Une courbe adjoin

degré .

- 3 ne rencontre la

irface de Riemann. Si v est inférieure tirconstances peuvent se présenter :

upposons

p — 2, d'autres d'abord

I ne passe pas, en général, de courbe adjointe de degré m — Z lar ces v points, s'ils sont pris arbitrairement sur la courbe{n" 140), lais, s'il en passe une ou plusieurs, nous dirons que ces points brmentun groupe spécial. Il existe toujours de pareils groupes; I suffît, en efTel, de considérer une courbe adjointe quelconque le degré m — 3 et de prendre p — i 4- A de ses points d'intersecion avec la courbe donnée; assoit v^/» — i ; par ces v points «sse, en général, un faisceau d'ordre p — v — i de courbes ad- Di[it«s de degré m — à. Mais, pour certaines positions de ces ' points, il peut se faire que l'ordre du faisceau soit plus élevé, t — V — I -)- A par exemple. On dira encore que les w points foraent un groupe spécial. En résumé, un groupe spécial est caractérisé par ce fait que la multiplicité des courbes adjointes d'ordre 3 qui passent par les points de ce groupe est d'ordre plus élevé qu'on ne devrait s'y attendre d'après le nombre des points de ce groupe, Il est clair, d'après cela, que v points pris au hasard

sur une courbe algébrique {v^ a/» — a) ne forment pas nu groupe spécial.

Étant donné un groupe spécial, il existe toujours une fonction rationnelle, qui n'admet que des pôles du premier ordre, appartenant tous à ce groupe. Il suffit évideramenl de supposer v<:/)-i-i. Siv^=jD,/j>-i,on a un groupe dep points sur une même courLv adjointe de degré m — 3; le nombre t est au moins égal à un el * — ^ 4- ï 4- > est au moins égal à deux. Donc la fonction ratîon- I olle existe. De même, si l'on a un groupe spécial de moins de p points, le nombre u est égal k p — v -t- A, h étant un nombre entier positif, et le nombre v — p + a--|- i est égal à A + i , (]ui est au moins égal à deux. Les fonctions rationnelles aJusi obtenues s'appellent des /onctions spéciales.

Inversement, si une fonction rationnelle admet moins de p + i pôles, tous du premier ordre, ces pûles forment un groupe spécial. En eifet, si cette foncliun admet/) pàlessimples, le nombre ir doit au moins être égal à l'unité, et, par suite, ces/» points doivent être situés sur une même courbe adjointe de degré m — 3. Si la fonction admettait v pâles simples (v-</') ne formant pas dd groupe spécial, on aurait o- :=p — v, et la fonction rationnelle dépendrait de V — p +(yO — v)-(- I = I paramètre arbitraire; or, nous avons remarqué que cette fonction n'existe que st le nombre des paramètres dont elle dépend est au moins égal à deux.

171. On doit à MM. Brill el Niither une toi de réciprocité nmarquabic, relative au cas où v n'est pas nul. Prenons les Ap — -i points d'intersection de la courbe donnée avec une courbe adjointe d'ordre m — 3, et partageons ces points en deux groupes G», T/, composés respectivement de v et de v' points (v -+- v'^ ip — a). Soit 7 le nombre des courbes adjointes linéairement indépendantes d'ordre m — 3 qui passent par les points du groupe Gy, et i' le nombre analogue relatif à T^: Soit encore y(-, h)=:;o l'équation de la courbe adjointe d'ordre m — 3 qui passe par G^ el Tv, et o(;, h)^o l'équation générale des courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par Gyj »{5, (/) est une fonction linéaire et homogène de a constantes arbitraires. La fonction ratioanelle -jj^ — ■ est infinie du premier ordre aux v' points de T, seulement

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 38l

(ou en quelques-uns de ces points) et dépend de a- paramètres arbitraires. On a donc, d'après le théorème général de Riemann- Roch,

égalité qui subsiste alors même que a- serait égal à un ; en intervertissant les deuK groupes de points dans le raisonnement, on voit de même que Ton a

V — p -4- <J H- l ^ ff ' .

En ajoutant ces deux inégalités membre à membre, il vient

or V -+- v' = ip — 2, et, par conséquent, le signe ]> doit être exclu des relations précédentes. Il reste donc les deux égalités

v' — p -h (j'-i- I = ff,

qui se réduisent d'ailleurs à une seule

c'est la loi de réciprocité de Brill et Nolher.

172. On peut se proposer de former explicitement l'expression de la fonction rationnelle la plus générale ne devenant infînic du premier ordre qu'en v points donnés (ai, ^,), ..., (av, ^v) ou en quelques-uns de ces points. Lorsque ces v points forment un groupe spécial Gy, la solution est contenue implicitement dans le paragraphe précédent. Ces v points sont situés sur une courbe adjointe C/^-si q^i' rencontre encore la courbe donnée en v' points formant un groupe Fv'. L'équation générale des courbes adjointes d'ordre m — 3 passant par les v' points de Fv', dépend, nous venons de le voir, dev — /?-hT-|-i paramètres arbitraires. Soit <p(-3, ^^)= o cette équation générale elf{z^ u) =o l'équation de la courbe particulière G;„3 qui passe par les points

de Gv et de Fv-. La fonction rationnelle ~— ^ — - dépend de

V — p -h ff-f- I

constantes et ne devient infinie du premier ordre qu'aux points donnés; c'est l'expression générale demandée.

On voit, d'après cela, que toute fonction spéciale R(5, u) se présente sous forme du quotient de deux polynômes adjoints d'ordre m — 3. Voici une autre démonstration très simple de ce résultat, qui estdue à M. Klein. Etant donnés v points formant un groupe spécial, soit Q = o l'équation d'une courbe adjointe d'ordre m — 3 passant par ces v points et R(5, u) une fonction spéciale ne devenant inGnie du premier ordre qu'aux v points considérés.

L'intégrale 1 ^^ dz reste finie aux v points de ce groupe, puisque

la courbe Q = o passe par ces points; elle est finie également pour les points à l'infini, car la fraction R(5, u) reste finie en ces points, et le polynôme Q est du degré m — 3. Cette intégrale est donc une intégrale de première espèce, et, par suite, le produit QR est égal à un autre polynôme adjoint Qi d'ordre m — 3.

Supposons, en second lieu, que les v pôles donnés ne forment pas un groupe spécial; le nombre v est plus grand que /?, et les v points ne sont pas situés sur une courbe adjointe d'ordre m — 3. Nous supposerons, pour plus de netteté, que la courbe considérée n'a que des points doubles ordinaires. Choisissons pour jjl un nombre entier satisfaisant aux inégalités

et formons l'équation d'une courbe de degré jjl passant par les d points doubles de C et par les v points donnés (a, , ^<), . . . , (ay, ,3v). Cette courbe Cj^ rencontre la courbe donnée en

autres points (a), ^j). L'équation générale des courbes de degré u, C|]^, passant par les d points doubles de C et les A' points (aj, p,)

dépendra de

ulC u -4- 'H ,

paramètres. Soit

Téquation générale des courbes C"^ et

l'équation de la courlie puiliciiliLTe Cj^; ta fonction ralionoellc

donn<-s ou quclques-iiDs d'entre finie pour les points doubles et

s'admet pour pôles que les poini eux ; car elle conserve une valei les /-points (a;, %).

Celle fonction rationnelle paraît contenir un nombre de constantes arbitraires supérieur à celui qu'indique la théorie. Pou; expliquer ce paradoxe, remarquons qu'on ne diminue pas la généralité en remplaçant ;p(r, u) par

I o, (=.!() = ?(-,")-'!( = ■ ")Fa,w),

■ lii.

ï arbitraire de degré [j. — m.

-m)(^— CT-H3) ^ ^ coefficients indé- :, u) pour attribuer une valeur délerde coefficienls de3)(j, w). 11 restera

[^ft^-^-

4(3, h) étant un polym

On peut profiler d< terminés dont dépend fji{ minée à un pareil nombn dans ce polvnome

Remarque. — Le cas où quelques-uns des pùles seraient d'ordre supérieur au premier est toujours à considérer comme cas limite et se traiterait de la même façon. Au lieu de prendre des courbes adjointes passant par les v pAlcs donnés, on aurait, d'une façon plus générale, à prendre des courbes adjointes ayant avec la courbe donnée, en des points donnés, des contacts d'un certain ordre.

La même méthode permet d'obtenir explîcttenientiinc foDClion rationnelle dont on connaît les pAles avec les parties principales correspondantes. Si l'on a formé l'expression générale des fonctions rationnelles admettant les pâles donnés, cette expression contient un certain nombre de constantes arbitraires. En écrivant que les coefficients des parties principales ont des valenrs don-

nées, on a un certain nombre (Inéquations linéaires permettant de déterminer ces constantes. On opérerait de la même façon pour obtenir une fonction rationnelle, dont on suppose connus à l'avance les pôles et les zéros.

173. Toute fonction rationnelle R(5, u) admettant v pôles simples se présente, d'après ce qui précède, sous la forme suivante

o(z, u) et /(-S, u) étant deux polynômes du même dégrevions les points communs aux deux courbes F = o, /= o, sauf lesv pôles donnés, appartiennent aussi à la courbe ^ = o. Il suit de là que le faisceau de courbes

^H- Xçp = o

rencontre la courbe donnée en v points seulement variables avec)», ce groupe de v points venant se confondre avec le groupe des v pôles pour X= o. Inversement, d'un faisceau de courbes rencontrant la courbe donnée en [jl points variables seulement, on déduit une fonction rationnelle devenant infinie du premier ordre en jjl points seulement.

On a vu qu'il n'existait pas de fonction rationnelle admettant moins de /> + i pôles simples, si ces pôles sont pris arbitrairement. Par conséquent, s'il existe un faisceau de courbes rencontrant la courbe donnée en v points variables seulement, l'un de ces groupes de v points pouvant être choisi arbitrairement, v est au moins égal à/>-|-i. Nous retrouvons une proposition déjà établie directement (n° 139).

17i. Soit F(:;, u) = o l'équation d'une courbe de genre supérieur à zéro; il ne peut exister pour cette courbe de fonction rationnelle de :; et de u, admettant un seul pôle du premier ordre. En effet, s'il existait une pareille fonction i^ -- co(:;, a), à toute valeur de V correspondrait un seul point analytique (;?, u) et les coordonnées d'un point de la courbe considérée seraient des fonctions rationnelles du paramètre i^. Ceci prouve, soit dit en passant, que

PONCIIOSS ENIPOB1IE9 SUB USE SURFACE DE BIEMANV. 385

les courbes adjointes d'ordre m — 3 n'ont, en dehors des poinls multiples, aucun 'point fixe commun avec la courbe. En effet, si l'on avait pour un point (a, fl) de cette courbe

rinl«?gra!e normale de seconde espèce Z(3, ii; a, \i) aurait toutes ses périodes nulles; elle serait donc égale â une fonction rationnelle de z et de «, ayant un seul pôle du premier ordre.

Il suit de là que, pour une courbe donnée, le nombre des pôles d'une fonclion rationnelle (tous ces pôles i^tant supposés du premier ordre) ne peut descendre au-dessous d'un certain minimum. Ce nombre minimum r, qui se conserve évidemment dans toute transformation biralionnelle, paraît devoir jouer un rôle important dans la théorie des courbes algébriques. On peut encore {n" 173) le définir comme le nombre minimum de points d'intersection variables de la courbe donnée avec les courbas d'un fais- [ <eeau. Le nombre r- se présente aussi quand on cherche, parmi les lifTérentes relations algébriques de même classe qu'une relation lonnée, celle qui est du plus petit degré possible par rapport à e des variables. Soil

IDC équation algébrique se déduisant de la relation F(=, u) = o, l moyen des formules de transformation

lacune des ronctioDs/(s, u), f{z, u) admet au moins /* infinis,

, par conséquent (n" 119), la relation (6) est au moins du

^ré r par rapport à chacune des variables.

Inversement, supposons que la fonction rationnelle y (z, u)

hàt *■ pôles du premier ordre (a,, p,), . . . , {a,, |3,); prenons pour

■(3, m) une fonction rationnelle ayaot un seul pôle du premier

rdre commun avec/(3, h), par esemple le point (a,, p, ). Les

mules (7) définissent bien une transformation biralionnelle,

tar la courbe transformée (6) a une direction asj'mplotique

I parallèle aux axes de coordonnées; au point k l'infini dans

selle direction ne correspond qu'un point unique de la courbe

A. ET G. a5

primilive, le point (tx,, p,). D'ailleurs, la nouvelle ^(jnalîon (fi) esl bien de degré /■ par rapport à U.

Examinons les cas les plus simples. Si /> = t , il existe toujoars unefonction rationnelle admetlantdeux pâles simples, pris d'nae façon arbitraire; donc r = 1.. Si/):=2,ona encore r='i effet, soient Q, et Qj deux polynômes adjoints distincts d'ordre m — 3. Le (luotienl ~ n'admet que deux pôles du premier ordre. D'une maniÎTe générale, lorsque p est supérieur k un, r esl au plus égal à p; car, si l'on considère deux courbes adjoioies d'ordre m — 3, Q, =: o, Q3 ^ o, ayanl, avec la courbe proposée, p — 1 points communs en dehors des points doubles, le quotieni ^ a au plus/> pôles du premier ordre. Lorsque p esl plus grand que 3, on peut encore Irouverpour/- une limite inférieure, corame on le verra plus loin. Mais, pour /> = 3, on peut avoir r = a, ou r = 3. H est facile de donner des exemples des deux cas. Ainsi, une courbe du cinquième degré avec un point triple est du genre 3 (n° 129); une droite passant par le point triple rencontre 1« courbe en deux points variables seulement, /■= 2. Une courbe du quatrième degré sans point double est encore du genre 3, mais ici on a r ^ 3. En effet, s'il y avait une fonction rationnelle admettant seulement deux pôles du premier ordre {a, fl), (a', ^)^ on devrait avoir pour ce groupe de deux points o- = 3, c'est-à-dire qu'il y aurai tune infinité de courbes adjointes d'ordre wi — 3 passant par ces deux points ; or ces courbes adjointes sont des lignes droites-

175. Après ces généralités, considérons en particulier les courbes algébriques pour lesquelles r^a. Soient (a,,fl,)e' (ctj, ^g) les deux pôles du premier ordre d'une fonction ralioD' nelle R(-, m), qui n'admet pas d'autres pôles que ces deux-là. Ces deux points (a,, p, ) et (a,, ^j) doivent former un groupe spécial 1 c'est-à-dire que les deux équations

X,Qi(«,.pi)-^...+ VQ^(«„p,) = <.,

doivent se réduire à une seule. On a donc

ngage géomélriquc, cela signifie que toutes les courbes ad- ^iutes d'ordre m — 3 qui passent par le point («i, p, ) vont »sser par un second point fixe (a^, pa). Or, le point (ct|, p,) peut tire pris arbitrairement, puisque c'est un des deux poiotsd'interteciion variables de la courbe donnée avec les courbes d'un faisîau. Les courbes considérées jouissent donc de la propriété suinte :

Toutes les courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par 1 point quelconque de la courbe donnée vont passer par ï second point ^xe de cette courbe {').

Inversement, si une courbe C possède cette propriété, prenons, tC, p — 2 points fixes arbitraires. Les courbes adjointes d'ordre — 3 qui passent par ces p — i points fixes vont passer par — 3 autres points fixes de C; le faisceau de ces courbes rennlre donc la courbe G en deux points variables seulement. Soil

MFOBUES Sin UN

CB DE ni EU A

'^uation de ce faisceau ; les coordonnées des deux points d'in- Brsection variables s'obtiennent par la résolution d'une équation la second degré dont les coefficients sont rationnels en X. On a bnc, pour les coordonnées d'un point de C, les expressions suî-

i^^X + B^AiX), I u=C + D/Râ),

{(),) étant un poijoome premier avec sa dérivée et A, B, C, D i fonctions rationnelles de \. Inversement, des formules (8\ 1 ( g) on tire, pour X et y/R(î.), des fonctions rationnelles de z et e u, de sorte que la relation algébrique considérée peut être rapenée, par une transformation birationnelle, à la relation hyperilliptique

(' = Ra).

(I) Toutes les courbes adjoin

Par extension, on appelle courbes hyperelUptiques toutes les courbes pour lesquelles /■ = a,

Les points d'une courbe hyperelliptique se correspoadent deui à deux par une transformation birationnelle. Si l'on considère, en eOet, deux points (a,, ^,}, (ag, ^y) formant un groupe spécial, il est clair que les coordonnées du point (a^, ^j) sont des fonctions rationnelles des coordonn<^es du point (a,, ^i) et inversement. Donc, joou/- une courbe hyperelliplique quelconque, if existe une transformation birationnelle involuttve qui change celte courbe en elle-même. Mais cette propriété n'est nullement caractérislique. Elle appartient évidemment à toute courbe possédant un axe ou un centre de synaétne, par exemple à une courbe An quatrième degré ayant ^ud axe de symétrie. Or, si cette courbe n'a pas de point double, elle n'est jamais de l'espèce hyperelliptique (n" 174).

On emploie quelquefois, pour l'étude des relations algébriques hyperelliptiques, une autre forme normale que celle qui nous a servi dans les premiers Chapitres. L'équation d'une courbe hyperelliptique ayant été ramenée, par une transformation birationnelle, à la forme

oii P(s) et Q(3) sont deux polynômes sans facteur commun, ni lacteur multiple, le premier de degré p + i ou jp -+- 2, le second de degré /7, la transformation birationnelle

onduit à une nouvelle courbe de degré /) -

qui présente un point multiple d'ordre p à Tinfini sur l'axe Ou' ; les tangentes en ce point multiple sont toutes distinctes el chacune d'elles est une tangente d'inflexion. Inversement, toute courbe de degré p + z possédant un seul point multiple d'ordres à tangentes distinctes est une courbe byperellip tique de genre p,

irdÎDaires, et l'on a

d'ailleurs, uae droite passant par le point multiple rencontre la courbe en deux points variables seulement. Donc, à toute courbe de l'espèce hyperelliptique, de genre p, on peut Jaire correspondre, par une transformation birationnelle, une courbe de degré p+i atec un point multiple d'ordre p à tangentes \istinctes.

Les courbes adjointes d'ordre m — 3 sont ici des courbes de itÇré p — I ayant un point multiple d'ordre p — i , Elles se décomposent donc en un système de /j — i lignes droites passant ,par le point multiple. II esl évident géométriquement que toute courbe adjointe passant par un point fixe de la courbe va passer par un second point Oxe.

i76. Comme application, proposons-nous d'appliquer à une courbe de cette espèce le théorème de Riemann-Roch, c'est-à-dire de chercher l'expression générale d'une fonction rationnelle de , u) qui devient infinie du premier ordre en v points simples .,, j3, ), ...j(av, Pv). Soit C la courbe considérée de degré -I- 2, O le point multiple d'ordre p. On a deux cas â considérer :

' Parmi les v points donnés, il n'y en a pas deux en ligne droite ivec le point O. Ces y points ne forment pas un groupe spécial; pour qu'il existe une fonction rationnelle répondant à ta question, 1 que V soit au moins égal à p-\-r, et le nombre des parakoétres dont dépend cette fonction est égal à v — /j 4- i- Nous ivons traité ce problème sous une autre forme au Chapitre I.

loinls donnés se partagent en deux groupes de ajj. toîuts et de p points respectivement. Les a[i points du premier

iroupe (.,,?,), ■•■, («„ h); («;,?',) (v f',) »onl de»x

t deux en ligne droite avec le point O. II en est ainsi des points

îi) et (a^, P)). Parmi les p points {v,, S,), ..., (yp, Sp) du

jcond groupe, il n'j en pas deux en ligne droite avec le point O.

SgO CHAPITRE VIII.

On peut former une fonction rationnelle de (z, u) n'admettant que les deux inGnis simples (ai, p/), (a), pj); soit /i (5, u) une pareille fonction qui [sera^ par exemple, une fraction simple telle que

az

z — ai

si l'équation de la courbe hyperelliptique est de la forme (12). Soit ^(^, u) une fonction rationnelle n'admettant que les 2[ji+p pôles du premier ordre (a/, p/), (a), P-), (yaj ^a)> on peut toujours trouver des coefficients constants X|, X2, • • •, '^a tels que la diffé* rence

*(5, u) — Xi/i (Zy u)—,,,— 'ky.f^iz, u)

reste finie aux points (a'^, P\), ..., (a^, ^'^). Cette différence se réduit donc à une fonction rationnelle ^(z^ u) infinie du premier ordre aux (X 4- p points (a,, p,), ..., (a^^, pp,),(Yo S<), ..., (Yp,8p) seulement. Nous sommes donc ramenés au cas précédent.

Remarque. — Si Ton a p--t- p </>4- 1, il n'existe pas de fonction rationnelle ^{z, u) n'admettant que les u + p pôles da premier ordre (a,, pi), ..., (a^^, pp,), (y,, 8|), ..., (Yp,8p), et, par conséquent, la fonction rationnelle ^(z, u) a pour expression générale

On voit qu'elle n'admet pour pôles du premier ordre que quelques-uns des ap. H- p points donnés; on remarquera toutefois que le nombre des paramètres dont dépend cette fonction est bien égal au nombre donné par la formule de Riemann-Roch ; on a, en effet, dans ce cas particulier,

<^=/> — (f^ + p) et, par suite,

2[JL4- p -—p -h<J-+- I = fl+I.

177. Étant données deux courbes hyperellip tiques du même genre/? ^i, on peut se proposer de rechercher les conditions nécessaires et suffisantes pour que ces deux courbes appartiennent à la même classe, c'est-à-dire pour qu'on puisse passer de l'une à

roscnoxs UNiroRHE;» sur tsE slbface de bieha^n. Sgi l'sulre par une Iransformalion LtraUonnelle. Soit C une courbe ijpcreliiplïque; supposons que l'on ait exprimé de deux façons UfTérenles les coordonnées d'un point de cette courbe au mojen

i'un paramétre et de la racine carrée d'un polynôme, de telle açon qu'à un point corresponde une seule valeur du paramètre.

On aura à In fois

^ A -i-B /Rii

« = C -^D ^/RO-), >=ç(=,u)

I B, C, D élant des fonctions rationnelles de ),, A,, B, , C|, D, IB fonctions rationnelles de jjl, R(^ ) et R,( |j.) deux poly-nomes le degré a/j 4- i ou 2/5+3. Cherchons la relation qui existe iDtre les valeurs des paramètres ), et [* qui correspondent à un léme point de cette courbe. Remarquons pour cela qu'à une vaor de X=:o(3, k) correspondent deux points seulement; la inctîon rationnelle tp(3, m), ayant deux infinis seulement, est une iDCtion spéciale, qui peut se mettre sous la forme suivante

et Qj élant deux polynômes adjoints d'ordre m — 3 {n" 172). ' même ^i ^= ^{s, u) est égale à

I et Q4 étant aussi deux polynômes adjoints d'ordre m — 3. loient (et, P) et (a!, p') deux points correspondant à une même aleur )>o de ). ; la fonction rationnelle yz^ n'admet que les deux lôles du premier ordre (a, ^) et (V, p'). Ces points sont donc [eux points associés de la courbe, c'est-à-dire que toute courbe djointe d'ordre wi — 3 qui passe par un de ces points passe aussi lar le second. On a, en particulier.

et, par suite, [jl reprend la même valeur en ces deux points. Ainsi à une valeur de X correspond une seule valeur de [l; il est clair que la réciproque est vraie, pour la même raison. On a donc entre X et [Jl une relation homographique

et Ton passe des formules (i3) aux formules (i4) par la substitution linéaire

(.5) X=-îi^

ri

ÛTfJH- O

Or, après cette substitution, les invariants absolus de la forme binaire X^^'^^Rf t^ ) sont les mêmes que ceux de la forme binaire

La réponse à la question posée est maintenant bien facile. Étant données deux courbes hyperelliptiques de même genre C, C, supposons les coordonnées d'un point de G exprimées en

fonctions rationnelles de X et de y/R(À), de façon qu'à un point ne corresponde qu'une valeur de A^ supposons de même les coordonnées d'un point de C exprimées par des fonctions rationnelles

de [JL et de ^R» ([jl), de façon qu'à un point de G ne corresponde qu'une valeur de [jl. Pour que les deux courbes C et O appartiennent à la même classe, il est nécessaire, d'après ce qui précède, que les in^^a riants absolus des deux formes

soient les mêmes.

Ces conditions nécessaires sont suffisantes. En effet, on peut remplacer les courbes C et O par les courbes

i;«= R(X), ii.î=R,(hl),

qui correspondent respectivement aux deux courbes C, C. Si les invariants absolus sont égaux, on peut trouver une substitution linéaire telle que l'on ait

K passe alors de la première courbe à \a seconde par la transfor-

li est évidemmenl btralionoelle.

Une forme binaire de degré a/> + a possède a/i — i invariants

isolus; il y a Jonc 2p — i conditions pour que deux courbes

ijperelliptiques de genre p appartiennent à la même classe. On

Sprime ceci en disant qu'une classe de courbes kyperelUp-

îques de genre p possède zp — i modules. Il résulte aussi du raisonnement précédent que, si une courbe perelliptique se cbange en elle-même par une transformation

îrationnelle , le paramètre "k subit une substituttou linéaire -=— j- Il faudra donc que les racines du polynôme R {X)

échangeât entre elles au moyen de la substitution précédente; est clair qu'il n'existe jamais qu'un nombre fini de substitutions

niîssant de cette propriété.

178. La même méthode ne s'applique plus lorsque p= i . Soient C et C deus courbes du premier genre; supposons-les unenées à la forme normale

V' = fui), «.»= Ri([il,

(a) et Ri(u} éianl deux polynômes du quatrième degré. Si ces IX courbes se correspondent point par point d'une façon uniiqae, la relation algébrique entre les valeurs de X et de ul, qui iDnent deus points correspondants sur les deux courbes, est ïdemment du second degré par rapport à chacune des va-

'(A(i*-^Bli-l-C)^-X(At^l'^•B,n-^-Cl)-^-A,^i'-l-B,ll + C, =o.

Pour que les deux valeurs de "k qui correspondent à une même tleur de y. soient égales, il faut que les deux points de ('.'que imit celte valeur de \t viennent se confondre, c'est-à-dire que [x ^ifie l'équation R, (a) =: o. On a donc

i((*> = (A,|j:'-hB,ih-(-C,)' — :i(A,i'4-B[X+C)(A,|i'-(-B,|.-HC,),

à un facteur constant près. On a de même

R(X) = (BX« -f- Bi {JL -4- B,)« — 4(A X« -4- AiX + Aj)(CX« -*- Cl X -4- C),

à un facteur constant près. Or, il a été démontré plus haut (n®13S) que les deux polynômes R()v) et R|([J^) ont même invariant absolu. La conclusion est analogue à celle de toutàTheure; une courbe du premier genre possède un seul module, qui est l'invariant absolu de la forme biquadratique X^Rf y^)»

179. On obtient une autre expression d'une fonction raticonelle R(^, u) au moyen des zéros et des pôles de cette fonction. Soient

les q pôles et

les q zéros, chacun de ces points étant compté autant de fois qu'ii y a d'unités dans son degré de multiplicité. L'intégrale abélienne

admet les 25^ points critiques logarithmiques (a/, Pi), (a^, ^i) e n'a aucun autre point singulier. Dans le domaine d'un pôle (a'„ P- ) d'ordre A/, cette intégrale est de la forme

z — oLi devant être remplacé par (s — a/)'' si le point (a/, Pi) es^ ^^

un point de ramification d'ordre r — i, et 5 — 00 par — De méme^ ''

dans le domaine d'un zéro, d'ordre A*? («Aj Pa)j l'intégrale est d

la forme

hk\o^{z — OLk) -4- P(2 — a^).

L'intégrale abélienne

logR(;5,w)- I I o. -Il,,, ft.^ 11,« ft '

OÙ njf^5] est l'intégrale normale de troisième espèce, n'admet

plus de points singuliers; c'est donc une intégrale de première espèce

et l'on en déduit

(iG) R(3,«) = i

'"d Wa, . . . , (Vp étant les intégrales normales.

Lorsque le chemin décrit par le point analytique {3, u) traverse une des coupures, le second membre est multiplié par un certain facteur. Comme le premier membre est une fonction uniforme, il nous faut écrire que tous ces multiplicateurs se réduisent à l'unité. Quand on traverse une coupure Oa, la fonction qui figure en exposant augmente de stuAa, et le second membre est multiplié par e*"'*i; ï.i, î,j, .-., X* doivent par conséquent être des nombres entiers

X, = mi, .... X( = ni/, - - . , Xp = rtip,

et R (s, u) est de la forme

'17) R(=.«)=Ge"""''

Lorsque la variable travei ylié par

a,. Pli

llfB

; la coupure bt, R(3, u

:i8) ^B-i^-, p;)-j; **(!/,?;) = 5/", A*, -^...-t-an.p6*p4-ï/i*rê I ('■■ = >,■'- P),

m» étant un autre nombre entier. Dans les premiers membres de ces relations, les intégrales tv/, sont toujours supposées prises suixanl des chemins qui ne rencontrent pas les coupures. Récipro- <]uement, si l'on peut trouver des nombres enliers mi, ..., rrip, n,,.,.,np vérifiant les relations précédentes (18), la fraction R(5,'u) représentée par la formule (rj) présente bien tous les caractères d'une fonction rationnelle admettant les q pôles (aj, p]) et les q zéros (a,-, ^i). Les relations (tS) expriment donc les con-

ditions nécessaires et sunîsaDtes pour qu'il existe tine fonction rationneUe admetlaDt les q pMes et les q zéros donnés.

Ces relations peuvent s'écrire sous une forme plus générale. Soit w une intégrale quelconque de première espèce el U|, (i)}, . . . , ciiip ses 2/) périodes ; il faudra que l'on ait

M, , M,, . . . , M^^ étant des nombres entiers, qui sont les mêmes pour toutes les intégrales, les chemins suivis par la variable restant aussi les mêmes pour les intégrales qui figurent dans le premier membre. On écrit ces relations sous une forme plus condensée

Par conséquent, la somme des valeurs d'une intégrale abétienne de première espèce pour les zéros d'une fonction rationnelle ne diffère de la somme des valeurs de la même intégrale pour les pâles que d'une somme de multiples dei périodes.

C'est, comme on le verra plus loin, une des formes qu'on peui donner à un cas particulier du théorème d'Abel.

Les conditions précédentes sont au nombre de p ; elles expriment d'ailleurs toutes les relations eutre les zéros et les infinis d'une fonction rationnelle, puisque, si elles sont vérifiées, on peut former une fonction rationnelle admettant les zéros cl les infinis donnés. Ces relations se présentent sous une forme transcendante, quoiqu'elles soient en réalité algébriques. Imaginons, en effet, qu'on ait formé l'expression générale des fonctions rationnelles qui admettent les q p61es (a^, P^}; celte expression est une fonction linéaire et honaogène d'un certain nombre de coefficients arbitraires. Il faudra qu'on puisse disposer de ces coefficients de façon que la fonclion admette les q zéros (a,-, ^i) ; ces conditions s'expriment évidemment par des relations algébriques entre les ay points donnés. On a là un exemple reraar-

IONS UNIFORMES SUS ^^E scrface de bieuann. 397 quable de relations Iranscendantes écjuivalenles k des relalions algébriques. Sî^ = o, le théorème ne nous donne rien. On peut (rendre arbitrairement les zéros et les infinis, 11 est facile de le Ifier, car s el « s'expriment par des fonctions rationnelles un paramèLre f, et on est conduit à former une fonction rationlelle de l, connaissant ses pôles et ses zéros. Sx p = 1 , on a une seule relation entre les zéros et les îniinis. Cette relation est d'ailleurs équivalente au théorème de Liouville sur les zéros et :s infinis d'une fonction doublement périodique.

180. Les théorèmes généraux sur les fonctions uniformes d'une variable s'étendent aus fonctions uniformes d'un point analytique ('). Nous allons montrer comment on peut former l'expression générale d'une fonction uniforme |n'ayanl qu'un nombre fiai de points singuliers sur toute la surface de Hiemann. Pour plus de simplicité, supposons que ces points singuliers sont à distance finie et distincts des points de ramification. Soient (a,, p,), . . ., {a„, p„) lesn points singuliers, ^{z, u) la fonction uniforme considérée et

Ai,"

panie principale de 'I>{3, «) relative au point singulier {a,-, ^,), celte partie principale étant formée d'une série si le point {a„ p,) est un point singulier essentiel. La fonction

Iltisidérée comme fonction du point (Ç, r,), admet les points sin- EÊIîers (a,, p,), .,., (a„, p„), (s, u), (so, «0) et, en outre, les points e ramification. Écrivons que la somme des résidus de cette fonction uniforme sur toute la surface de Riemana est nulle. Les résidus relatifs aux points de ramificalioD et aus points à l'infini »l tous nuls. Les résidus relatifs aux points (s, u) et (3o, «0)

sont respectivement — ^(^, w) et ^{zq^ Wo) {^^ ISO). Dans le domaine du point (ai, ^,'), on a

*«.'■')= (^e^T) -^•••-^ (fzr^v +•••-*- P(î-«').

— ^ = Z(«, m; «/, p.) + . . .+ ^^;^ ^y^^ Z<v-i)(^, «; CL,, ?,)+...: le résidu est donc

et on a la relation

(20) *(*, M) = «1.(50, tto)+22 1.2.. .(v-l) Z'*""('»' «î «'■' P')-

Chacune des séries

est convergente tant que le point (5, u) est différent de (a/, ^i),

car elle représente le résidu de <Ï>(Ç^ tj) ^ relatif au point (a/, P/).

La fonction représentée par celte série n'admet plus que le point singulier (a/, j3|); nous la représenterons par

et la formule (20) peut s'écrire

On voit que ^(2, i/) est la somme de n fonctions dont chacuoe n'a qu'un point singulier; mais ces fonctions ne sont pas, en gé« néral, uniformes.

En écrivant que les p périodes de <ï>(z, m) relatives aux cou-

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIBMANN. Sqq

pures bk sont DuUes, on a, entre les coefficients A-î/^ les p rela-

tions

que Ton obtiendrait aussi en écrivant que la somme des résidus de chacune des fonctions

sur toute la surface est égale à zéro.

Les théorèmes de M. Weierstrass et de M. Mittag-Leffler, sur les fonctions uniformes qui ont une infinité de points singuliers et sur la décomposition en facteurs primaires^ s'étendent aussi aux fonctions uniformes d'un point analj^tique (Appell, Acta mathematica, t. I).

4oo CHAPITRE IX.