I.NTÉGHAI.ES N'OnHilLES. 36g
ielles el les coefGcienls de \/ — i ; soit -, = .,-? AT,
D'après la formule de Riemann, la somme
il essentiellement positive. On ne peut donc avoir aô — ?Y ^ o, 'esl-à-dire que le rapport — est nécessairement imaginaire; le iDement prouve d'ailleurs que les o-p périodes de «■ ne 'Uveat se réduire à une seule. Soit î.{n') une fonction doublement riodique de iv, avec les deux pt'riodes <>>,, Ug, admettant deu\ les simples dans un parallélugramme élémentaire (' ); celte action satisfait à une équation dilTérentielle de la forme
ai'+bi»+g;^>-
B, C, D, E étant des constantes. Imaginons que, dans^'(ir),
: remplace iv par l'intégrale /?(;, u)dz; X{(v) devient uno
action uniforme du point analytique (s, f/ ), puisque toutes les
leurs de iven un même point de la surface de Riemann s'ob-
inaent en ajoutant à l'une d'elles des multiples entiers de tu, et
«1. Soit >.(»■} = ^{z, it); appelons Ç et T] les deux pûles de
i^iv) dans un parallélogramme élémentaire, La fonction 4" (;, ii)
peut cesser d'être régulière que pour les points de la surface
Kiemann où l'intégrale tv prend une valeur de la forme
H-mui + nwj ouTi +nï'uj, + n'wj, et Ton reconnaît aisément
:es points sont des pûles pour ^(5, «); c'est donc une
foDcUoD rationnelle de :; el de u. Cela posé, de la relation
on déduit, en difTérentîant par rapport à 3,
. dw d^
^ ("') rfi = dz '
an remplaçant X'((v) par sa valeur tirée de la relation (37), el
^ par o{z, u)j il vient
v/A4>*-T- B*3 -h C*» H- D* -h E ou
<38) jo(z,u)dz=^Ç —
On voit donc qu'en prenant pour nouvelle variable la fonction rationnelle ^(v, w), l'intégrale proposée se change en une intégrale elliptique de première espèce, comme nous l'avions annoncé.
167. Considérons maintenant en particulier le cas où /> = 2, e^ supposons qu'une courbe de genre deux possède une intégrale d^ première espèce (V|, ayant seulement deux périodes distinctes o>iï «02 ; soient
iWi-hWiWj, //ijWi-h n,a)j, /?ia>iH- ^i(Dî, />jWi-l- ^jtui
les périodes de «'1 relatives aux coupures a^^ «2? ^m 62. Soit <''*'* une seconde intégrale de première espèce, distincte de la ^f^' niière, et A|, A2, B^, B2 ses périodes relatives aux mêmes c(p'^' pures. D'après la relation générale qui lie les périodes de de •-'* intégrales de première espèce (n° 67), on a
(mio), -1-/1,(1)2)61— Ai(/?ia), -^ qiu)i)
-h (mjWi-h /i2Wi)B2 — AiipiOii-^ 7îWi) = o
ou
j a>,(m,Bi — /?iA,-i-/WiBj— /ïjAj)
( -^ a>i(/ii B, — (71 Al -h 71, B2 — (7, Aj; = o.
INTEGRALES NORMALES. Sjl
On peut supposer que les périodes A^, A2, B|, 83 vérifient la relation
(40) /WiBi — /?! A, -h msBî— />sAj = o;
en effet, si Ton remplace «^2 par l'intégrale W2 H- K «V|, où K est une constante, les périodes de cette nouvelle intégrale sont
A', = Ai-+- K(/Wiu>iH- /iiWi),
A'j = Aj-+-K(/n2(Di-f- /ijcoî),
B; = Bt -4- K (/?, (D, -h qi wi),
B; =B,-i- K(/?ja)iH-^,a),), et Ton a
niiB'i — y?i A'i -T- m^B, — /^jA', = /niBj — /?iAi-i- m^Bs — jWjAj
Le coefficient de K dans le second membre n'est pas nul, d'après la relation de Riemann rappelée plus haut; on peut donc choisir la constante K de façon que la relation (4o) soit vérifiée pour la seconde intégrale. La formule (Sg) donne alors
<4 1 ) /Il B, — ^1 A, -I- n, Bî — y, Aj = o.
Les deux nombres /niçr, — riipi et m2q2 — ^2P2 ne peuvent être nuls en même temps; supposons, par exemple, que niiÇi — /j^/?, ne soit pas nul. On tire alors des équations (4o) et (4i)
miçi — nipi
4 f/?j/ii — ^,mi) Aî-H(/ni/is— n|/?Ji)B2
Aj = ■ •
niiÇi — riipi
On voit que toutes les périodes de la seconde intégrale se ramènent à deux périodes distinctes,
miÇi—nipi niiçi— nipi
et l'on peut énoncer le théorème suivant, dû à M. Picard (* ) :
(') Sur la réduction du nombre des périodes dans les intégrales abéliennes, <*, en particulier, dans le cas des courbes du second genre {Bulletin de la Société mathématique, t. XI, p. 26).
