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Il est clair que la vérification directe, qui est facile, s'effectue * quelle que soit la valeur de A*. Si Ton fait /r = o, on en conclut que l'intégrale générale de l'équation

dz\ dz\

est fournie par l'équation

Z\ yj \— z\ — Zt /i — z\

qui peut s'écrire aussi

^i yJ \ — -3|-H Z\ yJ \ — z\ = G'.

On voit de même, en faisant /r= i, que l'équation

représente l'intégrale générale de l'équalion

dz\ dzi

L'application directe du théorème d'Abel aux intégrales de troisième espèce conduit aisément aux mêmes résultats. Etant donnée la relation

considérons la fonction rationnelle

l -hyz -r- 8z* — U

qui admet trois zéros (^i, W|), (z2j "2), (^s, W3) et trois infinis (z\, u\)^ (Vjji "'2)? (^'3» "'»)> ^^ rintégrale de troisième espèce / — * qui a ses deux points critiques rejetés à Tinfini. La fonction (f(z, u) reprend Ja même valeur ^ en ces deux points critiques; donc, d'après la formule générale (10), on a

ri<'<) dz r^<'"t) dz ^ r^<'<) dz

Laissons fixes les coefficients y, 3, et faisons varier a et 8^ le second membre de l'égalité précédente conserve une valeur constante. On a donc

dzi dzi dz%

(^ij^^i)i {^2j ^h), (^Sï^a) désignant les coordonnées des trois points d'intersection variables de la courbe donnée u^=i —5^ avec la courbe mobile w = 1 -p a^ 4- ^z^. L'intégrale générale de l'équation

dzi dzf 1/1 Ui ""

s'obtient donc en posant 53 := const. Le calcul s'achève comme au n** 195.