THÉORÈME O^ABEL

A| , . . . , Ay, C élant des constantes et ^, ^t, . » . , i^q des fonctions rationnelles de a^, . . . , a^^i et, par suite, des p -Hi points donnés (^1, M|),. . •,( 2/1+1, Up^s), Si l'on remarque maintenant que la

somme des valeurs d'une intégrale abélienne / ^ en deux

points superposés {z, w), {z. — u) est. une constante, la formule (4i) peut encore s'écrire

^«'('^o Ui) = ^v{z'k, ai)-h C'h- 4^ -h a, logi^i-H. . . -^ A^ logi];^,

1 = 1 Ar^l

en posant ^]t= Zp^j^^^ "a = — Wp+)t+|. C'est au fond le théorème d'addition des intégrales abéliennes.

Si, en particulier, l'intégrale v{z^ u) est de première espèce, les formules (4i) et (4a) deviennent

1 = 1 Ar = l

L'intégration des équations abéliennes se déduit de là bien aisément. Posons

/dz r zdz __ rzP-^ dz

de la relation (40» ^" ^^^^ \ dz\ dzj ^^P:^^ ^i^jp±l ^^ip-i-i

1*1 Wî Wp-4-l '^/>->-2 f^ip-^-l

-Si dz\ z^ dz^ ^/>-f-i dzp-i-i ^p-hi dzp^i ^ip-¥-i dz^ft^i

^) ^ Ui Ui i'p-hl W/>-f-2 Wsp-Hl

^?"^ dzi zq-^ dzt zP,:;.] dz,,+i zf,:;:}, dz,,^i ^gpli dz^p^x

M| Ui Up-hl W/H-2 "2/>H-l

Les /? équations abéliennes

(44) h... 4- -^^-^ dZf,^t = O (/ = O, I, 2, ...,/? — l)

sont donc équivalentes aux p relations

(45) ^{>^» dzp^^ ^ ^ z^^^^ dz^p^, ^ ^^

dont on obtient l'intégrale générale en posant

dzp^i =0, . . . , dz^p^x = o,

c'est-à-dire Zp^-^^^ C^, . . . , 52/>+« = C^,. En résumé, pour obtenir l'intégrale générale des équations (44)? on détermine les coefficients ai, a2, ..., a^4,i de la courbe (Sp), de façon que celte courbe passe par les /? -f- i points (^j, W|), . . ., {Zp^\^ '^/ï+Oî ^^ courbe ainsi obtenue rencontre la courbe a^= R(5) en /> autres points dont les coordonnées sont des fonctions algébriques des coordonnées des (/> -hi) premiers points. En écrivant que ces p nouveaux points sont fixes, on obtient/? relations, dépendant de p constantes arbitraires, entre les /; -f-i points

C^est V intégrale générale des équations abéliennes (44)-

195. Développons les calculs pour/? = 1 et/>=2. Considérons d'abord la relation

u'i= R(3) = z^-i- Ai-s'-h Ajz»-^ Aj^-i- A4;

le système (44) se réduit à l'équation unique . .. dzi dz*

qui est précisément l'équation d'Euler. Pour appliquer la méthode "générale, il faut d'abord déterminer les coefficients a et ai, de façon que la courbe auxiliaire

passe par les deux points {zs, u^), {z2^ «2)^ on trouve ainsi

Zi — ^2 ^\ — *î

THÉORÈME o'ABEL. 429

La courbe (47 ) rencontre la courbe donnée en un troisième point (^3j Ws) dont l'abscisse ^3 est racine de Téquation du troisième

degré

(z* -4- az -f- «1 )' = z* -h Al z' -+- Aj -3* -h A3 ^ -f- A4

(Aj — 2a)>s'-i-(Aj — a' — 2ai)>8^-+-(Aj — iaai)z -h A4 — af = o;

les deux autres racines sont Zt et ^2. On a entre ces racines les

relations

a' -h 2 ai — Aj

Al — 2a

. As— 2atai

-5 1 ^ j -h ^3 ( Xîl -h Z j ) = — r »

Al — 2a

^lZiZi =

Al — 2ol'

l'intégrale générale de l'équation (46) peut donc s'écrire sous l'une des trois formes suivantes

Al — 2a

A3 — 2aai Al — 2a

— ZiZi=z C(ZiH- Zn),

Al — 10L

où Ton suppose a et ai remplacés par leurs expressions (48). Si la relation considérée a été mise sous la forme normale

il suffit de prendre Al = o, A2 = t^ — > A3=o, A4= t|* Si

l'on adopte la seconde des formes précédentes pour l'intégrale générale, il reste

ai — ZiZi— C(zi-hZt)

ZiUi—ZtUi

z} — zl '

on retrouve la formule habituelle qui donne Tintégrale générale de l'équation d'Euler.

43o CHAPITRE IX.

i96. Soit, en second Heu,

u« = R(>5)= Ao-5*H- Ai>5^-f' X^z^-^- A3-5*-h A^z -+- Aj; pour intégrer le système abélien

(dzt dzi dzi

— - H -^' — =0, Ui Uf w,

J ^1 azi z* azf Zz ciz*

\ Ui Ui Ui

déterminons les coefficients a, ai, cl^ de la courbe auxiliaire

(50) M = a.5^-T- «1^ -h aj,

de façon qu'elle passe par les trois points (z^ , M|), (sa, m^)) (^3» Hi)\ on trouve

Ux(Zi— Z^)-^ U^jZj^— gi)-4- Ut^JZx— Zt) {Zx— Zt){Zx — Zz){z^— Z^'i

,. . , ^ UxiA — z\)-^ ut{z\ — z\)-\- uz{z\ — z\)

( .5 1 — -Sj ; ( Z 1 -33 ) ( -52 — -53 )

UxZtZ%{z^— Zi)-\- UtZzZx(z:^— Zx)-\- iHZxZ^jZi — z^)

{Zx— Zt){Zx — Zz){Z^— Zj)

La courbe (5o) rencontre la courbe proposée en deux autres points (st, w»), (-^5, W;,), dont les abscisses sont données par l'équation du cinquième degré

kçiZ^-^-{kx — a2)5*-+-(As — 2aai)>53 -h (A3— a} — iaiy.i)z^

-h(Av— 2aia,)5 -h Ai— a| = o;

les trois autres racines sont^i, z^^ Z:^. On a donc les cinq relations

Zx-\- Z^-r- Z^-\- Z^-\r Zj^ — ^. ?

f \, \ Aj — aa»!

ZxZ%Z^~\-\Z\Z\-\- ZxZ-^-\- Zi^Z^)\Z^-^ -S5)

Âo

, V al-+-î>.aa, — A3

/ \ . / \ A4 — ^aiŒj

-5i^2'«3(.'«*~^~ '35;-T~C^l'32-f- ZxZ^-\r Z^Z^)Z\^Z^ := —

THÉORÈME d'ADEL. 43i

Il suffit de remplacer dans deux de ces relations ^4 et z^ par des constantes arbitraires et a, a^, a2 par leurs valeurs tirëes des formules (5i) pour avoir Tintégrale générale du système (49)»

197. On peut former des systèmes d'équations différentielles, analogues aux systèmes précédents, et dont l'intégrale générale est algébrique, alors même que les intégrales qui y figurent ne sont plus de première espèce. Par exemple, nous avons vu que rintégrale générale de Téqualion différentielle

dzi dz^

v/(i-^î)(i- /:«;:?) ^i^y- z\)ii- k'^zl) est donnée par la relation

z, )/{\-z\){x-k^zl) - ;:, v/(i— 5} )(i^ A:«zJ)