

Il est facile de voir qu'on obtient ainsi l'intégrale de troisième espèce la plus générale avec les deux points critiques (^i, 6|), (^2, ^2)- Soient, en effet, l^ et I2 deux intégrales de troisième espèce avec ces deux points critiques; on peut toujours trouver un

3l8 CHAPITRE VII.

nombre A tel que la différence

n'ait plus de point singulier ; A étant choisi de celte façon, I2 — AI| est donc une intégrale de première espèce

Qm-sf-S, W)

1 A T rOm-Èi^^

dz

et, par suite, en supposant que I| est Tintégrale définie tout à l'heure, on a

rAQ,„-i(z,u)-^(),„-:i{s,u)(sLZ-+' 3k -4- y) .

c'est upe intégrale de même forme que la première.

Remarque. — Le raisonnement suppose que toute courbe adjointe de degré m — 2, qui passe par les m — 2 points de re^' contre de la courbe C avec la droite D, autres que les deux poirt^ («1, 6|), (aa, 62)? ne passe pas par un de ces 2 points. S'il était ainsi, toutes ces courbes adjointes se décomposeraient en droite D et une autre courbe adjointe de degré m — 3, car ell ^^ rencontreraient D en plus de m — 2 points. Le poljnoii ^^ Qm-2(^) if') le plus général satisfaisant aux conditions énoncé serait de la forme (as 4- ^^^ H-y) Q^^-aC^j ")» Qm-a étant un p Ij'nomc adjoint de degré m ^3, et par conséquent dépendr de/? coefficients arbitraires. Or tout polynôme de degré m —

es

it

contient

4- I coefficients ; en écrivant que la cour Q/w-2(^> '^) = o est adjointe et passe par (m — 2) points donné

on établit

— p -\- m — 2 relations entre ces coef^ "'

cients. Il doit donc rester

coefficients arbitraires.

Si la droite D ne rencontre pas la courbe C en m points di tincts , les conditions auxquelles doit satisfaire le polyno Qm 2(^î '^) sont plus compliquées; mais on peut tourner la di culte comme il suit. Prenons sur la courbe C un troisième poiiP '

("il ^a) tel que les deux droites joignanl ce point aux deux points («1, b,}, {flj, 6a) rencontrent chacune C en m points dis- ^incls. L'intégrale chercliée est égale à la diGTërence de deux inté- M^les de troisième espèce admettant rc s peclî veinent pour points ^ntitfues les points [a,, b,), [a,, b^) et (n,, bi), {aj, &,} ; cha- ^bne d'elles peut élre obtenue par la méthode indiquée.

Vi4o. Proposons- no us enlln de former une intégrale de seconde espèce, avec un seul pôle au point (<7-,, b,), que nous supposerons un point simple de la courbe. Soit

|uation de la tangente en ce point; si celte tangente D rcnitre la courbe C ea m — a points distincts du point (a,, b,), tt^grale

Qm 3(s, u) = o est, l'équation d'une courbe adjointe de degré — a passant par les m — 2 points d'intersection de C et de D les que (ot, bi), ne peut devenir infinie qu'au point (a,, b,), Ds I0 domaine de ce point, on aura

l'y anra pas de terme en i——~ • puisq itêtre nulle. L'intégrale sera donc de

i la somme des

'; — a,} étant régulière au point ((7,, b,). En divisant l'inlé- K'^lepar — A, on ramènera le résidu de l'intégrale â la valeur "+~ I. On voit, d'après ce mode de formation, que l'intégrale de JSçonde espèce avec un seul pôle peut être considérée comme s limite d'une intégrale de troisième espèce dont les deux Bts critiques seraient venus se confondre. On obtiendrait de la même façon des intégrales de seconde ese ayant un seul pûle d'ordre quelconque.

146. Intégrales normales. — Les inlégrales normales des trois espèces se définissent comme au Chapitre 111. Ainsi, toute courbe du genre p possède p intégrales linéairement distinctes de première espèce (P|, (Va, . . ., Wp, Avec ces p intégrales, on peut former une intégrale de première espèce (v^*^ dont toutes les périodes relatives aux coupures an soient nulles, sauf la période

relative à la coupure a^, que nous prendrons égale à it^sJ—i. En faisant successivement Â' = 1,2, ...,/?, on obtient ainsi les/? intégrales normales de première espèce y w^^\ w^^\ ...,w'''^. Nous conserverons pour le Tableau des périodes les notations de la page iSa.

Prenons maintenant une intégrale de seconde espèce Z,{z^u\ i,Ti) ayant un seul pôle du premier ordre en un point (Ç, r,) à distance finie, par lequel ne passe qu*un feuillet, avec un résidu égal à -|- *• Soient A| , Ao, . . . , Ay, les périodes de cette intégrale relatives a.^^ coupures «i, «a, . . . , fly,; la différence

liz, u\ ?, T.) -. [Al «^(1) 4- Aî»'^»^ -h . . .H- A^^fv'/'' J

admet le même pôle (Ç, Tj) avec le môme résidu et ses pério ^^^ relatives aux coupures ah sont toutes nulles. C'est une intégc: ^^ normale de seconde espèce

Plus généralement, nous désignerons par la notation

rec

une intégrale de seconde espèce admettant le seul pôle ($, r\) z.\ la partie principale

et dont toutes les périodes relatives aux coupures ak sont null ^^'

11 est clair que cette intégrale est complètement définie, à u:::::^^"^ constante addilive près; en effet, s'il existe deux intégrales poss--^ ^^* dant les propriétés précédentes, leur différence est une intégr^-^'^ de première espèce dont tous les modules de périodicité relat^-*^^ aux coupures Oh sont nuls, c'est-à-dire une constante.

INTÉGRALES NORMALES. Zlf

Pour trouver les périodes de ces intégrales relatives aux coupures b/if il suffit de reprendre, en le généralisant, le calcul du

n** 75. L'intégrale / w^''^dZ^'*\z, u ; ç, yi), prise le long du contour

total de la surface T' dans le sens direct, est égale, d'une part, à

2iriB)^, en appelant B^ la période de Z (5, m; $,7|) relative à la coupure bkj d'autre part au produit de air/ par la somme des résidus de

,,dZ'''Uz,u;lr,)

dz

sur toute la surface T'. En un point de ramification (a, b) à dis-

tance finie, la dérivée —1— peut bien devenir infinie, mais son

développement ne renferme que des puissances de •;; d'un

degré inférieur à l'unité. De môme, en un point à l'infini, le développement de cette dérivée commence par un terme en - d'un degré supérieur à l'unité, puisque l'intégrale Z doit rester finie en ce point. Il n'y a donc que le pôle (i,7|) qui puisse donner un résidu différent de zéro. On a, dans le domaine de ce point,

et, par suite,

P(z — ç) et Q(w — i) étant des fonctions régulières au point (S, Tj). D'autre part, en appelant ç;t(^î ") la fonction rationnelle dont l'intégration donne iv^^\ de telle sorte que l'on ait

^j^{ZjU)dZj

le développement de cette intégrale, dans le domaine du poin, (Ç, 7|), est donné par la formule

H-<irJi%;(t„^...,li=Ji;^,»,5,„,....,

ÇaK^ï 7|) désignant la valeur de la dérivée

pour ^ = i, u = 'f\. Le résidu cherché a donc pour expression

— çï'^S, Ti). Par suite, les périodes de V intégrale Z (^,w;Ç,7i) relatives aux coupures b^j b^^ . . .^ bp sont respectivement

En particulier, les périodes de l'intégrale Z( 5, « ; Ç, t^) ont pour expressions

On remarquera que toutes ces périodes sont des fonctions ratio^^" nelles du point analytique (^, 7^).

147. Les formules précédentes doivent subir des modificatio*^^ lorsque le pôle de l'intégrale de seconde espèce est un point ^^ ramification ou s'en va à l'infini. Soit d'abord ($, t,) un point ^^ ramification d'ordre r — i à distance finie. Nous désignero encore par

les intégrales de seconde espèce, qui admettent le seul pôle (Ç, avec les parties principales

et dont toutes les périodes relatives aux coupures a^ sont null Enfin, si le point (Ç, 7^) s'en va à l'infini, supposons, pour e brasser tous les cas, que ce point soit pour la surface de Ri mann un point de ramification d'ordre r — i (/• — i pouvant et

nul). Nous désignerons par Z,(z^ u; i, 7^), ..., Z (5, w; $, 7|), . les intégrales de seconde espèce qui admettent pour pôle le s^ point (Ç, 7^) avec les parties principales

INTEGRALES NORMALES. 3^3

dont toutes les périodes relatives aux coupures an sont lies.

Les périodes de ces intégrales relatives aux coupures bh s'obnnent encore en calculant le résidu de la fonction

w^^-Cs, u) ll^

atif au point (Ç, /i), ce qui n'offre aucune difficulté. Il nous ffira d'énoncer le résultat: Soit (Ç, vi) un point quelconque la surface de Riemann , par lequel passent r feuillets,

1 tu

développement de V intégrale de première espèce {v^^\z^ u) ns le domaine de ce point, r étant égal à i si le point ($, ï^) st pas un point de ramification et z — oo devant être rem-

icé par -• Les périodes de V intégrale de seconde espèce

(5, m; i,Ti) relatives aux coupures 6|, èjj • . . , />p sont res- ■ vivement

» quantités 'fA'(ij')^) ne sont plus ici les dérivées successives rintégrale de première espèce {v^^^(z^ u); leur significalioa uelle résulte du développement (12) écrit plus haut pour cette 5grale.

48. L'intégrale normale de troisième espèce n|'^ (:?, u) se init exactement comme au n" 77. Dans le domaine du point t/), elle est de la forme

log(^-r)-^P(^-$') dans le domaine du point ($, 7^), de la forme

V(z — Ç') et Q(^ — ç) étant des fonctions régulières; enfin les périodes relatives aux coupures a^ sont nulles. Les périodes relatives aux coupures bh se calculent comme au n** 78. On trouve ainsi que la période de l'intégrale n|'ïj (5, a), relative à la coupure b/i, a pour valeur

,^(/i)(JV/)-iv<>^)(î,r,)

dw(à)^

l'intégrale étant prise le long d'un chemin situé sur T' ne rencontrant aucune des coupures a^, b^, Ch- Il est à remarquer que cette expression de la période reste la même, quelle que soit la position des points critiques logarithmiques.

De la définition de l'intégrale normale de troisième espèce résultent immédiatement quelques propriétés :

i" On a identiquement, quels que soient les points (i, ^»)^

(iSV),(i..TH),

En effet, la somme précédente est une intégrale abélienne qui ts'^ plus de points singuliers; c'est donc une intégrale de premi^^^ espèce. D'ailleurs, les périodes relatives aux coupures a/ so^^ toutes nulles; elle se réduit donc à une constante. Or, si l'on f^*^ coïncider le point (v, 11) avec le point (jo, Uq), origine des ir» *^' grales, le premier membre est évidemment nul.

2** Si l'on fait dans la formule précédente $, = ç, Tji =:r Tj -» ^ reste

11,? 'i' n'^TO)

ae

formule qui résulte d'ailleurs immédiatement de la définition.

3'' L'intégrale normale de troisième espèce n[|'5,] dépend Aeu\ paramètres {\, r,), ($', r/). On peut, d'une infinité de nièrcs, la mettre sous forme d'une différence de deux fonctio dont la première dépend de (i, 7^) seulement, la seconde de ($', Prenons en eflVt un point analytique arbitraire, mais supposé fî ^^ (^^, Tj,). On a, d'après l'identité (i3),

ii;|:;5'; = n:|:;î;;,-ii,it,^;,,

ce qui démontre la proposition énoncée.

4° La formule (i3) peut êlre généralisée. Prenon: ]HelcoD<]ue de points analjtiques (^i, t^i), (Ç^, tij), .

;:*-.--fe

ii9. En défmilîve, c'est toujours par la considération d'InU'grales de la forme / UiiV, où U et V sont deux intégrales abéliennes, prises le long du contour tola! de T', que nous avons obtenu les périodes. Jusqu'ici nous avons toujours pris pour U une intégrale de première espèce. Prenons maîiiteiiunL pour U une intégrale de troisième espt^ce avec les points criiiques {S,Ti), ^5', T,'), el pour V une autre intégrale de troisième espèce avec les deux points critiques (a, ^), (a!, ^')f différents des premiers.

La fonction U -j^ n'est pas uniforme sur la surface T'; pour la uniforme, nous tracerons sur T' une nouvelle coupure I. ,1 les points (=.n), (S', -l')-

Fig, 88.

iur la nouvelle surface T* la fonction U -r- est uniforme ei on

ds

lui appliquer le théorème général de Cauchj, L'intégrale 3rfV, prise le long des coupures «,, tj-,, c-,, dans le sens direct, toujours égale à

±ix.^

Kl Bv désignant les périodes de U aux coupures «v et ùy, el

K, les périodes de V aux mêmes coupures. Reste à évaluer

■mégrale / U(A' le long de la coupure L. En deux points infîni-

'Cnt voisins m, m 'sur les bords opposés de la coupure, les valeurs

U dilTèrent de 2-Ki

l'intégrale se réduit donc à