partie principale de J dai /ejpression

du point (o, b).

lù le signe^est étendu à lous les pûles de J, est une inlégraltbélienne régulière en tous les pointa de la surface de Hiemann, l'est-à-dtre une intégrale de première «spèceX|(v" '-!-... -H î.pii''/"'. Jn en déduit pour l'intégrale 1 lit valeur suivante

= f R|i, u)ds

+ X,ivl"-H...-i- Xpip'i".

Les coefficients R^, A,, .. ., Ay sont connus immédiatement si m connait les résidus de R(r, «), et les parties principales au isinage des pôles de l'intégrale; ces coefiicients dépendent donr tlgébriqnement des coefficients de la fraction rationnelle R(2, u). n'est pas de même de Xi, . . ., ).y,; Xa, par exemple, est égal à la triode de l'intégrale I à la coupure a^, divisée par 2ni. On pourrait encore arriver à la formule de décomposition (17) le la façon suivante. Sur la surface 'f, traçons un contour fermé C liifermant à l'intérieur tous les points critiques logarithmiques ; l'intégrale; soit T" la surface limitée par C et par les bords dea «upures «v, ivj Cl- La fonction

T(£,ii) = UÏ,T,)

est une fonction uniforme du point analytique (i, t,) sur la surface T". En appliquant le théorème de Cauchy à Tinlégrale

fT{lr^)dl

prise le long du contour total de T"^ dans le sens direct, on a à calculer, d'une part, cette intégrale prise le long du contour de C et le long des coupures, d'autre part les résidus de T(ç, r^). Si Ton réduit le contour C à une suite de petits cercles décrits autour des points critiques, réunis l'un à Tautre par des fentes de largeur infiniment petite, le calcul ne présente aucune difficulté, et l'on retrouve ainsi la formule (17).

156. Toutes les intégrales de première et de seconde espèce se ramenant à 2/> intégrales distinctes, on peut ne laisser dans le second membre de la formule (17) que ces 2/> intégrales. Imaginons, pour fixer les idées, que l'on ait choisi, pour former un système fondamental, avec les /> intégrales de première espèce, p intégrales de seconde espèce, admettant respectivement pour pôles du premier ordre les p points (ai, 6| ), . . ., (a^, bp). Soient (V|,

iVij • • •» <^>î ^(^> ?^; (Ui fri ), • • •? s(^> w; (^^pi bp) ces ip intégrales. Si l'on remplace chaque intégrale normale Z^^^ par son expression au moyen des ip intégrales précédentes et d'une fonction rationnelle de z et de u^ la formule (17) peut s'écrire

-4- A, Ç( 5, M ; a,, i>, ) -+- . . .-4- Ap Ç(^, u ; «p, bp) H- Bi«^i-f- B, w'j-r. . .-h BpWp ou encore

(18) I = *(w, î^)-4-Ii-f-I,,

^{z^ u) étant une fonction rationnelle de z et de w, I| et Ij désignant deux intégrales abéliennes dont la première n'admet que des points critiques logarithmiques, tandis que la seconde I^ n'admet que des pôles du premier ordre qui sont pris parmi les p points (a,, 6|), . . ., (ap, bp).

Ces deux intégrales I| et I2 ne sont pas complètement définies,

^and oo connaît la fonction rationnelle R(:, »), car on peut ajouter à l'nne d'elles une intégrale quelconque de première espèce, à condition de retrancher la méinc intégrale de l'autre. Mais,

les points (o,, 6,). . . ., [op, bp) ont été choisis une fois pour toutes, ta partie algébrique de l'intégrale, ^{z, u), est complètement déterminée, à une constante additivc près.

Supposons, en elTet, qu'en opérant d'une autre façon, on ait mis I sous la forme

I = '\y'(s,ii)-r-l\ + V„

'i ^l 'i jouissant des mêmes propriétés que I, et I, ; on en déduit, en retranchant membre à membre,

Il est clair que les points critiques logarithmiques disparaissent dans le second membre, el la fonction rationnelle * — *' ne peut (Voir pour pôles que quelques-uns des points (o,, i,), ...,{ap, bp), p6les étant du premier ordre. Soit

partie principale de «l» — O'dans le domaine du point («,, 6,-); différence

-HiZ(;,»,o,,i,)-

-\\pZi i, u,a,„l.p)

\l régulière en tous les points de la surface de Riemann, el ses îriodes relatives aux coupures oa sont toutes nulles. C'est donc me constante, et ses périodes relatives aux coupures b/, doivent lire nulles également. En écrivant qu'il en est ainsi, on établit lire les coefficients H,, ..., H^ un système de p équations uéaires et homogènes dont le déterminant A est esseniiellcnient ifférentde zéro (n" 139). On a donc H, = H, = . . . = H^ = o, :]es deux fonctions 4> et 4>' ne dilTèrenl que par une constante, ii'tl est évidemment permis de négliger.

Il parait probable, d'après cela, que cette partie algébrique (3, u) peut être obtenue par des opérations rationnelles, c'est- •dire des additions, multiplications et divisions de polynômes. Il

ne semble pas que Ton possède jusqu'ici de mélhode générale pour efiecluer ce calcul. La question a été résolue par M. Hermite dans le cas particulier des intégrales hyperelliptiques (*); noas rappellerons succinctement sa méthode.

Étant donnée une relation de genre />, de la forme

où les quantités // sont toutes difTérentes, toute intégrale

/R(-5, u)dzj

où R(£, u) est une fonction rationnelle de z et de u^ se ramène,

par des calculs élémentaires, à des intégrales de Tune des formes

suivantes

r?dz Cz^dz rXidz

J 'W J ~ir' J X^'

P, X| , X, Q étant des polynômes, dont les deux derniers sont premiers avec leurs dérivées. La première intégrale est égale à une fonction rationnelle de z, que l'on peut calculer sans avoir à résoudre aucune équation de degré supérieur au premier, et à une

intégrale / -q> où P| est de degré inférieur à celui de Q, qui

est égale à une somme de logarithmes. De même, les intégrales

/ > / -^h— ^^ ramènent, par des calculs élémentaires, à

une partie rationnelle en z et u^ k des intégrales de la forme

Ydz

où Y est de degré inférieur à celui de X, et où X est premi^x avec le polynôme F (5) (intégrales qui n'admettent que des poia'^^s

/9ÊÊ ,,y 9 oh m- ^

une des valeurs o, i , 2, . . . , 2/?. Pour m = o, i , p., . . . , p — - * » on a les p intégrales de première espèce fv<, iV2> - • •» <^/>- Po*^^

(*) Bulletin des Sciences matliématiques, 2» série, t. VII, p. 36. Cours ^tO^ fessé à la Faculté des Sciences, rédigé par Andoyer.

INTÉGHILBS NOHHX

sïi/>, on a une intégrale de troisième espèce avec deux points tiques logarilbmiqnes à l'infini. Enfin, »i

II, =p-^q (? = !.■'. -■.,/»),

a une intégrale qui admet encore, en général, deux points ees logarithmiques à l'inGni; en choisissant convenablei éoefficii

irithmiques à l'inGni , la différence

int convenablement

- X^jp ,

Belles deux points à l'inlini pour pâles d'ordre q. En définie, l'intégrale proposée est décomposée en une partie ration- Ile en 3 et u, en une somme d'intégrales de troisième espèce, des a/» intégrales H>,,iVa, . . . , l^>, s., ■■-, Çp- Ces ay? intégrales forment bien un système fondamental. En fQtres termes, il n'esiste aucune combinaison linéaire à coefGfits constants

|, A, ,v, -*- . . . ^ Apitp M- B, ;, -H . . .-H Bpïp,

ue réduise à une fonction rationnelle de 2 et de u (sauf pour jfc=IÎ,-=::o). En effet, cette fonction rationnelle n'aurait pour bs que les points à l'infini, d'ordre p au plus, et, d'après les Hissions des intégrales Ç„ les coefficients des parties princi- ^ dans te domaine de chacun de ces pâles seraient égaun et de bes contraires; il en résulte (n° 27) que cette fonction rationle serait de la forme uQ(^), Q(;) étant une constante ou un Kmome. Or les points à l'infini sont des pôles d'ordre p H- i moins, pour une telle expression.

(87. Nous allons montrer, dans ce paragraphe, comm« tl trouver la partie algébrique '^{z, 11) d'une intégrale et let Ifficientsde la formule (18), quand on connaît les points singu- 1^ de l'intégrale avec les parties principales du développement U le domaine de chacun d'eux. Soient

=f^,(=,,Odz. ,v,=f^,iz,,i)dz.

P^fipi^.^i

p intégrales linéairement distinctes de première espèce^ ^n ^21 •••} ifp étant des fonctions rationnelles connues de z et de u. Prenons, pour fixer les idées, p points analytiques (ai, 6|), . . ., (a^, &|»), à distance finie, et distincts des points de ramification, tels que le déterminant

^/»(«i,^i), ..., ^p{Op,bp)

ne soit pas nul. On a vu plus haut (n^ 145) comment on pouvait former une intégrale de seconde espèce admettant le seul pôle

(rt/, bi) avec la partie principale •;— — ; soient

tii=Jyi(z,u)dz, ..., ^p=JXp{^,u)ds

les p intégrales de seconde espèce ainsi formées, admettant respectivement pour pôles du premier ordre les points («i, é|), . .., (a^, bp). D'après les explications qui ont été données (n® 154), les 2/> intégrales W|, . . ., Wp^ î^,, . . ., î^^ forment un système fondamental, car les intégrales normales (v^*^ w^^\ ..., w^^\ Z(5, w; a^, 6|), ..., Z(5, w; a^,, bp) s'expriment linéairement au moyen des premières, et inversement, et le déterminant 8 ne diffère du déterminant analogue où ^/(^, u) serait remplacé par <pi(5, u) que par un facteur différent de zéro. Nous désignerons encore par ^1?^ l'intégrale de troisième espèce avec les deux points critiques (5»^i)î (5'j^/)> que l'on a appris à former plus haut (n° 144).

Cela posé, soient (ai, ^1), ..., (a^, ^g) les points critiques logarithmiques de l'intégrale abélienne I = / 1^(^> u)dz, etR|, ..., R^ les résidus correspondants de R(5, w). La différence

n'admet plus de points critiques logarithmiques. La dérivée

OTÉGBALES XDHUALES, 3J7

l une fonclion rationnelle S{z, n) dont tous les résidus sont ■1». L'intégrale J peut donc s'exprimer par la somme d'une fonc- 1 rationnelle de z et de ii et d'une combinaison linéaire à coeffints constants des ip intégrales ir, , ..., iVp, 4,, , . ., ^^,

■...-^ipïp-t-i<,M.

"Cherchons d'abord à déterminer l€s coefficients î,,, .,., ^^, ti. ..., (jip. Pour cela, multiplions les deux membres de l'équation (20) par •}i,{s, u), et égalons la somme des résidus des deux membres de t'égalilé obtenue sur toute la surface de Riemann. Les résidus du produit J-J',(:;, u) s'obtiennent sans difûculté, connaissant les pAles de l'intégrale J et les parties principales dans le domaine de cliacno de ces pôles. En effet, en tout point où l'intégrale J est régulière, le résidu de S <!fi{z, u) est nul: car, ■li,-(3, (/) étant la dérivée d'une intégrale de première espèce, son ^développement dans le domaine d'un point à l'infini commence r un terme en ^ d'un degré supérieur à l'unité et, en un point i ramiGcalion {a, b) a distance fmre, i(i{s, u) ne contient que S puissances de -^--^d'un degré inférieur à l'unité. Suivant une Ulion employée par Cauchy, désignons par £[j!](/(3, u)] la nme de ces résidus. La somme des rL-sidus de la fonction ration- 4'(=, «)<}/,(r, u) est nulle. Les résidus de la fonction ^,(3, k) se réduisent au seul terme ^i{ai,^ bf^) provenant du |le («A, bf:) de %!,. Enfin le produit n'A'}({s, u) n'admet aucun Ùdu. Il reste donc les/i relations

r le déterminant

lî déterminent les p coefficients \

1 ces équations linéaires est précisément Z,

Pour obtenir les constantes [*,, ..., )t.p, multiplions de même Fdeux membres de la relation (20) par -/(■(;, w), et égalons la nme des résidus des deux produits. La somme des résidus de ïi(j, u) est égale à /K"*! ^») — X*("''' ^')' '^^^^ ^^^ résidus \Wh'/ji,^t ") "' égale à — i(h{ai, 6,); enfin la somme des résidus

de la fonction ralionnelle ^{z, u)y^i{z, i/) est nulle. Il vient donc

H^i +!(«/, */)-+- [it^tiai, 6/) -4-...-+- iip^p(aib() (•22) I = - C[Jxi{^y ^)]-^'^k[Xk{ah ^i) — Xi(^Jk, bjt)]]

ces équations déterminent [jli, |X2y . . ., [a^, car le déterminant est encore égal à S.

En définitive, tout revient à calculer les sommes des résidus des produits J^i(5, u) et Jx«(^i ")*> '^s résidus de 3^i{z^ u) proviennent uniquement, on Ta déjà remarqué, des pôles de l'intégrale J. Soit (a, 6) un de ces pôles que nous supposons, pour fixer les idées, à distance finie et distinct des points de ramification ; écrivons le développement de la fraction rationnelle S(2, u) dans le domaine de ce point

On en déduit

J= fs(z,u)dz = C-- -^ r -...

-+-Ao(-3 — a) -\-. . . ,

'^i{z, u) = ^i{ay b)-^{z — a)<H(a, b) -\- . . ,

le résidu du produit JiJ;/ (.3, u) au point (a, 6) est donc

Nous voyons que ce résida se calcule au moyen des seuls coefficients des développements de S(-3, u) et de <J'/(2, u) dans le domaine du point (a, b). Il en est de même, on le vérifie facilement, quelle que soit la position du point (a, b). Les résidus du produit iyj{z^ II) proviennent des pôles de J et du point («i, 6/) qui est un pôle du second ordre de yj{z^ u) ; le résidu relatif à ce point est

Ai, — S(a,-, bi), car, dans le domaiDe de ce point, on a

ILcs résidus provenant des pôles de J se calculent comme loiit ;ure. En défini live, pour calculer les coefficients ),,, . ..,X^, a,, [Ji2, -■■. '^p de la formule {10), il suffit de connaître: i- les coefficient sdesdâeeloppements des fond ions ralionnetlesS{z, II) y '{•/(s, h), /.(S) k) rfans le domaine de chacun des pôles de J; a" /tfî valeurs de la fonction lalionnelle S{3, u) aux p points analytiques (a,, b,), .. .,(ap, bp).

Resle à délenniner la fonction rationnelle *(-, «). Nous connaissons les pôles de cette fonclion qui sont les pôles de J et les points (rt,, 0,). Dans le voisinage d'un pôle de J, la partie principale est la môme que celle de J; au point (o/, i,), la partie priDci- |)i)le est — - — —■ Nous sommes donc amenés au problème suivant : Déterminer une fonction rationnelle •&(:, 11), connaissant les pôles et les parties principales dans le domaine de chacun de ces pôles. Celle question sera discutée au Chapitre suivant.

158. Comme application de ce qui précède, cli lions pour qu'une intégrale ahéliennc

■chons le;

^ry-'""''

Soit ane fonclion algébrique de z. 11 faut évidemment que cette î nlégrale n'admette ni périodes, ni points critiques logarithmiques, â'il en est ainsi, elle est une fonction uniforme du point analjy- Lîque (z, u), n'ayant, sur toute la surface de Riemann, que des E^les pour points singuliers, c'est-à-dire une fonction rationnelle île ï et de u. On déduit de là le théorème suivant, dil à Abel : Si une intégrale /R(3, u) dz, où R(;, u) est une fonclion ration- Ittie de deux variables : et u liées par la relation algébri'/iie

35o CHAPITRE VII.

F{Sf it) = o, est elle-même une fonction algébrique de 5, elle est égale à une fonction rationnelle de z et de u.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut d^abord que tous les résidus de la fonction rationnelle R(2, u) soient nuls. Cette condition étant supposée satisfaite, on a R(5, w) = 8(5, w), 1 = J; il faut, en outre, que tous les coefficients X|, . . ., \p^ jjli, . , ,, [^y? de la formule (20) soient nuls, c^est-à-dire, d'après les équations (21) et (asi), que la somme des résidus de chacun des produits Jtj/|(2, u) et iyj{z^ u) (f = 1, 2, . . .,/?) soit nulle séparément.

Donc, pour que V intégrale ahélienne I = / 11(^1 ") dz se réduise à une fonction rationnelle de z et de w, il faut et il suffit:

I® Que tous les résidus de la fonction rationnelle R(5, «) soient nuls;

2" Que la somme des résidus du produit 1^(3, «), où

j ij{zyU) dz est une intégrale quelconque de première espèce,

soit nulle;

3^ Que la somme des résidus de chacun des produits I y 1(5, u) soit nulle, y^ (z, w), . . ., y^p{z, u) ayant le même sens que plus haut.

Nous ferons remarquer de nouveau que les conditions trouvées sont toutes algébriques. Si la première condition seule est satisfaite, l'intégraJe I ne contient aucune intégrale de troisième espèce. Si les deux premières conditions seules sont satisfaites, l'intégrale I est égale à une foïiction rationnelle de^ et de ;/, augmentée d'une intégrale de première espèce. Remarquons enfin qu'au lieu (le prendre pour y x{z^ u), . . ., '//i(^, u) les dérivées de p intégrales de seconde espèce n'ayant qu'un pôle du premier ordre, on pourrait prendre les dérivées de p intégrales quelconques de seconde espèce, formant avec iv,, . . ., ^Vp un système fondamental.

159. Les deux dernières conditions peuvent être mises sous une autre forme. De l'identité

d(liVi) = I '^i{z, u) dz -h (!'/ R(;;, u)dz, on déduit

/ I ^i{z, u)dz = — j iViR(Zj u)dz.

IMTÊGRALES KOBUALES. 9A|

chacnne des Intégrales étant prise le long du contour total deT'. Or la première intégrale est égale, à un facteur près, à la somme dos résidus de lr}i,(s, «), et la seconde est égale, au même facteur près, à la somme des résidus de «',R{z, «). La deuxième condition peut donc être remplacée par la suivante : A>7 somme jies résidus de w R(3, «} sur toute la surface doit être nulle, pétant une intégrale quelconque de première espèce. ■' On voit de même que la dernière condition peut être énoncée 'comme il suit : La somme des résidus de chacun des p produits ^iR(=, h) doit être nulle {').

On trouverait immédiatement ces conditions par une méthode un peu dilTéreote en écrivant que toutes les périodes de l'inlégrate / R(::, u)dz sont nulles. Il sufGt, pour cela, d'appliquer le théorème de Caucliy aus y.p intégrales

fw'i'iz. u) Ru, u, </;, Jz(z, „ ; «,■, b,)

?^^z.u)dz,

prises le long du contour total de T', en se servant de l'expression de ces intégrales au mo^en des périodes (n" 65).

160. Prenons comme exemple les courbes algébriques telles que l'aire limitée par deux rayons vecteurs et l'arc de la courbe compris entre les deux extrémités de ces rayons soit une fonclion algébrique des coordonnées des deux extrémités. Cette aire est représentée par l'intégrale

zdu.

PI, comme on a j udi=: uz — / = du, le |)roblèr chercher les relations algébriques

idles que l'intégrale / u dz soit elle-r

e une fonction algébricpii

p (I) HUMBKRT, Atta Mathenialira, l. X, p. 191. On [jourra comuUcr Pe iujrt : LiauviLLE , divers MCmoîrCï dans le Journal de Mnlkêi '•e-iMTOBH, Compta rendus, iB«o; RAm, TItéte de Doctoral, i>)8î.

35a CHAPITRB VII.

de z. Bornons-nous au cas où la courbe (28), de degré m, a m points distincts à Tinfîni ; on peut prendre les axes de telle façon qu'aucune des m asymptotes ne soit parallèle à l'axe des u. Soit

Téquation qui représente une branche infinie asymptote à la droile u z=z az -4- di\ tous les coefficients tels que a|.*^ doivent être nuls. Géométriquement, cela signifie que le point à l'infini dans la direction précédente est un point d'inflexion. En effet, effectuons la transformation homographique

à la branche infinie correspond une branche de courbe issue du point z'= o, u'= Cij

Si aJ*^=o, on voit que la tangente i^=Ci-\- diJ rencontre l» courbe en trois points confondus.

Lorsque la courbe considérée est du genre zéro, ces conditionr sont suffisantes. Donc, pour que l'aire (Vune courbe unicursal^ de degré m, qui a m points simples à l'infini, soit algébriqui il faut et il sujfit que les m points à V infini soient des point — d'inflexion {').

Si la courbe est de genre /? > o, il faudra, en outre, que ip con ^ ditions nouvelles soient remplies. Prenons,* par exemple, une eu ^ bique avec trois points d'inflexion à l'infini; si l'on prend pou m axes de coordonnées deux des asymptotes, l'équation de cette ci»^— bique est de la forme

uz(u — az — h) — Xî=o.

On en lire

az -^ h )/z^{az -^ b)^-\- ^k^z Il __ j . y

a 5* bz I rJz^{az-ir-b)^-T-lk^z ,

/, az^ bz I r

dz.

(«) ArPELL et E. Picard, Thèses de Doctorat,

Si le polynôme sous le radical a une racine double, la courbe est unicursale, et, d'après ce qui précède, l'intégrale doit êlre algébrique, ce qu'il est facile de vérifier. Dans tout autre cas, l'inté-

grale

n'est pas algébrique. En effet, considérons la relation auxiliaire M*= K{z) et les deux intégrales

/dz r dz

y/RÎ^y J Z^RÏT)'

(le première et de seconde espèce, attachées à cette relation.

D'après la théorie erénérale, la somme des résidus de I , et de

— : devrait être nulle. Formons cette somme pour le second

produit. Les points à l'infini sont des pôles du second ordre pour I, et l'on a, dans le domaine de chacun de ces points.

= C =i= ( \- bz H . . . ,

zy/K{

les signes dz se correspondant dans les deux formules. La somme des résidus pour les points à l'infini est donc égale à — i. Dans le domaine de l'origine, on a

z^?i{z) 2A: zy/z '

le résida du produit est donc égal à 4* Pour toute autre valeur de ^-i le résidu est nul. Par suite, l'intégrale

^z^{nz-\-b)*-^ ^k^z

^^ peut être algébrique, lorsque le polynôme sous le radical n*ad-

161. Le logarilhme d'une fonction rationnelle de z et de uesl une intégrale abélienne qui ne possède que des points critiques logarithmiques (n^ 48). Cette remarque nous conduit à nous poser la question suivante :

Étant donnée une intégrale abélienne I = /R(-3, u)dz, qui

iiHadmet que des points critiques logarithmiques, comment peut-on reconnaître si elle s exprime par une somme de logarithmes de fonctions rationnelles de z et de u et d'une intégrale de première espèce ?

Soient {ax , bx ), («a» ^a)? • • • j («77 bq) les points critiques logarithmiques, R|, R2, ..., Rç les résidus correspondants de R(<3, w), qui vérifient la relation

(24) Ri4- Rj-f-...-+- R^ = 0.

Supposons que l'intégrale considérée s'exprime de la façon i diquée, c'est-à-dire que l'on ait

(2j) I = / R(^» '') dz = U), logçpi -H tUJlogçp,-^. . .-h a>r logÇr H-M-^»

wi, CO2, ..., Wr élant des constantes, 0|, ©o? •••<• cpr des fonctioc:^ rationnelles de z et de //, et (^^(5, w) une intégrale de première espèce. On peut toujours admettre qu'il n'existe entre les cocC^ stantes coi, Wo, ..., W;. aucune relation linéaire et homogène •> coefficients entiers; si, en effet, il existait une pareille relatioiï^

où Tun au moins des coefficients, mrj par exemple, est différent d M zéro, on en tirerait

mjtOi -h 7712(02 -r-. . .-h nir-lfi>r-l Mr = 7

et l'expression ('iS) pourrait s'écrire

,= J:ii,ogfÇ)^...^--,og(^)^..(.,«).

La nouvelle formule contient un logarithme de moins que Iss— -

ïrëcédsnte. Si donc on suppose qu'on a réduit, de celte façon, 0ntanl que possible le nombre des logarilhmes, il ne peut exister

Ire les constantes m,- aucune relation de la forme indiquée ; c'est ce que nous admettrons désormais.

Cela posé, les zéros et les infinis des r fonctions cp,, Sj, ..., o^ l'ont nécessairement partie des q points {«t, è, ), ..., (n^, b^). Si, en effet, un autre point (*, ^} était un pôle ou un zéro de quel-

qoes-iic membre de la ft

s de ces fonctions, dans le domaine de ce point, le S'

Qule (20) serait infini comme

I,, /Wj, . .., /Wr étant des nombres entiers dont l'un au moins est pas nul. Or l'intégrale I est régulière au point (a, p) ; il faudrait donc que l'on eût m, iii, + . . .-h m^w, ^ o, contrairement k lï'Iijpolhèse qui vient d'être faite. Soit m*, un nombre entier, égal ft zéro si le point {«,■, 6,) n'est ni un pôle ni un zéro de oa(3, «), à -Î-/I si le point (o,-, bi) est un zéro d'ordre n de ai,, et à ! — n' si (n,*, bi) est un pôle d'ordre n' de a^. Dans le domaine du point {ai, bi), le second membre de la formule (aà) est de la forme

(;n„iu, + m„<u,+...H-m,.,''',.)loS(i — a()-)-P(j — a,),

P(3 — (7,) désignant une fonction régulière. On a donc entre les résidus R,, R;, . .., H, ei les constantes m,, Wj, . . ., tn^ les ij relations

'(s6) R.- = mi/Wi+ m,/io, -(-.. .-t-mni",- (ï =i,a. ...,y),

OÙ tous les coefficients m^/ sont des nombres entiers.

162. Nous voyons que les y résidus R| , R,, ..., R^ s'expriment «r des fonctions linéaires à coefficients entiers des r quantités ii, euj, .. -, u,. U n'en résulte pas qu'elles ne puissent s'exprimer le la même façon au moyen de moins de r quantités, et nous ommes conduits à traiter d'abord la question suivante :

Étant données q quantités quelconques R,, Rj, .... R-, réelles ou imaginaires, les exprimer par des /onctions li- '•es et homogènes à coefficients entiers du plus petit nombre possible de quantités.

356 CHAPITRU VU.

Supposons le problème résolu et soient

Rj = /iijai -H. . .-h n^jff,,

R<7= liq^i-^, . .-h n

sq^^S

les formules qui donnent une solution du problème, les nombres Hik étant tous entiers. D'après la relation (24)9 1^ nombre s est ai^ plus égal kq — i ; il est clair aussi qu41 est au plus égal à r, mai £ il peut lui être inférieur. Nous allons montrer qu'on peut toujours ramener les r logarithmes de la formule (25) à s logarithme- seulement (*).

Par hypothèse, il n'existe aucune relation linéaire et homogèm à coefficients entiers entre o-i, 0-2, ..., o-,. De plus, tous les dé terminants d'ordre s que Ton déduit du tableau

/lu /Iji

rist

en prenant s lignes ne peuvent être nuls à la fois. En effet supposons, pour plus de généralité, que tous les déterminant d'ordre supérieur à s'{s'<is)^ déduits du tableau précédent e supprimant un certain nombre de lignes et de colonnes, soien nuls et que l'un au moins des déterminants d'ordre s\ par exemple

nu /lu

ni,'

• • • ris's'

soit différent de zéro. Chacun des déterminants d'ordre 5^4-» tel que

/lu n,j

• • • /lis'

rts'x

ns'2

rts's'

ns'i

(•) E. GouRSAT, Comptes rendus, t. CXVIII, 5 mars 1894.

INTÉGHAI-ES NonMALES. 35?

est un des nombres s' -i- i, ..., s, esl idenliqiiemcat nul, comme on le voîl, en remplaçant R, , lîj, .. ., R,', R,- par leurs valeurs tirées des formules (37). En développanl ce délerminant par rapport aujt éléments de la dernière cotonoe, on en déduit

-DiRi-i-..

, Dj, ..., Dj étant des nombres entiers. On voit que R,, . . ., Rf s'exprimeraient au moyen de s' quantités

irdcs formules linéaires et homogènes à coefficients entiers; le ■ombre s ne serait donc pas, contrairement 6 notre hj'pothèse, plus petit nombre entier donnant la solution du problème. Oo démontrera de la môme façon que l'un au moins des déterinants d'ordre s déduits du Tableau

it différent de zéro; les équations (^C) peuvent donc être réso-

Ues par rapport à s des quantités w,, .,., Wf. On en tire, par

nple, u,, (Ui, ..., (i>, en fonction de R,, -, -, Rj et de ui,^,, .-..

et, en y remplaçant R,, .-., R, par leurs espressions tirées

formules (27), on obtient des formules de la forme suivante

>,+ ,—... — l,,r^,U>r =,*,|S, ^...+ |Xuî,. .,+ , -...-X,,r-.U'r= !Xil3, -r-.-.-l- |1(,S„

las les coefficients A, X, |x étant des nombres entiers.

Imaginons maintenant qu'on substitue dans les formules {26) I valeurs de R,, Ri, . . ., Rj, <i>i, . .., Wj tirées des relations (27)

(38); on devra obtenir des identités, c'est-à-dire que les coeffients de (i>i^.i, . . ., lu^ devront être nuls dans les seconds mem- «3, et les coefficients de w,, . . ., t, devront élre égaux de part

d'autre. En elTet, si le coeflicicnt de tuj^i, par exemple, dans 'un des seconds membres n'était pas nul, on en tirerait pour

(Oj^i une fonction linéaire et homogène à coefGcients commensurables de (o,+2, ..., tOr, V\j ..., ^s' ^n ajoutant cette équation aux équations (28) on aurait 5+ i équations distinctes entre (i)|, ..., lùr, o*!, ..., 0", et l'élimination de o^j, 0*2, ..., ^s conduirait au moins à une relation linéaire et homogène à coefficients entiers entre coi, ..., co;.. De même, si les coefficients de ^i, ..., 7f n'étaient pas égaux de part et d'autre, on aurait une relation de même forme à coefficients entiers entre o-i, 0-2, . . ., «"j.

Après la substitution précédente, le coefficient de co^^ dans le second membre de la relation (26) est

y<ih

^sh

le coefficient de v/c est n/d dans le premier membre et

dans le second membre ; on a donc les relations suivantes entre c^^ nombres entiers

n>ti =

^lil^-ik

m$i [i-sk

Dans ces relations les nombres n/d sont supposés connus p les formules (27), mais les nombres /wa/, \ [x, A sont complet ment inconnus.

Dans la formule (26), remplaçons C0|, (O2, ..•,(»);. par leurs e pressions tirées des formules (28); il vient

1= j logi^i -+-...

~ logi]^, H- ^^* l0g4/^, H-. . .-+- ^ loglj/r H- VP,

4^1 =<pfncp^.....(pM-n,

ihf. = çp^i.r-f . . .(p>„r-,^A^

ALES NOnHALES.

rJjea fonctions rationncllGS

., 'j'rse réduisent h des coniBQtes. En effet, '!(,,+a n'admet pour pâles et pour zéros que quel- Lifnes-uns des points (a,, b,), ..., (a^, bq). Dans le domaine du point {ai, bi) elle contient en facteur une certaine puissance de (3^0,) dont l'exposant est, d'après la signification des nommes ni),, |h im,+/,,; + X,ftni„+...+ X,Amj(,

B?est-à-dire zéro, d'après la formule (ag). Le point (n,,i,) n'est donc ni un pôle ni un zéro pour \i+h\ celte fonction, n'admettant ni pôles ni zéros, se réduit forcément à une conslanle, et, par

^uite, l'intégrale 1 ne contient que 5 logarillimes, comme nous Savions annoncé.

^log^,-

l Pour déterminer les fonctions >}i,, ...,'!„ cherchons les ordres des pâles et des zéros de -^1, par exemple; ces points font partie lies y points (</,, A,). . -{a^, bq). Dans le domaine du point {«,-, bi), log'l'i est infini comme

,n'-.)tog(;-«,-)

'<î'est-à-dire, d'après les formules (Si), comme An|,log{w — a,). I,es nombres Hki sont supposés connus; si l'on connaissait &, on voit que les pAles et les zéros de «Jj, , ...,<]', seraient connus, avec leurs ordres de multiplicité respectifs. C'est l'indétermination de ce nombre entier A qui fait la diffîcullé de la seconde partie du problème.

BDID|

163. En résumé, la question que nous nous sommes proposée prend deux problèmes distincts. Si l'on veut chercher le nombre minimum de logarithmes auquel une intégrale abélienne peut se réduire, en supposant cette réduction possible, il faut chercher le plus petit nombre possible de quantités au moyen desquelles les résidus R,, . . ,, R, peuvent s'exprimer par des fonclions linéaires et homogènes à coefiîcients entiers. Si ce nombre ■ Ml égal à 5, le nombre minimum des logarithmes est aussi égal K'j; OD remarquera que ce nombre ne dépend que des résidus.

36o CHAPITRE VII.

Cette première question étant supposée résolue, on a ensuite à ■ «rfi résoudre un ou plusieurs problèmes du tjpe suivant : I ^

Étant donnés sur une sur/ace de Riemann q points | ^,^î

et g nombres entiers /i|, /I2, . . ., /iç, dont la somme est nulUj existe-t-il une fonction rationnelle ç(5, m) et un nombre entier M, tels que logcp(:;, u) soit régulier en tous les points de la surface de Riemann, sauf aux points (ai,6|), . {aq^ bq)^ et soit infini comme M/i/log(5 — a/), dans le domair*^ du point {ai, 6/)?

Si le nombre M était connu, le problème reviendrait évidei ment à reconnaître s'il existe une fonction rationnelle ^(2, u admettant des pôles et des zéros donnés, avec des degrés de mu^^ ■' tiplicité déterminés, problème dont on s'occupera plus loin et qi^^^^ n^oiTre que des difficultés algébriques. Mais, aussi loin que roj^^-^ aille dans la série des essais en faisant successivement M= i , 2, 3,... -"' sans jamais réussir, on ne peut affirmer, du moins dans le ca^ ^ général, que le problème est impossible. Pour prendre un exempl< simple, supposons /? = i, et supposons de plus qu'il n'y ait qu< quatre points critiques (rt|,6|), («2> ^2), («35 ^s)» («4? 64), e( enfin que Ton ail /î|= /î2 = i, ^3= ai, = — 1. ïoul revient à trouver s'il existe une fonction rationnelle de z et de u admettant leî^ seuls zéros (ai, bs)^ («2? ^2) et les seuls pôles (^3, 63), (a^, 64), chacun au degré M de multiplicité, M étant un nombre entier indéterminé. Soit (v(<g, w) Tintégrale de première espèce ; pour que la fonction cherchée existe, il faut et il suffit, d'après le théorème d'Abcl, qui sera étudié en détail dans un des Chapitres suivants, que Ton ait

M[«'(at. ^i)+ w{ai, ^>j)]= M[tv(a5, bz)-\- w{a,,, è*)],

le signe ezh indiquant Tégahlé à une période près. Il faut donc que la difierencc

«•(«,, bi)-^ tv(rt2, bi) — «'(03, ^3)— «'(04, 64)

soit commensurable avec une période de (^(5, //). Le problème

en question est donc de m^n deux nombres que l'on pciiL déQnie, reconnaîire si leur

nalure que celui-ci : Ëlant donnés Iculer avec une approximation inipport est commensurable. Aussi loin que l'on pousse les opérations, il n'est jamais permis de conclure négativement, par celte seule considération- Pour plus de détails sur ce sujet, nous renverrons le lecteur aus dernières pages du Tome II du Traité des fonctions elliptiques d'Halphen, où l'éminent géomètre fait ressortir très nettement h difiiculté du problème.

16i- Comme application de la iJiéorie précédente, repreni ^ problème suivant traité par Abel :

' Trouver toutes les intégrales de lo forme

sont deux polynômes entiers en z, R étant premier at'ec sa dérivée, qui s'expriment par une somme d'un nombre jini de Âogarithmes^ de fonctions rationnelles de z et de u.

^L'intégrale / —^ ne doit posséder, comme singularités, que

des points critiques logarithmiques. Or cette intégrale est régulière pour toute valeur finie de ; ; si R est de degré impair, le déle domaine du point de ramilicatioD à

veloppcraenl

l'iofini ne contient que des puissances fractionnaires de ;, et, par suite, le point à l'infini ne peut être on point critique logarithmique pour l'intégrale. Il faut donc que Rsoitdedegrépair a/j-l-s. La surface de Riemann présente alors deu» points distincts à l'infini; dans le domaine de chacun d'eux, l'intégrale doit être égale à un terme logarithmique, augmentée d'une fonction régulière, ce qui exige que p soit de degré p. Si ces deux conditions sont remplies, les deux résidus R), R^ sont égaux et de signes contraires; le nombre s est égal a l'unité. Far suite, lorsqu'une intérale de la forme j ^-^ est exprimable par logarithmes, elfe

tf^xpfime au moyen d'un seul logarithme. I Soil

362 CHAPITBB VII.

Â désignant une constante et P, Q, S étant trois poljnomesja formule qui donne la valeur de cette intégrale. A chaque valeur de z correspondent pour le logarithme deux valeurs

log g^ , log ^-,

dont les dérivées — ^-— et ^ ont une somme nulle. La somme

de ces deux logarithmes et, par suite, le produit

/P4-Q/r\/P-Qv/r\

doit donc se réduire à une constante R

pj— RQî=KS«; on peut alors écrire

p^Q/R^ I^^^/p-^Q/R\ ,^ J p Qv/R

log ^— = -l0g( ^^ )-4- -log

OU encore

Ph-Q/R I, „ I, /P-4-Q/r

log

= ilogK-^ilogfL±Qj^^

Employant les notations d'Abel, on voit que, si Tin tégrale considérée est exprimable par logarithmes, elle a une expression de la forme

(32) / ^-^ =Alog

a et P étant deux polynômes. Ou peut évidemment supposer a et P premiers entre eux ; on peut aussi supposer a premier avec R. En effet, si a et R ont un plus grand commun diviseur N, on a

a=:a,N, R=R,N, a, étant premier avec Ri; nous pouvons écrire

g-l-pv/R gi y/N -h 3 y/ÏÏ;

/ gt y/N + p /r;\ ^ î ^ /g? n -^ P« Rt -4- 2gt p /r\

^\at,/N-p/Rj ^' \aîN-+-p»R,--2giP/Ry

= iiogf?:±.LvJ

ressinn de même forme que la première, où

a'=aîN4-P'R|, P' = "i p.

deux polynômes a' et R sont premiers entre eus ; en effet, R, est mier avec N et avec a,, N est premier avec R( et avec p, car îl se a, et a et P sont supposas premiers entre eux.

Cela étant, si la fonction rationnelle ^-^ satisfait a la rela-

on (3a), elle a un seul pôle et un seul zéro, tous les deux rejets à l'infini; autrement, le logarithme aurait des points critiques ilhmiques à distance finie. Le produit

rlr

: peut s'annuler pour aucune valeur lÎDie de ;;; en effet, une raine 3 = a de cette équation ne peut annuler à la fois les deux ictcurs a 4- p y'R .a — fl \/R , car elle annulerait la somme a a et ■différence a p ^R , et nous avons vu q u'on peut supposer a pre- Ifer avec pR. Il faut donc que a- — P'R se réduise à une contente et, comme il est permis de multiplier a et p par un même icteur constant, on peut supposer cette constante égale à l'unité ; ar conséquent, les trois polynômes a, ^ ef R doivent vérifier la

bversemeni, si trois polynômes a, p, R donnent lieu à l'iden- 1(33), on en déduit une solution du problème proposé. Il est

r d'abord que R est de degré pair ip -f- i cl que a est premier vec pR ; on peut supposer aussi que R est premier avec sa dériée; s'il contenait un facteur multiple tel que(; — -o)^*, on pourftit faire passer (r-s„)* dans p; s'il était divisible par (=--o)=*+'.

multiplierait ^par(3 — 3o)*et il ne resterait dans R que {z — z^)-

I posé, la fonction rationnelle de z et de v^R ,

idmet, d'après la relation (33), ni pAles ni zérosà distance Uni

364 CUAPITBE VII.

elle admet un seul pôle et un zéro, tous les deux rejetés à Pinfini. La dérivée logarithmique est donc égale, à un facteur numérique près, à une intégrale de troisième espèce avec deux points critiques logarithmiques à Tinfîni, c'est-à-dire qu'on a une relation de la forme

0 étant un polynôme de degré p.

Pour résoudre de la façon la plus générale Péquatîon indéterminée (33)y on peut se donner arbitrairement le polynôme a. La théorie des racines égales permet alors de mettre le polynôme a* — I sous la forme P^R, R étant premier avec sa dérivée, par des opérations algébriques élémentaires. Par exemple, si Ton a

les polynômes X/ n'ayant aucun facteur multiple, ni aucun facteur commun, on prendra R = X^Xa, p = X2XjXJ. La valeur de p se calcule ensuite sans diiiicullé; on trouve

Abel s'est proposé aussi la question suivante, qui est en quelque sorte l'inverse de la précédente :

Etant donné un polynôme R, premier avec sa dérivée, de degré pair 2/? -+- 2, reconnaître si Von peut trouver un autre

polynôme p tel que l'intégrale j ^—^ s'exprime par un loga-

rithme.

Ce problème est, d'après ce qui précède, équivalent à celui-ci : Peut-on trouver deux polynômes a et p, satisfaisant à la relation (33) ?

Si l'on connaissait a priori le degré de l'un de ces polynômes, on pourrait toujours, par la méthode des coefficients indéterminés, reconnaître si le problème admet ou non une solution. Mais, ici encore, on voit s'introduire un nombre entier indéterminé. Abel a rattaché la solution de ce problème à la théorie des fractions continues algébriques; il est arrivé à la proposition suivante,

inTEGHALES NOOHALES. 365

iour la démon s Ira lion de laquelle nous renverrons à son Mé- Tioire : Pour qu'il existe un polynôme p répondant à laques- 'ion, il faut et il suj/itque le développement de yjK en fraction •ontinue algébrique soit périodique.

Lorsque le polynôme R(3) esl du qualriëme degré, p doit Être lu premier degré. Dans ce cas spécial, le problème a élé étudié lepuis par M. Tcliebycheff (') et par M. Zololarefr(^), lorsque es coefficients de R{ 3) sonlcommensurables ou sont des nombres rotiers complexes. Ces deux méthodes supposent que l'on conlait les racines de K(3); elles permettent de reconoaitre, au bout i' un nombre Jini d'opérations, R(3) = j'-+-fl«' + i3^ + c; + rf ftaDt donné, s'il existe une constante \ telle que "

[il

, Il faut, pour cela, qu'il existe une fonction rationnelle de 3 et ie y'R(3) ayant un seul pôle et un seul );éro, tous les deux à l'inlini; pour que ce problème admette une solution, il faut el il iuffît, d'après le théorème cité à la lin du n" 163, que la diiïérence des valeurs de l'intégrale de première espèce aux deux points à l'inlini soit commensiirable avec une période. Tout rcvieat donc à roconnaUre si cette dilTérencc est de la forme

tij' les périodes de

Dit m, m', n sont des nombres entiers, i l'intégrale de première espèce.

163. On a vu (n" 134) qu'une somme d'un nombre quelconque d'intégrales de première et de deuxième espèce se ramène toujours à 2/7 intégrales distinctes et à un terme algébrique. Il n'existe point de proposition aussi simple pour les intégrales de troisième espèce; le théorème suivant ofTre cependant une certaine analogie avec le théorème qui vient d'être rappelé :

Étant donnée la somme d'un nombre fjuelconque d'inii'-

■ (') Journal de Lioueitle: 1884.

■ (*) Voir Bulletin des Sciencei mathén

grales de troisième espèce, multipliées par des facteurs dont les rapports sont commensurables, on peut exprimer cette somme au moyen du logarithme d^une fonction rationnelle de z et de w, et de p intégrales de troisième espèce, Vun des points critiques de chacune de ces intégrales de troisième espèce pouvant être choisi arbitrairement.

Soit I = /R(^, u) dz une intégrale n^admettant que des points

critiques logarithmiques, et telle que tous les résidus deR(js, i/) soient commensurables entre eux. En multipliant R(z, u) par un facteur constant convenable, on peut supposer, ce que doqs ferons désormais, que tous ces résidus sont des nombres entiers. Soient (a^, 6|), ..., (a^, bq) les points critiques pour lesquels les résidus /ni, m2, ..., mg sont des nombres entiers positifs, (a,, p4 ). . . ., (a,., Pr)les points critiques pour lesquels les résidus sont des nombres entiers négatifs, — W|, — /i2> • • •» — ^r» Po*^ ne pas interrompre la suite des idées, admettons le théorème suivant, qui sera démontré un peu plus loin, sans rien empruntera cette théorie : il existe une fonction rationnelle de z et de u qui admet les points (a/, è/) pour zéros d'ordre mi, . . ., niç resp'^clivement, les points (a/, p,) pour pôles d'ordre /i|, . .., /îr, et qui est en outre infinie du premier ordre en p po înts (ci, rfi), .••) {cp, dp), que l'on peut choisir arbitrairement. Soit ^(z^u) cette fonction rationnelle, qui admet, en outre, p zéros distincts des premiers {c\, d\), . . ., (c' , d'), La différence

log*(z, u) — I R(^, u) dz

admet donc les seuls points critiques logarithmiques (c/, rf/), (c), d\) avec les multiplicateurs 4- i et — i respectivement; elle est donc égale à une somme de p intégrales de troisième espèce,

telles que TO^"^^* (/= I, 2, ..., p)\ ce qui établit la proposition. Pour prendre un exemple, considérons la relation de genre un

(34) a» = Z = Ao5*-h At^34.Aj^«-f. Asz-t- A^,

l'équation Z = o n'ajant que des racines simples, et l'intégrale

elliptique

OÙ

(35) L=— /i/Ao^H — ^ H ^— ^ -h... H ^-i- -+-K;

z — ai z — aj z — aq

/î, /i,5 ..., /ly sont des nombres entiers positifs ou négatifs, fli, ..., aq sont distincts des racines de Z = o, enfin on a 6?= Aga* -H. . .-I-A4. L'intégrale I n'admet que des points critiques logarithmiques (a/, 6/), (a/, — 6/) et les deux points à l'infini, les multiplicateurs étant précisément ±: /i/, ±n (n°*35 et 36). On peut donc lui appliquer le théorème précédent. L'intégrale de troisième espèce la plus générale avec les deux points critiques (c, rf), {c', d!) est (n° 37)

Si l'on choisit convenablement la constante A* et les deux points (c, rf), (c', d!)^ on aura

- dz-h I — ( , v-k) dz = log*(5, u)

u J iu\z — c z — c /

/ dz = 2log4>(-5, w)-h log(-5 -— c) — log(^ — c')

eo posant

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Étant donnée une fonction rationnelle L de la forme (35), on peut toujours trouver une fonction T de la forme (36),

telle que soit la dérivée logarithmique d^ une fonction

rationnelle de z etde u (*).

( * ) Halphen, Traité des /onctions elliptiques, t. II, p. 638.

On verra, dans l'Ouvrage d'Halphen, comment on peut calculer T, ainsi que la fonction rationnelle dont le logarithme a pour dé-

rivée lorsque L est donnée. Un des points (c, rf), (c', d)

peut être pris arbitrairement ; si l'on a pris pour ((/, et) un point de ramification, rf'= o, et l'expression de T se simplifie

166. Lorsque l'intégrale abélienne fR{z, u)dz est égale à une

fonction rationnelle de z et de i/, ^{z^ u), ou au logarithme d'une fonction rationnelle A log^(5, m), le changement de variable

<p(^Zj u) = t ramène l'intégrale proposée à la forme f dt, ou / • On peut se poser une question plus générale :

Étant donnée une intégrale abélienne j R(Zt u)dzj rela-

liçe à une courbe de genre /?, dans quels cas existe-t-il une substitution^ algébrique qui change cette intégrale en une nouvelle intégrale abélienne relative à une courbe de genre p' ^ inférieur à pi

La solution de ce problème général paraît difficile. Nous mon- Irerons seulement, par un exemple simple, comment la question est liée à la réduction du nombre des périodes. Considérons une courbe de genre/?, supérieur à un, et une intégrale de première espèce

w = I ^{z^ u) dz

attachée à cette courbe : si les ip périodes de cette intégrale se ramènent à deux périodes distinctes, on peut ramener cette intégrale à une intégrale elliptique par une substitution rationnelle. Soient u)< et (O2 les deux périodes auxquelles se ramènent toutes les périodes de (v; la période relative à la coupure Oi est égale à /n/(0| + w/Wj, et la période relative à bi est/>i coi -|- qi wj, f^ij ^/j Pi, qi étant des nombres entiers. Séparons les parties