THÉORÈME D*ABEL

que par la première méthode. Pour plus de simplicité, supposons que ç(z^ u) soit une intégrale de seconde espèce avec un pôle simple (Ç, 7)) à distance finie, distinct des points de ramification, le résidu étant égal à i . Etant données deux courbes du même degré /i, représentées respectivement par les deux équations

si l'on considère le faisceau de courbes

fi{z, u) - ^(2, u) —f{z, m),

les deux courbes appartiennent à ce faisceau et correspondent aux valeurs zéro et un du paramètre \, D'après ce que nous venons

de démontrer, la dérivée -7^ est une fonction rationnelle du paramètre 5v. D'autre part, la somme I conserve une valeur finie, sauf pour la valeur X| du paramètre X, telle que l'un des mn points d'intersection soit venu au point (Ç, v^), c'est-à-dire pour la valeur

Pour fixer les idées, supposons que, pour X = ).|, un seul des points d'intersection vienne au point ($,Ti). Dans le domaine du point (Ç, T^) on a

A étant un coefficient différent de zéro qui a pour valeur

8Ç y' dri J dr, ) drt V' Oj ^ d\ ) A

Inversement, dans le voisinage de X = ^, , on a

^ - 5 = ^ (X - X,)[i-+- B,(X -x,)-i-...]. L'intégrale v{xi, jt), correspondanl au point {xi, yt) qui vient

coïncider avec le point (Ç, r^) pour X = X|, est donc, dans le domaine du point X,, de la forme

P(). — X<)étant une fonction régulière pourX = X,. La différence

X — Xi

reste donc finie pour toute valeur de X, et, comme sa dérivée est une fonction rationnelle de X, elle se réduit nécessairement à une constante. Écrivons que la somme précédente a la même valeur pour X = o et pour X = i ; il vient, en remarquant que A

peut s'écrire

D(F,cp) D(F,/)

Ar=

-I?-A( x\ ,-xJ-~Xt(i-Xi

et, en remplaçant X< par sa valeur,

ce qui peut encore s'écrire

(26) i/+>:^-iî

7 rf$ - '? -^ » rfr

c'est au fond la même formule (7) que nous avions déjà obtenue par la première méthode. 1/ et I<p représentent respectivement la somme des valeurs de l'intégrale ç^(>3, 11) aux mn points d'intersection de la courbe donnée avec les deux courbes f = o ei o =0.

Le procédé qui vient d'être indiqué s'applique évidemment à une intégrale abélienne, quels que soient les points singuliers et leur position sur la surface. Nous ne nous y arrêterons pas davantage.

THÉORÈME d'aBEL. 4^1

191. Après ces généralités, nous allons considérer en particulier le cas des intégrales hyperelUptiques. Soit

une relation hyperelliptique de genre/?, et <f{z) une fonction rationnelle quelconque de z. Si Ton veut considérer le système des points de rencontre de la courbe (27) avec une autre courbe algébrique quelconque /(z, w), on peut supposer qu'on a remplacé, ddius /(z^ m), une puissance paire de w, telle que w^*, par [R(:;)]* et une puissance impaire de w, telle que w^*"^*, par [R(5)]*w, ce qui revient à prendre pour équation de la seconde courbe une équation du premier degré en w,

P{z) et Q(2) étant des polynômes de degré m. Les abscisses des points de rencontre des deux courbes (27) et (28) sont données par Téquation

(•29) P«(z)-QH^)R(3)r.o,

de degré 2/nH-2/? + 1 ou 2/w-r 2/j -j- 2, suivant que R(>5) est de degré 2/? -f- 1 ou 2/? -H 2. Soit g le degré de cette équation, Zt, Z2j ..., Zq ses q racines, et W|, M2? •••> w^ les valeurs correspondantes de u^

Posons toujours

et désignons par la lettre S la différentielle totale prise par rapport aux coefficients variables des polynômes P(-s) et Q{z). On a

de Téquation

^{Zi) = Pî(^/) - q^{zi) R{Zi) = o,

on lire

c'est-à-dire en développant o^(zi),

et, par suite,