Le théorème d'Abel s'étend aux courbes gauches aigé

fiques. Soit C une courbe plane de genre ^, représentée par IVqualion

poinl de coordonnées (X, Y, Z),

i/{z, u), f{z, w), '^{z,ii) soni des fonctions rationnelles, déit une courbe gauche P, qui correspond point par point à la lurbe plane C, si les fonctions/, a, ij; n'ont pas été prises d'une içon particulière, ce (|iie nous supposerons; de telle sorte qu'injrscment s et h sont des fonctions rationnelles de X, Y, T.. Toute ilëgjale de la forme

14) fiJ\-+-^,lY + YrfZ.

irise le long de la courbe F, où a, p, y sont des fonctions rationnelles de X, Y, Z, se cliange, par la substitution (53), en une itégrale abélienne j R{3, u)dz relative à la courbe C D'autre

irt, soit

fonction rationnelle, P et Q étant deux polynômes du même legré; si l'on y remplace X, Y, Z par/(:, u), 'f{', «), '}(-, m), vient '

i(^, u) étant unefonclion rationnelle du point analytique (s, »),

ml les zéros correspondent aux points d'intersection de la courbe

luche r avec la surface S, qui a pour équation P(X, Y, Z) = o,

les pAles aux points d'intersection de F avec la surface S' repré-

ntée par l'équation Q(X,Y,Z)i=o. On peut donc, en appli-

nant le théorème d'Abel, exprimer, au mo^en de quantités algé-

qnes et logarithmiques, la différence entre la somme des valeurs

le l'intégrale (34) aux points d'intersection de la courbe gauche F

tt de la surface S, et la somme analogue aux points d'intersection

F elde S'. En particulier, si l'intégrale considérée est de pre-

434 CHAPITRE IX. — THÉORÉMB d'aBEL.

mière espèce, il en est de même de l'intégrale / R(s, u)dz^ et le théorème d'Abel peut s'énoncer ainsi :

La somme des valeurs d'une intégrale de première espèce

a^-hP^^Y + Y^Z,

attachée à une courbe gauche algébrique F, prises depuis une origine fixe jusqu'aux points d* intersection de cette courbe avec une surface algébrique variable de degré m, reste constante lorsque les coefficients du premier membre de V équation de cette surface varient d'une façon arbitraire.

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 435

LE PROBLÈME DE L'INVERSION (i).

Recherche des courbes dont les coordonnées sont des fonctions uniformes d'une intégrale abélicnne attachée à cette courbe. — Les trois formes possibles de rintégrale. — Inversion de Tintégrale de première espèce attachée à une courbe du premier genre. — Généralités sur les fonctions doublement périodiques. — Recherche des équations F{u,u') = o, qui admettent une intégrale uniforme.

— Méthode de M. Hermite. — Application aux équations binômes. — Fonctions qui admettent un théorème d'addition algébrique. — Généralisation du problème.

— Le problème d'inversion de Jacobi. — Extension du problème de Jacobi.

199. Le problème que nous allons d'abord traiter peut se formuler ainsi : Etant donnée une relation algébrique irréductible

peut-on trouver une fonction rationnelle R(ij, u) telle qu'en posant

f R(^, u)dz,

à une valeur de w ne corresponde qu^un point analytique (z, u)?

S'il en est ainsi, les coordonnées ^ élu d'un point delà courbe (i) son t des fonctions uniformes de iv. D'après la façon dont ce problème est posé, il est clair qu'on peut effectuer sur la courbe considérée

(*) Auteurs à consulter: Jacobi, De functionibus duarum variabilium (juadrupliciter periodicU, quibus theoria transcendentium Abelianarum innitilur {Journal de C relie, t. XV) ; — Briot <;t Bouquet, Becherches sur la théorie des fonctions {Journal de l'École Polytechnique, XXXVl* Cahier); Théorie des fonctions doublement périodiques. Livre V, Chap. IV.

436 UIIAPITBE X.

uoe transformation biratiannelle quelconque. Nous pouvons donc supposer que la surface de Bietnann T, composée de m feuilleU, qui correspond à l'équation F ^ o, n'a aucun point de ramification à l'inrini. Cela posé, la fonction R{3, u) doit satisfaire aux conditions suivantes :

i" Cette fonction ne peut s'annuler pour aucun point délit surface de Riemann à distance finie. En effet, soii d'abord (n,i)un point non de ratnîtication à distance finie. SiR(fl, t) était nul, on aurait, dans le domaine du point [a, b),

et, par suite,

,3, „. = „,„,i,^iif--°-ï:i^5iirîi::i%....

■ Par un raisonnement bien connu, on en conclut que, aune valeur de tv voisine de tv(fl, b), correspondent, pour z, (h -+• i) valeurs voisines de a qui se permutent circulairemeut lorsque le point qui figure la variable tv décrit dans son plan un petit cercle autour du point w{a, b).

Soit, en second lieu, (a, b) un point de ramification d'ordre r — I à distance finie. Si l'on pose 3 = 12-1-/'', on en déduit u ^^ b-i-f(l), o(() désignant une fonction uniforme de ( dans le voisinage de l'origine; le domaine du point de ramification (a,b)

correspond d'une fnçoi

au doi

i du point t =

le plan où l'on représente la valeur de /. En substituant ces valeurs de s et de u dans la fonction rationnelle R{s, u), il vient

H{z,ii)= (*(Ao-(- A|/ -T- ..A.

le coefficient A,, n'étant pas nul. On a de même

«-= fR{i,ii),U= I (*(Ao-t-,\i(-v-...)rr-'d/;

si le nombne entier A' était positif, on voit, comme tout à l'beure, que ( et, par suite, z et U ne pourraient être des fonctions uniformes de w dans le voisinage de w{a, b).

Il en serait encore de même si le nombre entier A' -f- /■ — 1 était positif. On doit donc avoir fc^i — r, c'est-à-dire que le dévelop-

pemenlde R(=, u) doit comniencer par iid terme à exposant négatif, la valeur absolue de cet exposant étant au moins égale à r — i. Par conséquent :

a" Tout point de ramification d'ordre r — i à distance lie doit être un pâle de R{z, u), d'ordre r — i au moins. Enfin, en étudiant ce qui se passe aux points à l'infini, on roil que :

Les m valeurs de ;;-R{:;, «) pour z infini sont différentes 'e zéro.

Si l'on pose, en efTet, j

il vieni

D'après la première propriété, le produit

j peut être nul pour z' = o\ par conséquent s'R(j, w) ne peut E nul pour z infini. Il suit de là que les m développements de B fonction rationnelle K(:, u) pour des valeurs très grandes de 3 Commenceront par un terme en - ou «n —, à moins de contenir des puissances positives de z ou de commencer par un terme constant. Mais aucun de ces développements ne peut commencer un terme en -^ ou un terme de degré supérieur. Si donc un

point à l'infini de la surface de Riemann est un zéro pour la fonc- Q rationnelle R(2, k), l'ordre de ce zéro est au plus égal à i.

200. Rapprochons les propriétés qui viennent d'être démon- -ées pour la fonction R(3, u). D'après la première et la troisième, nombre des zéros de R(j, u)est au plus égal à ?.m, et cette nile n'est atteinte que si chaque point à l'infini est un zéro du cond ordre. D'après la seconde propriété, chaque point de ramiilion d'ordre r — i de la surface de Itiemann est un pâle d'ordre — I aumoinsde R(b, u). Le nombre des pôles est donc au moins ;al à ï(r^i), et celte limite inférieure n'est atteinte que si laque point de ramification d'ordre /■ — i est un pùle d'ordrf

r — I et si la fonction R(v, u) n'admet pas d'autres pôles. Comme le nombre des zéros est égal au nombre des Infinis, on a donc

(4) S(r — i)-T-o = am,

8 étant nul ou positif. Portons la valeur de S(r — i) dans la relation fondamentale qui donne le genre

il reste

et cette équation n'admet que les deux solutions

jD»= O, 8 = 2.

Nous voyons déjà que le problème proposé n^ admet une solution que si le genre de la courbe considérée est zéro ou un.

Si /? = I, 5 = o, les seuls pôles de R(5, u) sont les points de ramification de la surface et tout point de ramification d'ordre r — I est un pôle d'ordre r — i . Les m points de la surface à l'infini sont des zéros du second ordre, c'est-à-dire que, dans le domaine de chacun de ces points, R(^, w) a un développement de la forme

mê AS

On voit que l'intégrale / ll(;;, w)rf5 reste finie en tous les points

de T, et, comme il n'existe qu'une intégrale de première espèce pour la courbe F = o, de genre un^ celte condition détermine complètement la fonction rationnelle R(:î, «), à un facteur constant près.

Prenons la seconde solution ^ = o, 0 = 2. On peut faire plusieurs hypothèses sur les pôles et les zéros de R(5, u\ On peut supposer d'abord que le nombre des pôles est égal à S(r — i ) -h 2, chaque point à l'infini étant alors un zéro du second ordre. Cette hypothèse se subdivise elle-même en plusieurs autres, que nous allons énumérer :

EUS ION. J3g

' Chaque point de ramification d'ordre r— i est un p6le dre r — i de R(3, «), qui admet en outre deux pôles simples ^u UD pâle double, distincts des points de ramilîcaûoa ;

a" Un des points de ramilîcation d'ordre r — i est un pôle I d'ordre r de R(3, «), qui admet en outre un pôle simple, distinct ' des points de ramifîeation ;

3" Deus points de ramification d'ordre r — i et r' — i sont respectivement des pôles d'ordre ret /■';

4" Un point de ramification d'ordre /■ — i est un pôle d'ordre I f + i deR(r,M).

Si le nombre des pôles est !(/■ — ' ) + ' > ^^ nombre des zéros est ant — I ; la fonction a un zéro simple et (m — i) zéros doubles à l'inlini. A distance finie, elle a un pûlc simple distinct des points de ramification, ou bien un point de raraincation d'ordre r — i est un pôle d'ordre r.

Enfin, si le nombre des pôles est £(»■ — i) := 2 m — 2, la fonc- ^tion a deux zéros simples et (m — a) zéros doubles à l'infini, ou

-I zéros doubles, le derr

point à l'infini de la sur-

^ce n'étant alors ni un pôle ni un zéro pour R(^, h).

Si l'on passe en revue tous les cas qui viennent d'être énu- , on reconnaît immédiatement que l'intégrale

lipst, dans tous ces cas, soït une intégrale de seconde espace avec 1 seul pôle simple, soit une intégrale de troisième espèce.

201. Les conditions sur lesquelles nous nous sommes appuyés r déterminer la fonction rationnelle R(^, u) sont simplement Nécessaires. Il nous reste à examiner si ces conditions sont sujftvtntes, en d'autres termes, si les solutions que nous venons d'obr répondent bien à la question (').

{■) C'«s[ lii un poiot sur lequel les raisonneincnts de Briot Et Bouquet prêtent a des objections. On voit bien sans diflIcuU^ (|ue, àaai le voisinage de touie valeur iv, de if, r et a sont des funciions uniformes de iv — «>,, mais cela ne suffit pu poar prouver que i et u sont des fonctions qui n'admettent qu'une détermiponr chaque laleur de w. L'élude approroodic des équations linéaires du ind ordre a conduit A une conclusion tout opposée. Pour plus de détails, nous

44o CHAPITRE X.

Considérons d'abord le dernier cas, c'est-à-dire le cas d'une courbe de genre zéro F(Zj u) = o ci d'une intégrale

= / R(z, u)dji

de troisième espèce, ou de seconde espèce avec un pôle simple. Nous avons vu plus haut (§ 130) que z et u peuvent s'exprimer en fonctions rationnelles d'un paramètre t

par ce changement de variable, une intégrale de seconde espèce se change en une fraction simple, telle que

tandis qu'une intégrale de troisième espèce a pour expression

= A.og'(L^)

On voit que, dans le premier cas, z et u sont égales à des fonctions rationnelles de (P, et, dans le second cas, à des fonctions

rationnelles de e^.

Soit, en second lieu, F(z, w) = o l'équation d'une courbe de genre i , et

f R(«, u)dz

l'intégrale de première espèce attachée à cette courbe. A une valeur de iv ne correspond qu'un point analytique (5, a); si, en effet, on pouvait trouver deux points (5<, u^), (^Sj, «2) tels que l'on ait

ou, plus généralement, tels que iv(Zi, u^) et w(z2^ Wj) ne diffèrent

renverrons le lecteur aux Mémoires de M. Poincaré sur la théorie des fonctions fuchsiennes, et à une Lettre de M. Fuchs à M. Borchardt, insérée dans le Bulletin des Sciences mathématiques (t. IV, 2* série, p. 334).

que d'une période, on pourrait fortiier une fonction rationnelle de 3 et de u, admettant un seul pôle simple (sn, «j) et un seul zéro simple (z,, ii,) {§ 179). Or, sur une surface de Itieniann de , genre/) >>o, il ne peut exister de fonction uniforme admettant on seul infini du premier ordre (§ 174),

En résumant tout ce qui précède, on peut donc énoncer le lëorème suivant :

Étant donnée une courbe algébrique de genre p,

\our qu'il exUie une fonction rationnelle R(z, u) de z et de u Wtelle qu'en posant

s coordonnées z et u soient des /onctions uni/ormes de iv, il ^'/aul et il suffit que le genre soit égal à zéro ou à un. Si p = o, il suffira de choisir R(3, h), de façon que w soit une intégrale de troisième espèce, ou une intégrale de seconde espèce, avec un pôle du premier ordre. Si p^^i, on prendra pour %v Cintégrale de première espèce attachée à la courbe.

Dans le cas d'une courbe de genre zéro, on a deux solutions différentes. Si l'on prend pour ir une intégrale de seconde espèce, à un point de T correspond une seule valeur de iv et inversement. La surface T correspond donc, point par point, à un plan ou à une sphère. C'est, au fond, le mode de représentation ordinaire des courbes unicursales. Si l'on prend pour iv une intégrale de ilroisième espèce, à un point de T correspondent une infinité de rs de IV comprises dans la formule ii-+a;M7ti, m étant ombre entier. Divisons le plan des ic en bandes indéfinies de largeur aTt par des paralliMes à l'ase des quantités réelles. Lorsque la vaiiable iv parcourt une de ces bandes, le point {s, u) passe une fois et une seule fois par tout point de la surface T. Pour transformer la surface J'une de ces bandes en une surface fermée, il siilTit de réunir les deux bords opposés en appliquant l'un sur l'autre les deux points qui correspondent aux vainrs w et w -\- ait/. On obtient ainsi wne surface fermée analogue

Wro

ù un cylindre de révoluLioD iadëfiai ou à ud fuseau très alloDgé; celte surface est bien du genre zéro, et les deux sommets du fuseau correspondent aux points critiques logarithmiques de riuli.'grale de iroisicme espèce.

202. Soient enfin F (3, u) = o une courbe du premier genre cl «> l'inlégrale de première espèce. A un point analytique (5, u) correspondent une infinité de valeurs de tv comprises dans la formule «■ + nid) -I- m'<i)', m et m' étant deux nombres enlîers cl w, w'ies deux périodes distinctes, dont le rapport est toujours imaginaire, tandis qu'à une valeur de l'iniégnile tv ne correspond qu'un point analytique (;, u). Imaginons qu'on ait ramené la surface T ù une surface simplement connexe T' au mojen de deux coupures a et b. Nous pouvons supposer qu'on a pris pour w et u' les périodes qui correspondent respecLivement à ces deux coupures. Lorsque le point (s, u) di?cril la surface T', le point qui figure la valeur de iv décrit dans son plan une portion finie de surface Q et les deux surfaces T' et il se correspondent point par point d'une façon univoqiie, Il est aisé de se rendre compie de la forme de Q. En effet, lorsque le point {^,Ji} décrit le bord de la coupure a, le point ic décrit une certaine ligne L; lorsque {z, u) déciil le bord opposé de a, w a augmenté de u, et, par conséqucnl, à ce bord correspond une ligne égale à L, qui se déduirait de L par une translation de la quantité u>. De même, aux deux bords opposés de la coupure b correspondent deux lignes L| et L,, qui se déduisent l'une de l'autre par une translation égale â w'. L'aire Q a donc la forme d'un parallélogramme curviligne (^/ig. 90).

Le point (;, u) décrivant le contour total de T', le point iv décrit le contour ADCBA. Soit maintenant P un pointa l'intérieur de Q, qui représente la quantité imaginaire a, Lorsque le point (-, u) décrit la surface T', l'inlégrale <v passe une fois et une seule fois par la valeur a. Il est évident d'abord, d'après ce que l'on sait déjà, qu'elle ne peut prendre la valeur a plus d'une fois; mais rien ne prouve jusqu'ici que <v atteint bien toutes les valeurs intérieures ù Taire lî. Pour le démontrer, considérons l'intégrale