IV INTRODUCTION

justifier cette définitian, il suilGt de remarquer que le nombre ainsi défini jouit de la propriété caractéristique du résidu : Tinté-

grale 1 /{z)dz, prise le long du contour limitant le domaine d'un

point singulier, dans le sens direct, est égale au produit de 2^1 par le résidu relatif à ce point. Dans le cas où nous nous plaçons, c'est la circonférence C qui limite le domaine du point 00; cette circonférence doit être décrite de façon à laisser à gauche le domaine du point 00, et, par suite, en sens inverse du sens habituel. Dans l'intégrale

le seul terme qui n'est pas nul provient du terme en -, et l'on a

Jf f (z) dz = — 2.T.i Al =^ ^TziR^.

in

Il est à remarquer que le résidu au point oc d'une fonction régulière en ce point n'est pas nul en général. Par exemple, la fonction

admet un seul pôle à distance finie z=^ b^ avec un résidu b — a. Elle est régulière au point 00, car on peut l'écrire, dans le domaine de ce point,

et le résidu en ce point est égal k a — b.

Si le point à l'infini n'est pas un point singulier essentiel pour f{z)^ on peut écrire, dans le domaine de ce point,

où Bo est différent de zéro, k étant nul, positif ou négatif, suivant que la fonction f{z) a une valeur finie et différente de zéro au

I pointoo, que ce point est un pôle ou un zéro. La dérivée logaritiimiquc est régulière au point ao, et le résidu est égal à — A.

s étant jtosL-fis, TUppolons encore les il