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h-iïï-

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développement de l'intégrale de troisième espèce dans le doline de ce point. On démontrera, comme plus haut, que l'on a

i)nv+

{') E. GounSAT, Sur la théorie des intégrales abé/ienn< ■ndat, t. XCVII, |>. iaBr>

' { Complet

33a CHAPITRE VII.

Ces formules sont encore à rapprocher des formules obtenues au no43.

152. Quelques considérations de passage à la limite permettent de prévoir et d^expliquer la plupart des résultats qui précèdent. Considérons d'abord deux intégrales normales de troisième espèce

aérant un point critique commun (Ç', V) et deux points critiques infiniment voisins (Ç, r, ) et (Ç -f- A, tj + X:), que nous supposons à distance finie et distincts des points de ramification. La différence

est encore une intégrale abélienne avec deux points critiques logarithmiques infiniment rapprochés ($, t^) et ($ -4- A, tt^ -+- k). En tout autre point (a, b) de la surface, cette intégrale est régulière Faisons tendre h vers zéro ; la différence

a pour limite -^r» de sorte que, à la limite, l'intégrale en que^

tion admet le seul pôle (Ç,7i) avec la partie principale — — ►• D'aiJ

leurs, toutes les périodes de w relatives aux coupures a^ so nulles; cette intégrale lo a donc pour limite l'intégrale normal de seconde espèce Z(-5, u\ $, tj), c'est-à-dire que l'on a

ou encore

Les périodes de Z relatives aux coupures bh se déduisent de \^ même façon des périodes de H. Ainsi la période de l'intégrale u^

relative à la coupure b^ est

expression qui a pour limite

lorsque h tend vers zéro.

On verrait delà même façon que les intégrales Z'(3, «; Ç, r,), ..., Z^"^^ (5, w^ Ç,rj) peuvent se déduire de l'intégrale Z(-5, «; Ç,rj) par des différentiations successives relativement au paramètre ($,7^).

Remarquons aussi que les propriétés précédentes deviennent évidentes pour une courbe de genre zéro. Alors toute intégrale abëlienne est égale à l'intégrale d'une fonction rationnelle

jMt)dt,

t désignant le paramètre qui correspond uniformément aux points de la courbe. 11 n'y a pas d'intégrale de première espèce; l'intégrale de troisième espèce avec les deux points critiques S, Ç' est

nl = .og(f3f);

les intégrales de seconde espèce avec le pôle ^ = Ç sont respectivement

^<''«>=.-l' z'(''î)=(T=lrj7,

Zè \ é k l.»iC**ar

On a bien

153. On peut établir les propriétés de l'intégrale normale de troisième espèce par une autre méthode, qui offre une application intéressante d'une formule de M. Hermite relative aux fonctions

représentées par des intégrales définies admettant des coupures( * ). Donnons-nous les limites de l'intégration (z^j Uo)j (Zj ce), le chemin d'intégration L joignant ces deux points, ainsi que l'un des points critiques (Ç', t/) supposé fixe; Tintégrale

dz

a un sens bien défini tant que le point variable (i? ti) ne vient pas sur le chemin d'intégration.

Nous admettrons, ce qui est indispensable, que c'est une fonction analytique du point (i, t;) sur tonte la surface de Riemann; c'est justement ce qu'établit la formule (i5).

Fig. 89.

'V-yV

Pour voir ce qui se passe quand on franchit la ligne L, con dérons deux points infiniment voisins (Ç, t;), (Ç|, t),) de part d'autre de cette ligne, et un chemin d'intégration tel que L', v»

dW

sin de L {fig* 89) ; la fonction ^^ est holomorphc à Tintéri

du contour formé par les deux lignes L et L' lorsque le po (Ç, Ti) est à gauche de L, comme l'indique la figure. Par coni quent,

ic«r

oint sé-

dz

rflll'^'

Au contraire, la fonction — ^— admet le point (çi, 7i,) com pôle du premier ordre avec un résidu égal à — 1. [On suppo:

(») Hermite, Journal de Borchavdl^ t. XCI; K. Goursat, Acta Mathem °' tica, t. 1, p. 189.

que le point fixe (Ç', r/) est à l'extérieur du contour formé par les deux lignes L et L']. On a donc

ITZl,

Retranchons ces deux égalités membre à membre ; il vient

Tous les éléments de l'intégrale du second membre deviennent nuls lorsque les points (Ç, i\) e\.Çi^^i\^) viennent coïncider avec un même point de la coupure L; il reste donc

06) . 4x-4^ = iT.i,

cette égalité exprimant qu'en deux points infiniment voisins de part et d'autre de L, les valeurs de n|'^ difl'èrent de 27:/. Cette ligne L n'est d'ailleurs qu'une coupure artificielle pour cette fonction ; en déformant infiniment peu le chemin d'intégration, on voit qu'elle reste régulière en tous les points de L, sauf aux deux limites (^, u) et (^o, «o)* Si le point (5)^) est très voisin du point (2, £/), on a

!?(:;. Il] Ç, 7\) désignant une fonction qui reste finie pour 5 = $, ^# = T|. On en conclut que, dans le domaine du point ( 2, «),

<^(Ç, Ti) restant finie au point (5, it). On a, de même, dans le dorkiaine du point (zo, 2/0),

La fonction étudiée reste donc finie en tout point (Ç, 7^), sauf aux points {Zy u), (zq, «o)> où elle se comporte comme on vient de le voir.

U reste à voir comment varie cette fonction lorsque le point ^;, 7i) décrit un contour fermé quelconque, en particulier, lorsque

ce poial franchit les coupures a/ et 6/. Nous avons vu plus haut (n^ 144) comment on pouvait former une intégrale de troisième espèce ayant les deux points critiques logarithmiques (i, ti)^ (Ç', r/); cette intégrale est de la forme

(5oiW»)

S(>3, u\ i,7)) étant une fonction rationnelle de (2;, li) et aussi de (Ç, 7|). Pour passer à l'intégrale normale de troisième espèce, il faut ajoutera cette intégrale certaines intégrales de première espèce. Soit Ci>/(5> T^) la période de l'intégrale précédente à la coupure Qi^ période qui est égale à l'intégrale / 8(3, «; ç, Tj)(/v, prise le long de la coupure (6/),

^{z,u\\,r,)dz.

L'intégrale normale de troisième espèce est égale à en représentant par j Oi{z^ u) dz l'intégrale normale de prem

«te

espèce \v

La période

considérée comme fonction du paramètre (i»"io)) est représe par une intégrale définie admettant la coupure (6/). Lorsqu point variable (ç, v^) ne franchit pas cette coupure, «/(Ç, i{) r une fonction uniforme du point (Ç, r,) el, en reprenant le rais nement de plus haut, on voit qu'en deux points infiniment voii de part et d'antre de la coupure bi les deux valeurs de co/(Ç diffèrent de 'ir^i. Cela posé, reprenons la fonction

lée le îsie mins

le point (5, 11) dirent un chemin fermé quelconque ne traver- H>^t aucune coupure bj, ni la ligne L, chaque élémeul de l'inLégrale, et, par auile, l'inltigrale elle-même reviennent à leurs valeurs inÎLiales. Au contraire, en deux poinls infmiment voisins de part eL d'autre de la coupure A,-, les éléments correspondants des deux intégrales dilTèrent de tpiCa, h). Les intégrales ellesmes diffèrent de

J ' <ii{:,u)dz=. J ' ,li^"

En résumé, l'intégrale normale de troisième esptce, considérée iinme fonction du paramètre (ç, y,), présente les caractères sui- Tanls :

" Elle reste finie en tout point de la surface de Hiemann, sauf aux points (-, ii), {:<,, «u) qu'elle admet pour points critiques rithmiques;

' Toutes les périodes relatives aux coupures o, sont nulles, tl la période relative à la coupure bi est égale à

Ces propriétés caractérisent l'intiégrale normale de iroisièmr fespèce, avec les points critiques logarithmiques (;, h), (s,,, «,), In a donc

Pour déterminer la constante C, remarquons que, lorsque le [>iDt mobile {S, t\) vient en (ç', r/), le premier membre est nul. reste donc l'égalité

II) est identique à la formule (i5).

15t. Avant de revenir aux intégrales abéliennes les plus généales, il nous faut expliquer le sens d'un mot qui sera souvent imploré. Étant donné r intégrales Ç,, Çj, . , ., !^r% n'ayant aucun loint critique logarithmique, et, par suite, composées uniquement

d'intégrales de première et de seconde espèce, on dira que ces intégrales sont algébriquement distinctes s'il n'existe aucanc combinaison linéaire à coefficients constants, telle que

\V = Al Çi -I- A, Ç, -4- . . . -I- A;.Ç

ri

qui se réduise à une fonction rationnelle de z et de u (sauf, bien entendu, lorsque tous les coefficients Â< sont nuls).

Si Ton a une équation algébrique de genre />, l'intégrale précédente W admet, en général, ip périodes cycliques; pour que W se réduise à une fonction rationnelle de z et de </, il faut et il suffit que les ip périodes soient nulles, car cette intégrale est alors une fonction uniforme du point analytique (5, «), n'admettant que des pôles sur toute la surface de Riemann. En écrivant ces conditions, on a ip équations linéaires et homogènes entre les r coefficients A|, A2, . . . , A,-; ces équations admettent certainement un système de solutions, non toutes nulles, dès quer est supérieur à 2/>. Par suite, il ne peut y avoir plus de 2/> intégrales algébriquement distinctes de première et de seconde espèce.

Nous dirons que 9.p intégrales algébriquement distinctes Ç|, Ç27 •• •♦ ^2/» forment un système fondamental. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que le déterminant d'ordre 2/> formé par les {2 pY périodes de ces 2/> intégrales soit difi^érent de zéro; on aurait, en effet, pour déterminer les coefficients A/ tels que toutes les périodes de Tintégralc A| Çi +• • «-h A2;,ÎÎ2/> soient nulles, 2/> équations linéaires et homogènes dont le déterminant n'est pas nul. Toute intégrale abélienne r, n ayant aucun point critique logarithmique, est égale à une combinaison linéaire à coefficients constants des op intégrales î^i , . .., î^2;» formant un système fondamental, augmentée d'une fonction rationnelle de z et de u, 11 suffit, pour le voir, de remarquer qu'en égalant à zéro les 2/> périodes de l'intégrale

on a 9.p équations linéaires et non homogènes, dont le déterminant n'est pas nul. On en déduit donc pour les coefficients A|, Ao, ..., A2P un système de valeurs finies; ces coefficients étant ainsi déterminés, la différence r — A|Î^| — ... — A.2p^2p n'a p'ns

INTÉGRALES NORMALES. 'Hy

ie périodes, et se réduit, par conséquent, à une fonction ralionnelle de z et de u.

En particulier, toutes les intégrales abéliennes de première et de deuxième espèce attachées à une courbe algébrique de genre p se réduisent à ap intégrales distinctes.

Pour former un système fondamental, prenons pour Çi.I^a, .■-.sp les/) intégrales normales de première espèce t|,^iv'", ÎJi^=n'<^', .... Ç^=; w^p'>, et pour !;^^.| , .. ., Ç,p, p inlégrales normales de seconde espèce, Z(2, Hjfl,, />,), ..., 'L[z, u\ap,bp), admettant pour p&les p points ordinaires à distance lînie, tels que le déterminant

?i(ni.i'i)

7p(ai.

>,{<t,„bp)

ne soit pas nul (n" 139). Ces ip intégrales forment hi en un sjst/'me {fondamental. En elTet, si l'on désigne par a, , a^. . . . , Hp les p périodes d'une intégrale r relatives aux coupures a,, «], .... tip. [fl différence

outes ses périodes, relatives aux coupures as, nulles. En écri- ■vaut que l'inlégralc

-),iZ(;.H;oi,ii)-

également toutes ses périodes relatives aux coupures b/, nulles, les coefficients "l^ sont déterminés par p équations linéaires dont

déterminant est précisément i.

Il est clair qu'on peut remplacer ce système de ^p inlégrales par tin système composé Aa p intégrales distinctes de première espèce

, iVj, Wp et de p inlégrales de seconde espèce admettant

pâles du premier ordre («i, 6,), ...,{ap,bp), car les intégrales normales sont des combinaisons linéaires de celles-là, et inversement. Ou peiil aussi supposer que quelques-uns des pâles

mplc, si ces p points sont tous

confondus en un point {a, 6), on prendra, pour former un système fondamental, avec les p intégrales de première espèce, les p intégrales normales de seconde espèce

Ce système est fondamental pourvu que le déterminant

^p{a,b) (pp(a, 6)

^if-*'(a,6)

ne soit pas nul. Ce déterminant ne peut être identiquement nul pour tout point analytique (a, 6); en efiet, les éléments de la ^•ièmc colonne sont les dérivées d'ordre i des éléments correspondants de la première colonne par rapport à la variable a. D'après un théorème bien connu, pour que A| soit identiquement nul, iL faut et il suffit qu'il existe entre les éléments de la première co — lonne une relation linéaire et homogène à coefficients constants^^ l'un au moins de ces coefficients étant différent de zéro,

Ci®,(a, 6)-i-C, o,(a,i>)

Cp(j>p(a, b) = o;

ceci est impossible, puisque Çi(5, «), ..., 'f/>(^, u) sont les dérivées par rapport à z des/? intégrales normales de première espèce

une intégrale abélienne quelconque; les points critiques logarithmiques de cette intégrale sont les points de la surface où le résidu de R (5, ?/) n'est pas nul, et, en généralises points sînguli^"^ proviennent des pôles de R (v, li) et des points a l'infini. En procédait comme au n** 44, on peut exprimer I par une somme d'intégraled ^^ première, de deuxième et de troisième espèce. Soient (tt| , Pi), — ' (a^, Py) les q points critiques logarithmiques de cette intégr^'^» Ri, R2, ..., Ry les résidus correspondants de R(3, w), dont '^ somme R, -f R2 -+■• • --H Ry est nulle ; la différence

Rsll

admet plus de point crilique logarilhmique. Elle peulavoirdes pAles en nombre quelconque. Soient {a, b) ud de ces pôles et