FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMAMS

[presMon d'une fooclion rationnelle au mojeii d'int^graka nurmalei de seconde espèce. — Tbdor^me de Ricmana-Roch. — Fonctions spéciales. — Ponctions d'ordre minimitm. — Courbes hyperellip tiques. — Kelations entre les pùlcs et lies tiroi. — Eiptession générale d'une fonction uniforme avec un nombre fini de points singulier».

. On a déjà fait remarquer, à plusieurs reprises (n°'4o, 153), o'une foDclion rationnelle R(3, i/), où s el u sont liées par la elation algébrique F (s, h) = o, est égale à une somme d'intérales abélieni^es de première et de seconde espèce, relatives à elle courbe algébrique. Ce mode de décomposition étant d'une mportaiice capitale, il est nécessaire de l'étudier d'une façon lus approfondie. Pour simplifier les notations, nous supposerons ~ 'S pôles (d,, p,), . . ., (ix^, pk) sont des points de la surface de iietnann à distance finie et distincts des points de ramification. .Soil

partie principale de la fonction considérée R (;, h) dans le donne du pAle (a,, ^,). La différence

Lune intégrale abélîcnne régulière en tous les points de ta ;e de Riemann, et dont les périodes relatives aux c

•) Aoteun i consulter : Hienann, Abel'aelten Functionen, % 8 ; Rocn, Journal CrtUe, l. 04; Bhill et NOTHBti, MatliematUche Aanalen, t. VII; Klejn, torie der eUiplUchen lUodulfunctionen, t. I, p. 54a et suivantes

374 CHAPITRE VIll.

sont toutes nulles; elle se réduit donc à une constante (n® H8) et l'on a

(I) R(;;, M) = C -I- 2 [M'^ZÇ^, m; a,-, P/) +. . .-i- Xlf, Z(v.--i)(5, «; a,-, p,)].

Telle est la formule fondamentale de décomposition que noas voulions obtenir; elle met en évidence les pôles et les parties principales de R(3, u). Il est à remarquer que la fonction qui joue le rôle d'élément simple Z(3, « ; $, r,) n'est pas uniforme sur la surface de Riemann,

La formule (i) montre immédiatement que les coefïicients A^j'', Aj\ ... ne peuvent pas être pris arbitrairement. Il faut, en effet, que les périodes du second membre de cette formule relatives aux coupures b/i soient toutes nulles. Or, la période relative à la coupure 6^ est (n^ 146)

les coefficients A^/', A,^, ... doivent donc vérifier les /? relations

(•2) 2 f A'/'îaC".-. P-) -• • •+ ^''i! f'^'-'^'i^ M = o-

Ces relations sont d'ailleurs suffisantes pour qu'il existe une fonction rationnelle R(v, u) admettant les A* pôles (a^, ^i).. .,(«*, ?*)? avec les parties principales données. En effet, le second membre de la formule (i) représente alors une intégrale abélienne dont toutes les périodes sont nulles, c'est-à-dire une fonction rationnelle de z et de u.

Remarque. — La somme

représente le résidu du produit R(:î, u)oh{z^u) relatif au pôle (a/, Pi). Les/? relations (2) expriment donc que les sommes des résidus des/? fonctions rationnelles

FONCTIONS LMFOBMES SL'B UNE SURFACIi: DE niEMANN. S?!

nulles, car tous ces résidus proviennent des pôles de R (z, u). En résurai?, les p relations linéaires que doifenl vérijier les eoejficients des parties principales de R(j, u) s'obtiennent en

'■rivant que la somme des résidus de toute fonction rationnelle

(s, u)cp{3, «), où I (f(s, u)d3 est une intégrale quelconque

j première espèce, est égale à zéro.

C'est là. au fond, une façon condensée d'écrire les/) relations

i existent entre ces coefficients ,

s'appliqu.

il est

Lsé de s'en assurer, quelle que soit la position des pAles. 11 est iair, d'ailleurs, que ces relations peuvent toujours <;tre écrites iplicitemeat quand on a obtenn l'expression générale des intéles de première espt'cc ( Cf. n° 29).

169. Nous sommes maintenant conduits à traiter le problème livant : Former l'expression générale d'une fonction ration- '.llede zeldeu, admettant k pôles donnés (iï,,p|), . .., (a;,, p*) 'ec des degrés de multiplicité déterminés, V) , v^, v^.

Les coefficients arbitraires A'", A^", . . . , dont dépend la foncjn cbercbée R(2, u), sont au nombre de

M = v, + v,+ ... +VA.

Ces coeHicients doivent vérifier/) relations linéaires et tioroo-

nes. Si nous supposons ces relations distinctes, le problème

l'est possible que si M^/t + i, cL la fonction chcrcbée dépend

lors de M — p constantes arbitraires, abstraction faite d'une

DDStante additive. Mais il peut arriver que, pour certaines posi-

ions particulières des pôles, les p relations linéaires se réduisent

moins de p relations distinctes. Ce point demande un examen

arliculier et nous allons nous j arrêter.

Supposons d'abord qu'on veuille former une fonction a^ant un

seul pôle arbitraire (a, p) d'ordre v. Le problème n'est possible

qne si v est 5^-1- i. Le point {a, ^) étant, par lijpotbèse, un

JDt arbitraire de la surface, on peut le supposer à distance finie

distinct des points de ramification. Soit

la partie principale dans le domaine de ce pôle; les v coefficients A| , A2, . . ., Av doivent vérifier les p relations

A,<p,(a, ?) -I- A,«pl(a, p) -h ... -1- Ay??"** (a, P) = o (* = i, 2, . ..,/>).

Si V est inférieur à /? -+- 1 , les équations précédentes n'admettent pas d'autre solution que A| = A2= . . . = Av= o, à moins que tous les déterminants d'ordre v contenus dans le Tableau

ne soient nuls en même temps. On démontre, comme au n® 134, que ces déterminants ne peuvent être nuls pour un point arbitraire (a, P) de la surface de Riemann. Par conséquent, si une fonction rationnelle de >? et de e/ admet un seul pôle sur la surface (ce pôle pouvant être choisi arbitrairement), Tordre v du pôle ne peut être inférieur à/? + 1 . C'est de cette façon que M. Weierslrass définit le genre d'une relation algébrique (Cf. n** 28).

Supposons, en second lieu, que Ton veuille obtenir l'expression générale d'une fonction rationnelle de z et de w, admettant v pôles du premier ordre (ai, pi), . . ., (av, pv). Afin d'éviter les difficultés accessoires, nous supposerons qu'on a effectué, s'il est nécessaire, une transformation birationnelle, de façon que les conditions suivantes soient remplies : 1® la courbe considérée C, représentée par Téquation

supposée de degré m, a m points distincts à l'infini, et aucune asymptote n'est parallèle à l'axe des u\ 2® les v points (a^ p^), ...» (av, pv) sont des points simples de cette courbe et, en aucun d'eux, la tangente n'est parallèle à l'axe des w. Toute fonction rationnelle R(3, ?/), infinie du premier ordre en ces v points seulement, est représentée par une somme d'intégrales normales de seconde espèce,

R(^, «)= C-h AiZ(5, m; ai, pi)-4-. ..4- AvZ(5, w;av, Pv)- Soient, d'autre part, Qi(3, w), Q2(c, w), . . ., Q/>(3, u) les/?pol}-

■IONS UNIFOHMES son UNE SUHFACE DE RIEUANN. 3;;

lomes adjoints distÎDCts de degré m — 3, de façon que l'équalion générale des courbes adjointes de degré m — 3 soit

On a les p intégrales distinctes de première espèce,

-nm^- -f^^"-

ffl les/) relations (a), que doivent vérifier les v coefficients A,, Av, peuvent s'écrire

Av=BvF;(2v, ?,),ces/>re-

B l'on pose A, = B, F;,(si,, p,), liions deviennent

En général, si les v pôles (a,, p,), . . ., (a,, p^) sont pris arbitrairement sur la courbe, les p équations (4) sont distinctes, ce que l'on voit en reprenant les raisonnements du n" 154. Pour qu'elles tdmetlenl un système de solutions auirequc B, = Bj...= Bv^o. } feat donc, en restant dans le cas g'énérai, que V soit au moins ISgal à /) H- I , et, s'il en est ainsi, v — p des coefficients lï, peufent être pris arbitrairement. Il n'existe donc pas de fonction Vationnelle admettant moins de p -j- t pôles simples donnés urbimirement.

Approfondissons davantage la question. Il peut se faire que les i équations (4) se réduisent à p — <t équations distinctes, par nemple que les a dernières équations soient des conséquences \e& p — u premières. Si celte circonstance se présente, tous les léterminanls d'ordre/* — » -h i que l'on peut déduire du Tableau «c tan gui a ire

1 QiC^t.,?.) Qi(«.,p,)

I Q,.(«i.p.) Qp(i.,p.) ■■ Qp<»v,?v) I

par la suppression d^un certain nombre de lignes et de colonnes sont nuls, mais Tun au moins des déterminants d'ordre /> — o-est différent de zéro. Or ce Tableau (E) se présente dans une aatre question. Supposons que l'on \euille obtenir l'équation générale des courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par les v points donnés, on a à déterminer les p coefficients 1|, X2, . . ., Xy, au moyen des v équations de condition

(5) X,Q,(a/, P/)-4-...-+-XpQp(a/, P/)=o (t = i, 2,...,v).

D'après la théorie des équations linéaires, si le premier déterminant du Tableau (E) qui n'est pas nul est d'ordre /> — t, a* des coefficients X/ restent arbitraires, ce qu'on exprime encore en disant que par les v points (ai , pi), . . . , (av, pv) il passe a- courbes adjointes de degré m — 3 linéairement indépendantes. En résumé, les p équations (4) ^^ réduisent à p — o- équations distinctes^ o- désignant le nombre des courbes adjointes linéairement distinctes d^ ordre m — 3, qui passent par les v points considérés.

Si V n'est pas supérieur kp — o-, il n'existe pas d'autre solution que B| = B2 = . . • = Bv = o ; mais, si v est plus grand que p — ^i V — /?+ (T des coefficients A|, A2, . . . , Av restent arbitraires el, en comprenant une constante additive, la fonction rationnelle cherchée dépend de v — /> -}- o- -}- i constantes arbitraires. Nous pouvons donc énoncer le tliéon'îme général suivant, qui est connu sous le nom de théorème de Riemann-Roch ( * ) :

Etant donnés v points sur une courbe algébrique, la fonction rationnelle de z et de u la plus générale qui devient infinie du premier ordre en quelques-uns de ces points, et qui reste régulière en tout autre point de la surface, dépend de

V — /? 4- «T + 1 constantes arbitraires, le nombre o- ayant la même signification que plus haut.

Cet énoncé donne lieu à quelques remarques :

I. La fonction rationnelle cherchée n'existe que si le nombre

V — /? -h (T + I est au moins égal à a ; celte fonction n'est pas né-

(') Riemann n'avait considéré que le cas général où <r = o; c'est Roch {Journal de Crelle, t. G4) qui a étudié le cas où c a une valeur quelconque.

Bourbe proposée qu'en ip — a points, en deliors des poit liptes. Par conséquent, si v est supérieur à ay? — a, le nombre r it égal à Kéro et la fonction R(3, w) contient toujours v — /* + i EODâtantes arbitraires, quelle que soit la position des pôles

ONCTIONS UNIFOBUES 6 l" B r\E SUBFACE DC BiEUANX. 37'J

sessairement infinie du premier ordre en chacun des v points ,P(), , . -, (si„, p,)j car il peut se faire que quelques-uns des lefficients A, , A,, . . . , A, soient nuls, mais il en reste toujours —p -r <T d'arbitraires.

11. Le cas oii quelques-uns des pôles sont d'ordre supérieur au

emier est à considérer comme cas limite du précédeni. Si, par

Lcmple, r des points (a,, p,), . . ., (a,, pv) sont venus se con-

mdre en un point (x, P), la fonction K(s, u) aura un pôle d'ordre r

au plus en ce point; au lieu de considérer les courbes adjointes

{{iii passent par r points distincts, il faudra considérer les courbes

adjointes ayant un contact d'ordre /■ — i avec la courbe proposée

point (a, p).