ICI I

tj)

En effet, l'intégrale TUrfV, prise le long d'un petit cercle entourant chacun des points critiques (Ç, ti), ($', V)? tend vers zéro avec le rayon de ce cercle. Dans le voisinage du point (5, t^), par exemple, cette intégrale est de la forme

V{z — \) désignant une fonction régulière dans le domaine du point z=^\. Posons

Q(5 — Ç) étant régulière au point $ et nulle pour 3 = $; l'intégrale proposée devient, en intégrant par parties,

Dans la seconde intégrale, -^-— — —^ est régulière au point \ c^»

par suite, l'intégrale prise le long du petit cercle est nulle. Quant à la première partie

iog(^-$)Q{^-0,

on doit prendre l'accroissement de cette fonction lorsque z décrit un petit cercle autour de $, partant d'un point Ç-f-p ^^ )' revenant; cette quantité a pour valeur 27w/Q(p) et tend vers zéro avec p.

dW 1

Quant aux résidus de U -77 sur la surface T'', on les évalue

comme plus haut; ils ont pour somme

rintégrale étant prise suivant un chemin qui ne rencontre aucune

s coupures a-,, 6,, Cv, L. Il vient Jodc finalEmecL

Les intégrales qui figurent dans le premier membre de cetle égalité sont supposées prises suivant des chemins ne se coupant |»s entre eus et ne franchissant aucune des coupures Ov, iv, c,.

/.-«.fi-. /.(5-.T1)

On voit que la différence f rfU — / dV s'exprime tou-

lurs au moyen des périodes des deux intégrales U et V. Supposons maintenant que U et V soient des intégrales normales

U = n[;5', V = DÏ;!';

On a Av =

C'est la foi

. il reste

iule fondamenlale que nous voulions établir; elle est connue sous le nom de formule de l'échange du paramètre et ée l'argument dans les intégrales de troisième espèce.

Cette relation ayant lieu, quels que soient les points (Ç, 7^), (Ç, V). («, |i), (st', P') , remplaçons-y {(x, p) par le point {=„, «.), Uigine des intégrales, (a', p') par (3, h); il vient

I remarquant que nj;,^ (sj, «o) ^ o. Si l'on ne tient pas compte !s chemins suivis par les variables, l'égalité précédente a seuleit lieu à des multiples près des périodes.

iSO, Dans l'intégrale normale de troisième espèce

considérons les points analytiques (5', V), (:, ») comme donnés, et le point analytique (5, i"j) comme variable. Celte intégrale devient une fonction du point analyliciue (ç, t,), fonction dont

328 CHAPITBB VII.

les propriétés résultent immédiatement de la formule précédente (i5). On voit que, considérée comme fonction du point analytique (^, t^), l'intégrale II est encore égale à une intégrale de troisième espèce avec les points critiques logarithmiques (2, u), (5o, Wo)« Par suite, la dérivée

est une Jonction rationnelle dupoint analytique (Ç, t^)^ admettant comme pôles les points de ramification et les points (s, u)t {zq, Wq), ces derniers étant des pôles du premier ordre avec des résidus égaux à — i et à -h i respectivement. Un point critique d'ordre q — 1 ne peut être un pôle d'ordre supérieur kq — i . Les dérivées successives

sont de même des fonctions rationnelles du point analytique (^, n ) admettant pour pôles les points (>3o, Wo), {^t u) et les points d ^ ramification. Il est clair d'ailleurs qu'elles ne dépendent p^^^ de ($', V)» Ces dérivées successives sont identiques, nous allom ^ le voir, aux intégrales de seconde espèce définies plus haut. "

Soient (a, b) un point à distance finie de la surface de Riemano ^ distinct d'un point de ramification, et 4>(Ç, t^) l'intégrale d^^ seconde espèce suivante, où (Ç, r{) désigne le point analytique? variable

A|, A2, . . ., Av^.i étant des constantes quelconques. Cette intégrale admet un seul pôle, le point (a, 6), et la partie principale relative à ce pôle est

Ai Aj 1,1. . . V .

Considérons l'intégrale

étendue au contour total de la surface T' dans le sens direct. On peut lui appliquer le théorème de Gauchy, puisque, nous venons de le voir, u\;^'j considérée comme une fonction du point analytique (Ç, 7^), est identique à une intégrale normale de troisième espèce.

Les périodes des deux intégrales 4>($, ti) et n|];j^ relatives aux coupures a/ sont toutes nulles; par suite, Tintégrale précédente, étendue au contour total de la surface T', est égale à zéro. On en conclut que la somme des résidus de la fonction

sur toute la surface de Riemann est nulle. Ces résidus ne peuvent provenir que des pôles (z, m), (^o, Mq), (a, b). Les résidus provenant des deux premiers pôles sont respectivement

Pour avoir le résidu relatif au pôle (a, 6), écrivons les développements de <^(i, tj) et de -^ dans le domaine de ce point

,« . Al Aj 1. 2. . .V Av-»-i T., >.v

où / -^ j désigne la valeur que prend la dérivée d'ordre i.

rf'n-'-"'

donc

^. pour Ç = a, •/! = 6. Le résidu relatif au pôle (a, b) est

On a, par conséquent, en écrivant que la somme des résidus est nulle, et remarquant que ^(^o? "o) = o,

Remplaçons ^{zj u) par sa valeur; il vient, en ordonnant par rapport aux coefficients A| , . . . , Av^.i ,

A.[z(.,«;a,6)-(-^°)jH-A.[z'(.,«;a,6)-(|5)J^...

+ Av..[z(v>(^,«;«,6)-(^)J=o.

Cette égalité devant avoir lieu, quels que soient les coefficients constants A| , A2, • • . , Av^.| , on en conclut que Ton a

Remplaçons maintenant (a, h) par (i,rj) pour ne pas multiplier les notations; les égalités précédentes deviennent

Z'(-, w;Ç,rJ =

ZM(z,u^\,r^) =

VH-1

Ainsi, lorsque le point (Ç, vi) est un point ordinaire de la s face de Riemann à distance finie, les intégrales normales seconde espèce Z{z, m; Ç, r,), Z'(^, u; Ç, tj), ..., Zf^^(5, U] 5,7^), qui admettent ce point pour pôle sont les dérivées successi

de V intégrale normale de troisième espèce U^*^' par rapport

paramètre ($,^1).

Par suite, toutes ces intégrales normales de seconde espèce s des fonctions rationnelles du point analytique (S, tt^), admet pour pôles le point (Zy u) et les points de ramification, et 1' aussi

3Ves au

ont

Nous avons déjà obtenu, au Chapitre II, des résultats identiqu< sauf une petite différence de notation, pour les intégrales liyp< elliptiques J^ (i;o«>n""43 et 46).

es, îr-

ISf . Lorsque le point (a, b) est un point de i-amiflcalîon à disince finie, les dérivées successives de l'intéçrale normale g\'^ tar rapport au paramétre (Çi^i) deviennent infinies en ce point. >e même, ces dérivi^es sont nulles en tous les points à l'infini le la surface de Rieroann; elles ne peuvent donc représenter les itégrales normales de seconde espèce qui admettent pour pôle un point de ramiltcalion ou nn point à l'infini de la surlacc de Rieoann. Il faut alors remplacer ces dérivées par les coefficients du

îéveloppemenl de nl'^ suivant les puissances de(S — n)'' dans le domaine d'un point de ramification {a,b) d'ordre r — t à distance e, ou par les coefficients du développement suivant les puisces de T dans le cas d'un point à l'infini ('). Ainsi, soient (n,i) point de ramification d'ordre /' — i à distance finie et

-nv^,(î-

B développement de l'intégrale de troisième espèce dans le doue de ce point. Les coefficients II,, II,, .... D,^, , ... sonlpréisément, à des facteurs numériques près, les intégrales normales

I seconde espèce définies plus haut, qui admettent pour p6le

point de ramification {«, b). Ainsi on a

Enfin, si le point {a,b) est un point de ramification d'ordre — I à l'infini (/■ — i pouvant être nul), soit