L-pOJ

Il d'ui

oc façon umvoque, cl, par con-

nt du même genre. On peut aussi le faire voir en r

me démonstration tout à fait pareille à celle qui a été

mployée pour démontrer la conservation du genre dans toule

ransformation birationnelle (§ 122).

Si à un point analytique (Ut , «i) correspondent plusieurs

'points à l'intérieur d'un parallélogramme, la dt'monstration ne

s'applique plus. La relation (8) peut êlre de genre zéro ou un,

mais non de genre su|iéricur à un. Il suffit de faire voir que, si les

!oordonnées d'un point d'une courbe F(r, h) ^ o sont des fonc-

BOns uniformes doublement périodiques d'un paramètre, n'ayant

[ae des discontinuités polaires, il ne peut y avoir plus d'une inté-

rale de première espèce attachée à la courbe. Soit, en effet, U

Une intégrale de première espèce attachée à la courbe considérée ;

gnand on exprime z el u au moyen du paramètre ii', U devient une

jbnction *(w) de w qui est régulière pour toutes les valeurs

mnies de cette variable {'); lien est de même de sa dérivée ^'(ii>).

pf, lorsque (V décrit un contour fermé, le point (z, ti) décrit aussi

B contour fermé et '!'((»') augmente d'une période; 'b'(iv) est donc

E fonction uniforme de iv; lorsque ii' augmente de u ou de w',

I point (j, u) décrit encore un contour fermé, et *(iv) aug-

■enle d'une période; la dérivée *I>'(iv) est donc doublement pério-

BÏque, et, comme elle est régulière pour toute valeur finie de tv,

!est une constante et la fonction 4>(h') se réduit, à une constante

k(') u suffit de remarquer q rrnpandint i I« Taleur iv.

nilicalioD d'ordre r

près, à C^v. 11 suit de là qu'il ne peut exister sur la surface T deux intégrales distinctes de première espèce.

Les fonctions doublement périodiques X, [x fournissent un exemple bien simple de fonctions doublement périodiques liées par une relation de genre zéro

Conformément à la démonstration précédente, à un système de valeurs pour ces fonctions correspondent deux points à l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire (*).

Il est toujours aisé de choisir deux fonctions doublement périodiques u^ et U2y aux mêmes périodes, telles qu'à un point analytique {ui, Wa) ne corresponde qu'un point à l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire. Il suffit, par exemple, de prendre deux fonctions ayant un seul infini commun du premier ordre, «^o- La courbe F(wi, t/j) = o possède alors une seule asymptote non parallèle aux axes, et à ce point à l'infini de la courbe ne correspondent que les points iVo-i- fnto -{- n to',

205. L'étude des fonctions uniformes sur une surface de Riemann du premier genre revient donc à l'étude des fonctions uniformes doublement périodiques et inversement.

Résumons en quelques mots la correspondance qui vient d'être établie. Soient

une relation algébrique de genre un, lo et w' les périodes de l'intégrale de première espèce iv. A toute valeur finie Wo de w correspond un seul point (a, P) de la surface T. Si ce point (a, P) n'est pas un point de ramification, on a, dans le domaine du point w^.

z — a — A(w — Wo)-f- B(tr — Wq)^ -4- . . ., A 5^ o

si le point (a, P) est à distance finie, et

- = A(«' — w'o) H- B((ï' ~ Wq)^ 4- . . . (*) Briot et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, p. 35i et suivantes.

ce point (a, p) est à l'infini. Lorsque le point (st, p) esl un point [ ramtficalion d'ordre ^— i, on a

i l'on a pose ; = ce -h ^'^ si le point (a, ^) est à Jislancc finie et := -;- si ce point anul^tique est a riafini.

De là se déduisent quelques conséquences immédiates. Klant lonnée une fonction du point analytique (s, h), *(;, w), si l'on y emplace s et u par leurs expressions au moyen dn paramètre ', *(3, «) devient une fonction de la variable (v,V{i('). Si<I>{=, a) }t régulière au point (a, p), ^'"{ii') est régulière au point n,,; si i, p) est un zéro de *(:, u), «'„ est un zéro du même ordre de r(tv). Lorsque (a, P) est un pôle ou un point singulier essentiel j>(3, m), «'o est un pôle du même ordre ou un point singulier «senlielpour*F(iv). De même, un point critique logarithmique sur B surface Tse change en un point critique logarithmique sur le plan les iv. Par suite, toute fonction rationnelle de z et de u se change fen une fonction uniforme doublement périodique à discontinuités r. Inversement, tontes les fonctions uniformes doublement tériodiques à discontinuités polaires sont des fonctions rationleUes de deux d'entre elles, convenaLIcmcnt choisies.

Toute intégrale abélienne I sur la surface T admet des périodes indiques et des périodes polaires- Lorsque le point {;, u) décrit e, IV augmente de mw + ntu'; par suite l'intégrale abcune I se change en une fonction J(i(-) qui vérifie deiis. rclalioDS de la forme

j ( .1' + 1.J ) = J r II' I + K ,

,Si l'intégrale i n'admet pas de périodes polaires, J{tr) est une iDCtion uniforme de iv. Si I admet des points critiques togarithiques, il en sera de môme de i {iv). Mais, dans tous les cas, J'(h') est une fonction uniforme doublement périodique n'ayant ^edes discontinuités polaires. Les intégrales abéliennes relatives une surface de genre un se changent donc en des intégrales de fonctions uniformes doublement périodiques à discontinuités polaires. Par exemple, l'intégrale normale de seconde espèce avec p61e simple (st, P) se change en une fonction uniforme ud A. ET G.

tant un seul pôle simple à Pintérieur d'un parallélogramme élémentaire et vérifiant les deux relations

Z(iv-Ha)) = Z(w), Z(w-4-(d') = Z(w)h-C.

Ce qui précède explique l'analogie parfaite qui existe entre les propriétés des fonctions rationnelles d*un point analytique sur une surface de Riemann du premier genre et les propriétés des fonctions uniformes doublement périodiques d'une variable. On a rappelé ci-dessous les plus importantes :

Sur une surface de Riemann du premier genre,

la* Toute fonction rationnelle du point analytique {z^ u), qui est régulière en tout point de la surface, est une constante.

Ilfl. II n'existe pas de fonction rationnelle R (;;, u) admettant un seul pôle du premier ordre.

lllfl. Le nombre des zéros d'une fonction rationnelle R(-5, u) est égal au nombre des pôles, chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité.

IVa. La somme des résidus d'une fonction rationnelle R(^, u) sur toute la surface est égale à zéro.

Va- La somme des valeurs de l'intégrale de première espèce pour les zéros d'une fonction rationnelle R(.5, u) ne difTère de la somme des valeurs de la même intéj'rale pour les infinis de R(2, u) que d'une somme de multiples des périodes.

Sur un plan indéfini.

\b. Toute fonction uniforme doublement périodique d'une variable ti', régulière pour toute valeur finie de la variable, est une constante.

II^. II n'existe pas de fonction doublement périodique admettant un seul pôle simple à l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire.

III/,. Le nombre des zéros d'une fonction doublement périodiques l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire est égal au nombre des pôles , chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité.

IV/,. La somme des résidus d'une fonction doublement périodique à l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire est nulle.

V^. La somme des zéros d'une fonction doublement périodique et la somme des infinis contenus dans un même parallélogramme élémentaire ne différent que par une somme de multiples des périodes.

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 45(

Les propositions mises en regard se déduisent l'une de l'autre par la transformation que nous étudions, sauf les propositions IVfl et IV^. En effet, si un point de ramification (a, P) d'ordre r — i est un pôle pour ^(:î, w), le résidu relatif à ce pôle est égal à

/• fois le coefficient de ^ dans le développement, tandis que le

coefficient de dans ^iw\ provient du terme en ;

dans ^(^, m). Le théorème IV^ correspond au théorème suivant :

La somme des résidus du produit ^{Zy u) -^— sur toute la sur-

face T est nulle. En effet, remarquons que cette somme est égale,^ au facteur 21:2 près, à l'intégrale

prise le long du contour total de T', et cotre intégrale est ellemême égale à l'intégrale

W(w)dw

prise le long du contour d'un parallélogramme élémentaire; cette dernière intégrale est à son tour égale au produit de 2Tzi parla somme des résidus de W(w) dans ce parallélogramme : ce qui donne la proposition IV^.

Le théorème IV^, transformé donnerait celui-ci : La somme des

dz résidus du produit W{iv) -j— dans un parallélogramme élémentaire est nulle; proposition qui, au fond, ne diffère pas de la pro-

dz ' .

position IV^, puisque -r^ est aussi une fonction doublement périodique.

Le théorème V^ est connu sous le nom de théorème de Liouville^ on voit que c'est une simple conséquence du théorème général d'Abel. Du reste, la démonstration peut se faire de la même façon; si l'on considère en effet l'intégrale

fwdio^'^'iw), prise le long du contour total du parallélogramme élémentaire,

on en déduit sans peine la relation entre les zéros et les infinis de ^(w). Or, c'est précisément le procédé qui nous a servi pour établir le théorème d'Abel dans le cas le plus général;

On pourrait de même se proposer de déduire de toutes les propriétés que nous avons obtenues pour les fonctions rationnelles d'un point analytique (z, u) et leurs intégrales les propriétés correspondantes des fonctions doublement périodiques et de leurs intégrales. Mais il est à remarquer que Ton n'obtient ainsi rien d'essentiellement nouveau, ni quant auxrésultats (dont les plus importants sont antérieurs aux recherches de Riemann), ni quant aux méthodes de démonstration. En effet, le procédé qui nous a servi constamment consiste à évaluer de deux façons une certaine intégrale prise le long du contour total de T'. Si, dans le cas de p = i, on passe de la surface de Riemann au plan des iv, l'intégrale prise le long du contour total de T' devient une nouvelle intégrale prise le long du contour du parallélogramme élémentaire. Or la considération de pareilles intégrales convenablement choisies constitue précisément un des moyens les plus simples d'établir les propriétés fondamentales des fonctions doublement périodiques et de leurs intégrales.

Nous nous bornerons à ces indications, notre but n'étant pas d'écrire un traité des fonctions doublement périodiques.

206. Dans leurs célèbres recherches sur les équations différentielles, Briot et Bouquet s'étaient posé la question suivante :

Etant donnée une équation différentielle du premier ordre

où F est un polynôme entier en u et -^3 reconnaître si celte équation admet une intégrale uniforme.

Ce problème n'est au fond qu'un cas particulier de celui qui vient d'être traité. Posons, en effet, 1)=^; la relation (ii) devient

Si II est une fonction uniforme de s, il en est de même de

^^■jz' ^' 1'"° ^"'^ *1"^ '^* coordonnées d'un point de la

courbe (12) aonl des fonctions uniformes de l'intégrale abé-

iienne z =: f tt' altachée à celte courbe. Inversement, si u et U

des fonctions uniformes de l'intégrale abélicnne :;, on a

U, et la fonction uniforme u de z vérifie bien l'équation

^proposée ( 1 I ).

Donc, pour que l'équation (ii) admette une intégrale uniorme, le genre de la relation F(k,U) = o doit être égal à éro ou à un; si le genre de celte relation est égal à zéro, intégrale abélicnne j y.- doit être une intégrale de seconde lèce avec un seul pôle du premier ordre, ou une intégrale fe troisième espèce avec deux points critiques logarithmiques ; 'i le genre de la relation est égal à un, l'intégrale f jj doit Ure de première espèce.

inl les trois cas qui peuvent se présenter, l'intégrale de 'équation {i i) est une fonction rationnelle de s, ou une fonction ntionuelle de e"', ou une fonction doublement périodique, n'admettant que des discontinuités polaires. On vérifiera facilement ue les conditions précédentes ne difTèrenl que par la forme de les qui ont été obtenues par Briot et Bouquet.

207. Lorsqu'on se trouve dans l'un des cas où l'intégrale est uniforme, on peut effectuer l'intégration au moyen d'une mé- Siode très simple, qui a été donnée par M. Hcrmite dans son cours de l'École Polytechnique, en 1873. Supposons que la iBOurbe représentée par l'équation (1 2) soit du genre ki^i-o; alors on peut exprimer u cl -j^ en fonctions rationnelles d'un para-

mètre t

et l'équation proposée donne

fit) ^^= fit).

Si Ton a pris pour t le paramètre qui correspond d'une façon univoque aux points de la courbe (12), la nouvelle équation

dz" /'{t)

doit admettre une intégrale uniforme, ce qui exige que l'inlé-

^ admette un seul pôle du premier ordre , ou deux

points critiques logarithmiques. On sera donc ramené à l'une des équations suivantes

dt^ __ A dt __A A dt A ^' — A

dz~~ t — a dz "^ t — a t — b dz {t — a)* dz ~~ '

dont l'intégration est immédiate.

De même, si la relation (12) est du premier genre, on peut exprimer u et -7- par des fonctions rationnelles d'un paramètre t et

de la racine carrée d'un polynôme R(^), du troisième ou du quatrième degré. Soient

u = /[^ /ïïTô], J^- = ^[/, v/R(7)] ;

on en déduit une nouvelle équation

OÙ P est une fonction rationnelle, qui doit admettre une intégrale uniforme, si le paramètre t a été choisi convenableraenl. Ceci exige, nous venons de le voir, que l'intégrale abélienne

soit de première espèce, c'est-à-dire que P se réduise à Cy/R(/),

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 455

C désignant une constante, et Téqualion différentielle proposée est ramenée à la forme classique

(i3) ^=Gv/H(7).

Remarquons que le procédé de M. Hermite s^applique à toutes les équations différentielles algébriques du premier ordre ne contenant pas la variable indépendante, pourvu que le genre soit zéro ou un.