THÉORÈME D'ABEL

Théorème général. — Application aux intégrales de première, de seconde et de troisième espèce. — Formule générale. — Application aux intégrales hyperelliptiques. — Seconde démonstration. — Réduction d'une somme d'un nombre quelconque d'intégrales à p intégrales et à des quantités algébriques et logarithmiques. — Théorème d'addition pour les intégrales de première espèce. — Intégration d'un système d'équations différentielles. — Extension du théorème d'Abel aux. courbes gauches algébriques.

181. On a déjà remarqué, dans certains Chapitres antérieurs, un cas particulier de la célèbre proposition, connue sous le nom de théorème d^Abel. L'illustre géomètre l'a énoncée dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences de Paris en 1826, qui a pour titre : Remarques sur quelques propriétés générales d'une classe de fonctions transcendantes.

Pour l'établir ici dans toute sa généralité, considérons une fonction rationnelle quelconque <p(<s, u) de z et de w, et une intégrale abélienne U attachée à la courbe

de degré m et de genre p. L'intégrale

/Urflogcp,

prise dans le sens direct le long du contour total de la surface T', c'est-à-dire le long des coupures av, 6v> Cv> est égale à une somme

(') Auteurs à consulter : XbeLj Bemarques sur quelques propriétés générales d'une classe de /onctions transcendantes; Démonstration d'une propriété gé' nérale d'une àertaine classe de fonctions transcendantes; Clebbgh et GordaN, Abelsche Functionen, zweiter Abschnitt.

THÉORÈME d'aBEL. 4^1

de produits de deux facteurs, Fun des facteurs étant une période de l'intégrale U, le second facteur une période de l'intégrale logç. Mais toutes les périodes de cette dernière intégrale sont évidemment des multiples de 2Tzi, et l'on a

(a) / U <ilogçp = 2 7rt('Wiaii-t- mîtoj-i-. . .-H mjpcojp),

ci>i, 0)2, ..., i02p étant les 2p périodes de l'intégrale U relatives aux coupures a^ et 6v} et mi, mz, •.•> in2p des nombres entiers, qui ne dépendent que de la Jonction rationnelle ç(5, u). Le produit 2TC£/ni, par exemple, est égal à l'intégrale

/^logo,

prise le long de la coupure ai, et les autres nombres m/ ont une signification analogue.

Nous supposerons d'abord que l'intégrale abélienne U n'a pas de points critiques logarithmiques; alors la fonction

est uniforme sur la surface T', et l'on peut appliquer le théorème de Cauchy à l'intégrale (2). D'après ce théorème, l'intégrale (2) est

égale au produit de iizi par la somme des résidus de U .^^ sur

toute la surface de Riemann. Ces résidus proviennent des pôles de U ou des pôles et des zéros de ç(z, u). Soient

les zéros de la fonction rationnelle '^(3, u) et

ses infinis, chacun d'eux étant compté autant de fois qu'il y a d'unités dans son degré de multiplicité. La somme des résidus provenant des pôles et des zéros de y(5, u) est égale à

Par conséquent, la somme

est égale à la différence qui précède D, augmentée de la somme des résidus de la fonction

relatifs aux pôles de l'intégrale U. Si, en particulier, l'intégrale U est une intégrale de première espèce iv(z^ w), cette dernière somme est nulle, et il reste

ce que nous écrirons d'une façon condensée

(4) ^^(\hra)^^wi,\'k.r:k).

Nous retrouvons la relation établie plus haut entre les pôles et les zéros d'une fonction rationnelle de z et de u (n** 179 ).

182. L'énoncé qui précède est purement analytique. On donne ordinairement à ce théorème une forme plus géométrique, qui en montre mieux la généralité. Soient

les équations de deux courbes du même degré /i; supposons, pour plus de netteté, que ces courbes n'ont aucun point commun à l'infini avec la courbe F = o, et que les points d'intersection sont distincts des points multiples. Alors les zéros de la fonction rationnelle

(6) ' .= fi±^

sont les points d'intersection de la courbe donnée F(-3, î/) = o avec la courbe /= o, et de même les infinis de ç sont les points d'intersection de F = o avec la courbe ^(z, m) = o. On peut donc énoncer le théorème d'Abel sous la forme suivante :

THKORÉKE D'ABEL, 4^3

La somme des valeurs d'une intégrale ahé tienne de première espèce aux points d'intersection de la courbe donnée C Wec une autre courbe algébrique G est égale, à des multiples très des périodes, à la somme des valeurs de la même intégrale ; points d'intersection de C avec une autre courbe C, de même degré que C.

Les reslrîclions que nous avons faÎLes sur les poials d'inlerseclion ne sont d'ailleurs nullement nécessaires. Par exemple, supposons qu'en un poinl (Ç,T|) à distance Onie ou à l'infini, la courbe donnée F=ro ail 17 points commuas conTondu» avec la courbe el q' points communs confondus avec 1]/ = o. Si, pour plus de simplicité, nous admettons que les valeurs de u qui deviennent égales à Ti pour ; = Ç forment un seul système circulaire, le poinl \, Ti) ne sera ni un pûle ni un zéro pour <f{z, u) si g = q' ; ce ■a un pûle d'ordre q' — q si q' est > 7, un zéro d'ordre

- q', si q est >- q' (n" 9

. Dans tous les c

1 peut suppo-

ser que, dans l'égalité qui exprime le théorème sous sa première forme, le terme n'(;, t, ) figure q fois au premier membre el q' fois au second membre. On aura donc, d'une part, la somme des valeurs de l'intégrale w aux points Je rencontre de F = o avec o, cbacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité; tre part, la somme analogue relative aux points d'interseclion de F ^ o avec îj* = o. De là résiilte la généralité du second énoncé.

Tant qu'on ne fait aucune hypothèse sur les chemins suivis par variable, il est clair qu'on ne peut obtenir une proposition us précise. Mais on peut aller plus loin. Considérons une première courbe /{;, u) = 0, de degré n, qui coupe la courbe F ^^ o go mn points que nous supposerons distincts, pour fixer les idi'es, i(Çi,Tj)), .-., (SmHi Tiran); imaginons ensuite quc les coefficients de y{3, u) varient d'une manière continue depuis leurs valeurs ini- 'Uales. Les mn points d'intersection de C avec la seconde courbe décrivent sur T certaines lignes continues à partir des valeurs initiales. Cela posé, la somme des accroissements d'une intégrale de première espèce le long des lignes continues décrites par 1 points (El, 7;,) est rigoureusement nulle. U suffit évidemment de le démontrer pour une variation infi-

4o4 CHAPITRE IX.

niment petite des coefficients de /(>3, u). La nouvelle courbe aura une équation de la forme

e étant un nombre très petit ei/i(Zj u) un polynôme de même degré que /(5, u). Supposons que les coupures Ov, évj ^v aient été tracées de façon à ne pas rencontrer les lignes décrites.par les points (Ç/, r\i)y ce qui est toujours possible si ces lignes sont suffisamment petites. D'après la proposition générale, la différence

mn mn

est égale à la somme

m\{ti\-\- » . .-\- ffiipiùfpj

les produits tels que iTzirrik représentant les périodes de l'intégrale abélienne

log?(z,«) = log-^ -j^^

relatives aux coupures ûTv, 6v Or il est aisé de voir que ces périodes sont toutes nulles. Par exemple, la période relative à la coupure ay est égale à l'intégrale

JkK) '

tdx

où Ton a posé

Supposons, ce qui est évidemment permis, le module de 7(5, u) plus petit que l'unité tout le long de la coupure b^. Si l'on désigne par / la longueur de cette coupure, le module de l'intégrale est

moindre que -— — ; comme cette période doit être un multiple de

2 7îi, on en conclut qu'elle est rigoureusement nulle.

Ainsi, si Von considère les points dHntersection d^une courbe fixe G avec une courbe variable de degré /?, la somme des valeurs continues d'une intégrale abélienne de première

THÉonÈHE h'adel. 4o5

Btpèce, attachée à la courbe C, aux points d'intersection variables reste constante.

Le thëorènie subsiste évidemment si quelques-uns des points l'inlerseclioQ vont à rinHiii ou viennent aux points de ramiflcalioD. Lorsque la courbe mobile passe par un certain nombre de points fixes de ta courbe donnée, on peut eu faire abstraction Vns l'application du théorème.

183. Supposons, en second lieu, que l'intégrale U soit une inlé- [rale de seconde espèce, admettant un seul pôle du premier ordre 'a, b) en un point à distance finie et distinct des points de ramification, avec la partie principale

le résidu de la fonciion U

point (a, b), est égal à

i^^, où f'{a, b) désigne la valeur de la dérivé. pour s^= a, w := 6, et il reste

2;u(;,,7i,)-2'j(ïi-.ii

Si l'on pose, comme plus liaut, f{z, u) ^ vr— ^ — ;• oii / el ^

)nl des polynômes de t

e degré en z et U, on a

?(«,*) Aa,b) >Kû,A/

Les points (Sf, -lii) sont les points d'intersection de la courbe '■(*, u)^=o avec la courbe donnée F = o; les points (Ç^, t]^) les lotnts d'intersection de (J^ = o avec F ^ o. Un cas particulier teroarquable est le cas où, parmi les courbes du faisceau

;n trouve une qui coupe la courbe F = o en deux points confondus au point {a, b). Alors, pour une ceruine valeur de la constante X, on a

f{a,b)^\ii'(a,b) =

4o6 GHAPITaR IX.

d'où, en éliminant ^, on voit que la quantité^ — '-jl est nulle.

On peut alors énoncer le théorème suivant, utile dans les applications géométriques : Soit U une intégrale de deuxième espèce avec un pôle simple (a, b) ; si l'on coupe la courbe F = o par deux courbes de même degré f= o et «^ c= o, telles que, parmi les courbes du faisceau / 4- )v<{/ = o, il s'en trouve une tangente à F au point (a, 6), la somme des valeurs de U aux points d'intersection de F et de/ est égale à la somme des valeurs de U aux points d'intersection de F et de cp,

184. Si le point (a, b) est un point de ramification, ou s'en va à l'infini, ou si ce pôle est d'un ordre supérieur au premier, les résidus de la fonction

ont une expression moins simple. Mais, quels que soient l'ordre et la position du pôle sur la surface, si la fonction rationnelle Y(5, u) dépend d'un certain nombre de coefficients arbitraires c,, C2, . . ., Cq^ dont elle est une fonction rationnelle, le résidu relatif au pôle {a y b) est toujours égal à une fonction rationnelle de ces coefficients indéterminés c^, c^t ..., Cq, Il en sera encore de même pour la somme des résidus, si l'intégrale abélienne U admet un nombre quelconque de pôles, sans admettre aucun point critique logarithmique. Pour plus de précision, supposons

P et Q désignant deux polynômes entiers en u et Zj dont nous désignerons les coefficients par c^, C2, ..., Cç, Le théorème d'Abel nous montre que la différence entre la somme des valeurs de ^intégrale abélienne U pour les zéros de la fonction rationnelle 'f{zj u) et la somme des valeurs de la même intégrale pour les pôles de <p(5, u) est égale à une fonction rationnelle des coefficients C|, ..., c^ des deux polynômes P et Q, abstraction faite d^une somme de multiples de périodes de l'intégrale U.

THÉORÈME d'jgel. 407

Cette foociion rationnelle des coefficients c,, c^, ..., c^ peut toujours être calculée clt^s qu'on connaît les pôles de U et les parties principales correspondantes. Pour donner à l'énoncé précéîdenl une forme gcomctrique, il suffît de répéter ce qui a été fait ^our les intégrales de première espèce. Soity(;, (/)^;oréqua- ^on d'une courbe de degré n qui rencontre la courbe donnée en npoints {Ç|,'>ii), ..., (Snn, 'T^nn); imaginons que les coeriicients de/(z, u) varient d'une manière continue; les points {£), tj,), ..,, (Eniui Tima) se di^placent sur la surface T d'une manière continue. ISoient{E', ,Ti'|), ...j (£)„„, ïi^„) les nouvelles positions de ces points d'intersection, correspondant à une autre courbe ifi(r, u)^=o de même degré. Cela posé, on a

sx;

Ip désignant une fonction rationnelle des coefficients des deux poïjnomes/et 'j;, elles intégrales étant prises suivant les chemins décrits par les points (Ç,, t„), lorsque les coefficients du polynôme/" varient d'une manière continue depuis les valeurs initiales JDsqu'à devenir égaux aux coefficients du polynôme ^.

Supposons donnés tous les coeflîcieats du polynôme /, les coefficients de <j< restant variables,, l'égalité (8) peut s'écrire

La première partie du second membre reste constante; par

;onséquent, la somme des valeurs cl' une intégrale abélienne U,

'admettant aucun point critique logarithmique, prises depuis

ne origine commune (z^, u^) jusqu'aux mn points d'intersec-

lon de (a courbe donnée avec une courbe variable de degré n,

(:, h)^o, est égale à une constante C, augmentée d'une

'onction rationnelle des coefficients du polynôme i({s, u).

Rien n'empêche d'ailleurs de supposer que ces mn intégrales

it des limites inférieures différentes, pourvu qu'elles soient fixes,

qui revient à modiGcr la constante C.

4o8 CHAPITRE IX.

185. Lorsque Fintégrale U admet des points critiques logarithmiques, la fonction

n'est plus uniforme sur la surface T', et le raisonnement doit être modifié. Pour plus de netteté, supposons que U se réduise à une intégrale de troisième espèce avec les deux points critiques logarithmiques (a, 6) et («1, hC)' Il faudra joindre aux coupures Ov, fcv, ^v uiïe nouvelle coupure L joignant ces deux points critiques et ne rencontrant pas les précédentes. Sur la nouvelle surface T*

la fonction sous le signe / est uniforme et Ton peut lui appliquer

le théorème de Cauchy; Tintégrale

/Urflogo(5, a),

prise le long des coupures Oy, 6v> ^vj a la même expression que plus haut. Quant à l'intégrale prise le long des deux bords opposés de la coupure L dans le sens direct, elle a pour valeur (n« 149)

Il vient, par conséquent, l'égalité suivante

-^JXX(a„ft,) .AdXJL(a,,^,, *'çp(«,,6j)

qui constitue le théorème d'Abel dans le cas des intégrales de troisième espèce.

De cette formule on déduit, en répétant les raisonnements déjà employés pour les intégrales de première et de seconde espèce, les conséquences suivantes :

1® Soient/(:;, w)=:o, i{(^z^u) =: o les équations de deux courbes de degré n. On a

TIIKOHEME D'ABEL. 409

poinls d'iotersection de F:=o avec les deux courbes /"=o, :o étant représentés respectivement par (Si, vi,), (S'j, r,\) = 1,2, . . .,mn), et les chemins d'intégration étant fixés moie il a été déjà expliqué. On remarquera que la fonction sous signe tog est une fonction rationnelle des coefficients des deux y et '[i. Par exemple, si les deux points singuliers loilhmiques de l'intégrale II sont les deux points analytiques ■auperpost's en un point double dans des feuillets différents de ta surface de Riemann (p. 201), on a a := a,, b^ b,, el le logarithme du second membre est nul; la somme des intégrales (1 1) est alors nulle à des multiples de périodes près,

st de même dans le cas plus général où il existe une courbe du faisceau y( 5, k) +).'{>(z, «) = o passant par les deux yinls (a, ù) el {a,, b,). En effet, on a alors, pour une certaine ileur de À,

/{o,6)-(-Xi(a, 6) = o, /((7,,i.)-l-X.|,(a,,i,)=o, OÙ

2" Soit U une intégrale abélienne quelconque, et/^ o, 1]/^ o s équatious de deux courbes de degré n, qui coupent respectîiroent aux mn points {Ç,, r^) et (S), t,;) la courbe proposée. On une relation de la forme

la)

'if'''

■■ + A, logf,

Ati Aj, ..., Ar étant des constantes, et i>, i,, Cj, . . ., <v des foncions rationnelles des coefficients des deux polynômes /et <{'. 11 nffil, pour établir celte formule, de décomposer U en intégrales les trois espèces.

3' Si la courbe/est fixe et la courbe <!f variable, la formule (12) lerieot

désignant une constante. Par conséquent, la somme des valeurs

4lO CHAPITRE IX.

(ïune intégrale abélienne quelconque U, prises depuis une origine commune (-So, Wo) jusqiCaux mn points d^ intersection de la courbe donnée avec une courbe variable de degré n, (j;(5, m) = o, est égale à une fonction rationnelle des coefficients de i, augmentée d'une somme d'un nombre fini de loga rithmes de fonctions rationnelles des mêmes coefficients, multipliés par des facteurs constants.

On peul remarquer, comme plus haut, qu'il n'est pas nécessaire de prendre la même limite inférieure pour toutes les intégrales.

186. Tel est, dans le cas le plus général, le théorème d'Abel. Pour les applications, il est commode d'avoir une formule générale s'appliquant à tous les cas particuliers. Désignons toujours par cp(5, u) une fonction rationnelle de z et de i^ dont les zéros et les infinis sont respectivement

et par

R(>3, u)dz

une intégrale abélienne quelconque. Imaginons qu'on trace ud contour fermé G sur T', ce contour renfermant à son intérieur tous les points singuliers de l'intégrale U et laissant à l'extérieur tous les pôles et tous les zéros de <p(z, u) ; soit T'' la surface connexe ainsi obtenue; l'intégrale

Uc?logo,

prise dans le sens direct le long du contour total de T*^, est égale, d'une part, à

d'autre part, la portion d'intégrale prise le long des coupures Ov, év, Cv a pour valeur

resle à calculer la porlion d'intégrale prise le long Ju contour C.

4) rf(UloB<y)=Udlog? + ft(«, K)Iog?rfi;

Tsque le point (s, u) décrit le contour C, le produit Ulogo svient à SQ valeur initiale, puisque ce contourne renferme aucun point critique de logy et renferme tous ceux de l'intégrale U. Il lent donc

f U-^logtf =— f R(^, o) logif rf:.

•^(Cl *'(C|

A l'intérieur du contour C, la nouvelle fonction R(s, «)logœ it uniforme et on peut lui appliquer le théorème de CaucLy, On par conséquent, en remarquant que, si l'on décrit C de façon à •voir l'aire T" à sa gauche, on a l'aire intérieure à droite,

i second membre désignant la somme des résidus du produit B(z, u)log<p relatifs à tous les points singuliers de l'intégrale ibéllenne U.

Remarque, — Dans l'application de cette formule, il faut imaginer tracé le contour C, et choisir une des valeurs multiples de bgo(3, u) pour un point intérieur; les valeurs de ce logarithme )our tous les points singuliers de U s'en déduisent par conlinuilé. Pour avoir un énoncé géométrique applicable aux points d'injlersection d'une courbe variable avec la courbe fixe, nous procéderons comme plus haut, en prenant pour ^ le quotient de deux polynômes de degré n, fp^= '^.^ -' „i' Les notations étant les mêmes, Ib formule (là) devient

rfu =

R(=, «jioe

Pour n'avoir aucune ambiguïté dans l'application de cette formule, il faut imaginer les coefâcients d'une courbe variable de degré n variant d'une manière continue, depuis les valeurs qui

4l2 CHAPITRE IX.

conviennent à la courbe /(s, u) = o jusqu^aux valeurs qu'ils onl pour la courbe ^{z, w) = o; les intégrales du premier membre sont prises suivant les chemins décrits par les points mobiles d'intersection, et, si le second membre présente des logarithmes, on déterminera les valeurs qu'il faut leur attribuer en suivant leur variation continue en même temps que celle des coefficients variables.

Supposons en particulier que les deux courbes /= o, ^ = o fassent partie d'un faisceau de courbes de degré n

et imaginons que, Xo restant fixe, X seulement soit variable. De la formule qui donne I

on déduit

il est clair, en efiet, que la dérivée d'un résidu par rapport au paramètre X est égal au résidu de la dérivée par rapport à X. On a par conséquent

(.7) I=jr'c[R(.,«)^yA

le signe C s'étendant à tous les points singuliers de l'intégrale considérée {*).

On peut remarquer que 0< et 0 sont deux courbes quelconques du faisceau f -\-'kà = o. Supposons que f et ^ ne passent pas par les pôles de U, mais que, dans le faisceau /"-{- X<{^ = o, il s'en trouve une, que nous appellerons B^ , qui passe par tous les infinis de R(-s, u) d'ordre supérieur à l'unité, de telle façon que le produit K(Zj u)St n'ait plus que des infinis d'ordre inférieur à

l'unité. Alors les résidus de R(^, u) ■- — v-^ sont nuls, quel que

soit X, et l'on a 1 = o. Donc, dans ce cas particulier, la somme

(') On trouvera d'intéressantes applications de cette formule dans un Mémoire de M. (lumbert {Journal de Mathématiques, 4* série).

THÉORÈME D'ABEL. 4i3

f dU, prises depuis les points de rencontre

de F avec la courbe /=o jusqu'aux points de rencontre de F avec ^ =: o, est nulle à des multiples de périodes près. C'est la généralisation des remarques du n° 185.

187. Appliquons la formule générale (i5) aux intégrales hyperelliptiques. Soit

une relation algébrique, où R(;;) est un polynôme de degré 2/? -h i ou 2/7 + 2, sans facteurs multiples, et

une intégrale abélienne correspondante, P{z) étant un polynôme entier en z. Considérons les [x points d'intersection de la courbe

(18) avec la courbe

0(5) — aOi(2) = o,

où 8 et 0< sont des polynômes entiers en ;:. Soient (Z|, W|), . .., (5|x, tt|i) ces [X points; Z|, Z2, • . ., ^|j. sont racines de l'équation

Désignons par y\(z) et par y\{{z) deux autres polynômes de même degré respectivement que 0 et 0|, et soient (z\y w',), . . ., (5^, u^) les [X points de rencontre de la courbe (18) avec la courbe

r,(3) — MT^,(5) = 0.

La fonction rationnelle

admet les [x zéros (2/, w/) et les [x pôles (2], «,), et, si l'on suppose que les polynômes 0, 0|, rj, rji sont les plus généraux de leur degré, les points à TinGni de la surface ne sont ni des pôles ni des zéros pour ;p( .3, u). Remarquons maintenant que l'intégrale v(z,u)

4l4 CHAPITRE IX.

est régulière en lout point à distance finie; la formule (i5) nous donne donc

(20) ^v(zi,Ui)—^v(z'i,u'i)^C^ --i2iog(p(3,a);

mais la somme de ces résidus n'est autre chose que le coefficient de ' dans le développement de

dans le domaine du point à Tinfini. Si Ton regarde maintenant les coefficients des polynômes Trj, tii comme constants, les coefïicients de 0, Oi restant seuls variables, il vient

(21) V{^ty Ml) -4-. . .-h P(5pti Wpt) = C -+- r,

G étant une constante et r le coefficient de - dans le développement de

On vérifiera sans peine que cette formule est identique à la formule (29) [théorème III] du Mémoire cité d'Abel.

Dans le domaine d'un point à Tinfini de la surface de Riemann, le logarithme d'une fonction rationnelle de z et de u est de la

forme qiogz -h P f - j ou de la forme q\ogz 4- P ( -^ )> suivant

que ce point à l'infini est un point ordinaire ou un point de ramification, P{t) désignant une fonction régulière pour / = o. Si l'intégrale considérée est de première espèce, le développement

de — ^ commence par un terme en ^^ ou en -^; il n'y a donc pas

de terme en - dans le produit log(^ ^j et, par suite,

r = o. C'est le théorème connu pour les intégrales de première espèce.

188. Il est intéressant de remarquer que r peut être nul ou indépendant des coefficients variables, pour certaines formes par-

THÉORÈME d'aBEL. 4i5

liculières des polynômes 0, 0|, sans que l'intégrale Sf{z, u) soit de première espèce. Par exemple, supposons que R(2) soit un polynôme du cinquième degré et P{z) un polynôme du deuxième degré; soit, en outre,

e(^) = zP -h A,>5P-» -4- A,zP-« -4-. . . , 0,(-s) = nzP-^ -f- BizP-^ -h B,zP-» -f-. . .,

n étant une constante et A| , A2, . . . , B< , Bq, . . . des coefficients

arbitraires, dont le nombre est égal k 2p — 3. Dans le domaine

P(z) du point à Tinfini, le développement de commence par un

terme en -7=: le second facteur loerr ^ peut s'écrire

*"s(rr^)

en posant

6 zP-^ XizP-^ -h,*.

Le développement de V, pour 2 =: ao, commence par un terme en --; et le coefficient de ce terme est indépendant des coeffi-

cients variables A|, A2, .... Le coefficient de - dans le produit

est donc indépendant des coefficients A et B. On déduit de là la conséquence suivante. Supposons, pour fixer les idées,

R(z) = (5 — ei)(z — e,) . . . (^ — e») , P(5) = ^«;

soient (^i,{<i), ••-, {^2pi f^2p) les points de rencontre de la courbe a*= R(5) avec la courbe variable

5i , 5â, - . . , S2p étant racines de l'équation de degré 2p

4l6 CHAPITRE IX.

La somme

reste constante, lorsque les coefficients A et B varient d'une manière quelconque, quoique l'intégrale f^(3, u) ne soit pas de première espèce (*).

Les autres énoncés que renferme le Mémoire d'Abel se déduiraient de même de la formule générale (i5). Par exemple, en considérant l'intégrale

et en conservant les mêmes notations, on a

OÙ

p» = R(a) et où r est le résidu de

Pis) j^ rer5)H-MMf)"]

pour le point à l'infini.

189. Nous allons donner une seconde démonstration du théorème d'Abel, d'un caractère plus élémentaire, et qui montre encore mieux la véritable origine de cette importante proposition. Elle est d'ailleurs identique à la démonstration donnée par Abel luimême pour le cas le plus général d'une relation algébrique de forme quelconque.

Soit

(22) F(zj u) = o

l'équation d'une courbe algébrique quelconque C de degré w, et soit

' l{{Zj u)dz

(•) On trouvera dans l'Ouvrage de M. Darboux, Leçons sur la théorie générale des sur/aces, t. II, p. 3ii, une application intéressante de cette remarque.

THÉORéME D'aBEL. 4i7

une intégrale abélienne quelconque attachée à cette courbe. Une courbe C de degré n

dont l'équation renferme un certain nombre de coefficients variables a<, «2, . . . , af(, rencontre la courbe C en mn points variables avec ces coefficients (^i, z/i), (^So? ^2 ),..., (-5m/î> w„,/,). La somme des valeurs de l'intégrale abélienne (^(z, m), où l'on prend successivement chacun de ces points d'intersection pour limite supérieure

l = v{Zi,Ui)-h.,,-hv(z,nnrUmn)=^ 1 R{z, u)dz,

est une fonction des paramètres a<, «2, . . . , «aj dont nous allons chercher la forme analytique.

Désignons d'une manière générale par oV la différentielle totale d'une fonction V par rapport aux paramètres a< , «2, . . . , «a. On a

oI = ^RC^i, Ui)ozi.

Des équations (22) et (^S) on tire

àF ^ ÔF ^

- — OZi -+■ -r tUi -+• ÙVi = O,

dZi âui

ozi = ^^iW{zi,Ui),

W(zi, Ui) étant une fonction rationnelle de (zi, ui) et des coefficients ai, ^2, . . . , «Aï et 4>| désignant 4>(>3|, Ui). En remplaçant S^i par cette valeur dans 31, il vient

U=.^Vi{zi,Ui)W{zi,Ui)l<^i.

Si l'on développe S4>/ = -r-^ oa, -j- . . . -r ^ SaA, le coefficient A. ET G. 27

4l8 CHAPITRE IX.

de o«i, par exemple, dans le second membre, est égal à

c'est-à-dire à une fonction rationnelle et symétrique des coordonnées des mn points (:;i, w< ), (lîai "2)»- • • 7 {^mm Umn)^ fonction qui est en même temps rationnelle par rapport aux coefficients ai, ^21 •••? ^A* Or, toute fonction rationnelle et symétrique des coordonnées des mn points communs aux deux courbes (22) et (23) est égale à une fonction rationnelle des coefficients des deux équations. Il reste donc en définitive

n<, lia, ...,11^ étant des fonctions rationnelles des k coefficients ûTijATo' •••>«A7 ne renfermant plus les coordonnées des points (5/, Ui), Par conséquent

1= / Ilioai -T- Iljoaj -h. . .-T- n^oaA-;

or, les fonctions IT|, 112, • • •> ^a étant rationnelles, l'intégration ne peut introduire d'autres transcendantes que des logarithmes. La somme I est donc égale à une fonction rationnelle des coefficients a^ , a2y . . . , «A, augmentée d^ une somme de logarithmes de fonctions rationnelles des mêmes coefficients.

Si l'intégrale abélienne considérée est de première espèce, la somme I doit être constante. En effet, si les fonctions n< , 112, • • • • Wk n'étaient pas identiquement nulles, on pourrait trouver un système de valeurs a^ a',, . . . , a'/^ pour les coefficients «i, «2? • • • » ak^ tel que I deviendrait infini pour «i = a'j , . . . , a^t = «^. Si les points de rencontre de la courbe C avec la courbe variable C, qui répond aux valeurs a\^ . . . , a]^ des paramètres, sont {z\^ u\)^ . . . , {^nini^^'mn)^ il y aurait au moins une des valeurs de (^(^, w) qui deviendrait infinie lorsque le point (5, //) tendrait vers un des points (5), w]); ce qui est impossible, puisque l'intégrale est de première espèce.

190. Si l'intégrale abélienne considérée est quelconque, il est facile de montrer que l'on retrouve les mêmes formules finales