CHAPITRE VII. — INTEGRALES NORMALES

Si une courbe de genre deux possède une intégrale de première espèce, ayant seulement deux périodes, elle en possède nécessairement une seconde jouissant de la même propriété.

Voici deux exemples où Ton connaît les deux intégrales de première espèce qui se ramènent à des intégrales elliptiques. Les deux intégrales de première espèce

/dz r zdz

relatives à la courbe de genre deux, u^^= z^-^- as* + ô-s'-f-c, se ramènent à des intégrales elliptiques parle même changement de variable z^=^ t.

Les deux intégrales de première espèce

dz r zdz

J )/{z^-^az-hb)(z^-hpz^-hq) J ^{z^-^ az

b){z*'^pz*-^q)

où Ton a

Ç = ib-h -ap.

se ramènent de même à des intégrales elliptiques, en posant respectivement

z^-h az -h b z^-h pz^-h q

3z — p ' az^ — 3ùz^

On remarquera, sur ces exemples, que le degré de la substilulion à faire est le même pour les deux intégrales. C'est là une propriété générale, dont on trouvera la démonstration dans le Mémoire de M. Picard (*).

(') Le lecteur, désireux d'approfondir ce sujet, pourra étudier aussi les irt' vaux suivants :

Kœnigsberger, Journal de Borchardt, t. LXIV; Kowaleski (Sophie) Acta matheniatica, t. IV, p. 394; Poincaré, Sur la réduction des intégrales abéliennes {Bulletin de ta Société mat fie ma tique, t. XII, p. 17^); Picard, Remarque sur la réduction {id., p. i53); Goursat, Sur la réduction des intégrales hypertlliptiques (Bulletiny t. XIII, p. 147).