V î?i^ Q/R(g/)aQi-P/5P
' -Zà ^\Zi) P/
oJ
Remplaçons au numérateur Q,^R/ par P? et supprimons le facteur commun P/, il reste
Si l'intégrale / 2^—^ dz est de première espèce, y (2) est un polynôme de degré/? — i au plus: le coefficient d'une différentielle quelconque telle que ouk au numérateur est un polynôme de degré '?.m-\-p — 2 au plus. On a donc comme coefficient de Zak une somme telle que
étendue à toutes les racines de l'équation <{^(^) = o, B(-3) étant un polj'nome de degré 2.m-\-p — 'i au plus; le numérateur est donc d'un degré inférieur de deux unités au moins au degré de ^{z). D'après une propriété élémentaire bien connue, cette somme est nulle.
Remarquons ici que le degré de l'équation (29) peut s'abaisser pour certaines valeurs particulières des coefficients des polynômes P(:;) et Q(^). Dans ce cas, quelques-uns des points d'intersection des deux courbes qui sont variables avec les coefficients doivent être considérés comme s'étant éloignés à l'infini.
192. Nous allons nous occuper maintenant de quelques-unes des applications les plus importantes du théorème d'Abel. Étant donnée une courbe algébrique de genre /?, F(z, m) == o, et une
TiiiioHKjiË d'abel. 4aî
intégrale abélienne (Quelconque i'(j, m) atlachée à celle courbe, la somme des valeurs de celle intégrale en un nombre quelconque de points analytiques
peul toujours se ramener à la somme des valeurs de la même intégrale en p points {z[, u\), ..., (s' , u' ), se déduisant algébriquement despremiers, augmentée de quantités algébriques et logarithmiques.
Il suffit évîdemmenl de démonlrer In propriété lorsque ji = p + I . En efTel, si la somme de p -\- i intégrales se ramèiii' & la somme de p inL^grales, la somoie de /> 4- a intégrales se ramènera d'abord à la somme de p -^ i inlégrales, puis à la somme de p inlégrales. En continuant de même, on voit que le résultat isera général. Supposons donc qu'on ail la somme
vis,, Ui')-i-viZi, K,l-!-...-i-l'(i,,+ l, U,,^i).
près un résultai élabli plus baul(ii" 172), on peul toujours îr un faisceau de courbes (par exemple de courbes adjointes d'ordre m — a) rencontrant la courbe donnée en ^ + i points variables seulement, de telle sorte que pour l'une des courbes du faisceau ces p -h i points variables soient précisément les points donnés {;., h,]. .... ('=,,^.,, ";.+.)■ Soit
l'équation de cette courbe particiilièie C du faisceau,
'équation d'une courbe quelconque du faisceau. Les polynômes '(s, u),/t {s, u) ont leurs coefficients qui dépendent rationnelleaent des^ + i points donnés (3,, «,),.. ,, {zp^t, «p+i). Dispolons mainlenanl du paramétre À, de façon qu'une courbe du faisu passe par un point donné â ravance(a, fl), par exemple, par le point pris pour origine des intégrales. Celte courbe C" rencontre en outre ta courbe donnée enp points (;'|, u',}. ...,(z' , u')
qui dépendent algébriquement des premiers ; d'après le théorème, général, la différence
est égale à une fonction rationnelle des coefficients des deux courbes G', C, augmentée d'une somme de logarithmes de fonctions rationnelles des mêmes coefficients. On a donc- bien
(33) i i>(^i,Ui)-h...-^v(Zp^uUp+i)
C, A|, ..., Aq étant des conslanles et ç, «p^, ..., cp^ des fonctions rationnelles des coordonnées des /? -î- i points donnés (-Sj,M|), .... {zp^ij Up^i). La proposition est donc établie.
Si, en particulier, l'intégrale i^{z, //) est de première espèce, la différence
se réduit à une constante (^(a, P). La proposition générale peul, dans ce cas, s'énoncer ainsi : La somme des valeurs d'une intégrale abélienne de première espèce en un nombre quelconque de points analytiques est égale, à une constante près, à la somme des valeurs de la même intégrale en p points analytiques seulement, qui dépendent algébriquement des premiers.
C'est le théorème d'addition pour les intégrales de première espèce. '
193. On déduit de là sans difficulté l'intégration des équations différentielles dites abéliennes, dans le cas le plus général. Soient
=z l ox{z,u)dz, i>2^ I Oi{z, u)dzj ..., Vp = I Qp(z,u)dz
p intégrales linéairement indépendantes de première espèce, attachées à une courbe de genre p. On donne le nom d'équa-
atfférentielles abélienne.i au système ^q ua Lions suivant
lÇl(Sl.«l)''-il-^?l{Sli"l)''-l -+--■■-*- 7l(-3p> Up)litp-i-'^,iZp^i, U,,^,)d3p+,!^t,
i ?l(S|.«l)''=i + — ?l(=p+l,M^lfrf^/M-l = o l^ <p^(ii. u,ids, + -t-çp(«^,, Up+,)rfa^, = 0
où l'on suppose toujours z,- et «,- liés par la relation Ffs/, h,) = o. Ces p équations définissent p des points analytiques (s,, ///) en
I fonction du (z' + i)'*"", par exemple, (3i. «/î) (i;,+i, «/.+.), pi fonction de {z,, U|), quand on se donne les valeurs initiales çEnTii). {5s,T|j), .-., (E^+i, fip+i)- D'après les ihéorOracs généraux de Cauchy, ta solution du système (34), où les valeurs initiales sont les précédentes, est complélement définie ('). Celte solution est d'ailleurs donnée par les équations
( Vi (=,, «,)+.',(*.. Ut)^-+^i fS^I, W^-. ,^= ", (El, T,.) ■^...+- fta^^U 1,.+.)
■p(ii, «i)— -^-('p(;^„ Up.^,) = Pj,(5„ ïi,) -I-. . .+ t>p(^^„ 11^1 )
iiivalentes aux équations (34). en tenant compte des valeurs BÎttales. Ces relations paraissent transcendantes, mais elles sont, 1 réalité, algébriques (Cf. 179). Ima-inons, en effet, qu'on ait iquation d'un faisceau de courbes
mcnnlrant la courbe donnée en p +i points variables seulement,
m p A- 1 points variables se réduisant aux/? -|- i points donnés
,fi,), ..., (^p+t,-t\p+,) pour une des courbes du faisceau, par
Ëteoiple, pour la courbe /(s, u)^=o. La courbe du faisceau (36)
ncontre la courbe donnée au point (:;,,i/|) et, en outre, en ■points (Sg, Kj), . . .,(sp+,, Mp+i) variables nvec (s,, «,). Ce groupe Tb/( points se réduit au groupe des points (E,,Tii), . . ., (Çp+i,Tip+i)
■,{•} Nous négligeons Im cas exceptionnels où les /)-<-i points (E, 11} seraient i:DUrbc adjoinie d'ordre m— 3. On icmit conduit ides solutions singulières s laissons de cMi.
lorsque (^i, u^ coïncide avec le point (Çj,?),). D'ailleurs, d'après le théorème d'Abel, ce groupe de p points satisfait toujours aux équations (35) et, par suite, aux équations (34). Il constitue donc l'intégrale de ce dernier système, qui est défini par les conditions initiales données.
194. Les calculs à effectuer sont plus ou moins compliqués, suivant les cas. Nous allons indiquer comment on peut les effectuer pour les intégrales hyperelliptiques, en modifiant légèrement la méthode générale.
Soit
(38) M«= Ao5îP-+-*-4- Ai^sî/'-^'H-...-^ A,p^.iiî-i-A2p-Hj= R(5)
une relation de genre /?, le coefficient Aq pouvant être nul, mais le coefficient A| n'étant pas nul dans ce cas, et
(Ji)) tt = ao-s/'-^^H- ai-zP-h. . . f- a
une courbe de degré /> -f-i, où a^, a2, . . ., a^^i sont arbitraires
et où l'on a pris ao= y/Ao . Ces deux courbes (38) et (39) se coupent en 2/? -f-i points variables avec les paramètres ai , a2, ..., «/ï+i, et généralement situés à distance finie. Les abscisses de ces f>./>-f-i points (:;,, w,), . . . , (52/>4.«> '^a/^+i) sont fournies par l'équation
On peut disposer des p -f-i paramètres a,, . . ., a^^i de façon que la courbe (39) passe par /? -|- i points donnés à l'avance de la courbe (38), (>3| , ?/,), . . . , (^/?+i , Up^i), Les p points restants
sont alors déterminés algébriquement en fonction des premiers. D'après le théorème général, si (^(c, w) est une intégrale attachée à la' courbe (38), on a
