LE PROBLEME DE LINVERSION
prise le long du contour total de T', dans le sens direct; elle a pour valeur Taccroissement de log((v — a) lorsque iv décrit dans le sens direct le contour ADCBA, c'est-à-dire 2 7r/. D^ailleurs elle
Fig. 90.
C^<»ci>-f<t>')
(a^ui)
est égale, d'après le théorème de Cauchy, au produit de 21:1 par
la somme des résidus de -
dw
à l'intérieur de T'. Ces résidus div
dz w — a ne peuvent provenir que des pôles de ^ ou des racines de sv — a
Les résidus provenant des pôles de -r; sont tous nuls, puisque w
est une intégrale de première espèce, et toute racine de vv — a donne un résidu égal à + i . La comparaison de ces deux valeurs
de l'intégrale définie / <ilog(«' — a) prouve donc que l'équation
(V = a admet une racine et une seule sur la surface T'. Le même raisonnement prouve d'ailleurs que, si ^ est une quantité imaginaire représentée par un point extérieur à û, l'équation ^v =: ^ n'admet aucune racine sur la surface T'.
Si l'on joint les deux bords opposés L et L', puis les deux bords L< et Lp en réunissant les points qui correspondent à un même point analytique (>3, a), on obtient une surface fermée analogue à un tore, qui correspond point par point, d'une façon univoque, à la surface de Riemann T. Cette surface fermée est bien du premier genre.
Si maintenant on fait mouvoir le point analytique (3, it) d'une façon quelconque sur la surface T, le point qui figure la valeur
de IV atteindra ud point (luelconque du plan. Par exetâple, imaginons que le point (0, u) franchisse une seule fois la coupure a et décrive ensuite de nouveau la surface T', on obtient pour w des valeurs qui se déduisent des valeurs déjà obtenues par l'addilton de la période (1). Ces valeurs de w recouvrent une aire Q| qui se déduit de û par une translation égale à m; en francbissanl un nombre quelconque de fois la coupure ai dans un sens ou dans l'autre, on obtient ainsi une suite de parallélogrammes curvilignes tous égaux, deux parallélogrammes consécutifs ayant an côté commun. On obliendrait de même une suite de parallélogrammes se déduisant du premier par des translations égales à
±1.»', ± 2(1»', ± 3fi)' si le point (;, 11) franchit un nombre
quelconque de fois la coupure 0. Enfin, si le point (s, u) décrit sur la surface T un chemin quelconque, on obtient une infinité de parallélogrammes se déduisant deQ par des translations m u -|- n <(>'• Ces parallélogrammes recouvrent tout le plan, une fois et une seule fois. A chaque point du plan des iv> correspond ainsi un point et un seul de la surface T, et à tous les points du plan des W qui représentent les quantités imaginaires iv + m w H- n u' correspond le même point de T.
203. Les fonctions z et u (1< formes définies dans tout le pit ne présentent que des discontinuités Pour le démontrer, il est évidemment
V sont donc des fonctions uni-
de cette variable. Ces fonctions
uités polaires à dislance finie.
comme on Ta fait
plus haut, de supposer que la surface de Riemann, composée de m feuillets, n'a aucun point de ramification à l'infini. Soit
l'intégrale de première espace; la fonction rationnelle R(3, h) admet ffi zéros du second ordre à l'infini, et tout point de ramification d'ordre /■ — 1 est un pôle du même ordre. Ce sont là les seuls pûles et les seuls zéros de R{5, h) (§ 200). Imaginons qne la variable «', partant de zéro, arrive à un point Wj du plan; le point analytique (r, u) arrive à un certain point (a, fij de T. Si ce point est à dislance finie, comme R(3, ^) n'est pas nul, on a,
LE PROBLEME DE l'iNVERSION. 445
dans le domaine de ce point,
w — m;oi= A(5 -- a)-i-B(^ — a)'-4- . . .,
et Ton en lire pour z — a un développement de la forme*
z ^ OL=i —-^ 4- Bi ( (r — (Va)« -h
D'ailleurs, u — ^ est dans le domaine de ce 'point une fonction uniforme de z — a, représentée par un développement tel que
w— p = (<s — a)*[Ao-+- Ai(z — a) H-...].
En remplaçant z — a par sa valeur, on en conclut que le point «'« est un pôle ou un point ordinaire pour u.
Si le point (a, P) est un point de ramification d'ordre r — i, on a dans le domaine de ce point
*^(^> ")= ir—i -i ;:zr, + ---' A ^ o.
On en tire, en posant x; = a -+- z''',
= r I {X-hBz'-^ .,,)dz' = W(^-h Xrz'
Par suite, z' est régulier dans le domaine du point (v = w»; il en est donc de même de z. Quant à w, u — p est une fonction uniforme de z' et par suite de %v, ne présentant jamais qu'un nombre fini de termes à exposants négatifs. Le point w^ est donc un pôle ou un point ordinaire pour u. Le calcul précédent met bien en évidence ce fait que la variable z tourne r fois autour du point a lorsque w décrit un petit cercle autour de w^.
Enfin, supposons que le point analytique {z, u) s'en aille à l'infini, lorsque w prend la valeur finie w^. Dans le domaine d'un point à l'infini de T, on a
446 cii »riTBi
ei parsuiie, en posaiU z= —.<
f /'"fi"') f
On en conclut que le point n\ est «n pôle du premier ordre pour s. C'est un pôle ou un point ordinaire pour m, suivant que le point analytique est on pôle ou un point ordinaire pour ».
Nous pouvons donc énoncer le thdorème suivant :
Les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe algébrique du premier genre peuvent être représentées par des fonctions uniformes doublement périodiques d'un paramétre, n'admettant que des discontinuités polaires A dislance ^nie. (^Ce paramètre est précisément l'intégrale de première espèce attachée à la courbe.)
204. La proposition réciproque est bien connue. Nous renoncerons ainsi : Entre deuj: fonctions uniformes doublement périodiques, aux mêmes périodes, n'ayant que des discontinuités polaires, il existe une relation algébrique {qui est, en général, du premier genre, mais qui peut être de genre séro).
Rappelons en quelques mots la première partie de la démonstration (*). Soienl W|=;/i{ir), Kj=yî(i\') deiix fonctions doublement périodiques aux mêmes périodes to, o»'. A une valeur de l'une d'elles, u, par exemple, ne correspondent qu'un nombre ftiii de valeurs pour ic, abstraction faite de multiples de piViodes, et par suite qu'un nombre fini de valeurs pour Hj. Si l'on cherche ensuite la nature des discontinuités de «a, considérée comme fonction de u, , on trouve, en examinant tous les cas possibles, que les seuls points singuliers sont des pôles ou des points critiques algébriques. Cet examen est analogie à ceux que nous avons déjà
(') Nous supposons < tloableinent périodiques.
ï les propriétés d
fkils plusieurs fois et, pour abréger, nous ne le reprodui
lut (§ 8i) que u, et ita sont liées j:
Eilgébriqiii
La relation (8) est évidemment du genre un, si à un point analytique {u,, Uj) ne correspond qu'un point à l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire, car la surface de Riemaon ï et ta surc du parallélogramme ou, si l'on aime mieux, la surface fermée enne en joignant les liords opposés de ce parallélogramme, se
iorrcspondeul j léquc.
